И.С. Ломов - Алгебра и аналитическая геометрия, страница 4

Æîðäàíîâà ôîðìà è êðèòåðèé ïîäîáèÿÀ: 60.92, 95, 99, 101, 105, 110, 113.Ä: 60.93, 94, 100, 106, 111, 114.Ð: 60.102, 104.1, 107, 114.1114.5.Ñåìèíàð  21Êîëëîêâèóì (ñì. ñòð. 30)25Àëãåáðà è àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿÑåìèíàð  22Ëèíåéíûé îïåðàòîð â åâêëèäîâîì (óíèòàðíîì) ïðîñòðàíñòâå1. Ñîïðÿæ¼ííûé îïåðàòîðÀ: 61.2, 5, 25, 26(à), 30(à), 34, 39(à), 40(à), 51(à), 59.Ä: 61.3, 4, 21, 24, 27(à), 30(á), 32, 35, 39(á), 40(á), 41(à,á), 51(á),60.Ð: 61.13, 14, 20, 28, 28.1, 39.1, 47, 61, 6769, 69.1, 70, 71.Ñåìèíàð  232. Íîðìàëüíûé îïåðàòîðÀ: 62.5, 9, 17, 20, 26, 33, 34, 37, 39, 44, 47, 49, 50, 60.Ä: 62.4, 12, 18, 19, 21, 27, 32, 35, 36, 38(à,á), 40, 45, 51, 53, 62.Ð: 62.10, 13, 48, 57.Ñåìèíàð  243.

Óíèòàðíûé (îðòîãîíàëüíûé) îïåðàòîðÀ: 63.1, 3, 5, 6(àâ), 9, 10(â), 11, 13(àâ), 15(à), 17, 19(à), 23, 32,35(àâ), 38(á), 44.Ä: 63.2, 4, 6(ã,ä), 8, 10(ã), 12, 14(àâ), 15(á), 19(á), 24, 31(á), 34,39, 42, 47.Ð: 63.12, 33, 39.1, 39.2, 43.1, 43.2, 45.Ñåìèíàð  254. Ñàìîñîïðÿæ¼ííûé îïåðàòîðÀ: 64.1, 3, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 18(á), 24, 32, 39, 42, 48.Ä: 64.2, 4, 5(à,á), 7, 9, 10, 16, 19(â), 20, 33, 34, 44.Ð: 64.21, 21.1, 21.2, 35, 36, 4547.26Ñåìèíàðñêèå çàíÿòèÿÑåìèíàð  26À:Ä:Ð:À:Ä:Ð:5. Çíàêîîïðåäåë¼ííûå îïåðàòîðû.

Êâàäðàòíûé êîðåíü èç îïåðàòîðà65.1, 2, 4, 11, 13, 15, 20, 22, 34, 37, 44, 62.65.3, 8, 12, 14, 24, 26, 30, 31, 43, 46, 63, 64.65.9, 10, 12.1, 12.2, 21, 28, 29, 32, 46.1, 5058.6. Ðàçëîæåíèÿ ëèíåéíîãî îïåðàòîðà66.1, 2, 5, 9, 10, 22, 24, 27, 29, 35(à,â), 45, 49, 50, 52.66.3, 6, 12, 23, 25, 28, 35(á), 51, 53, 59, 61.66.14, 16, 29, 30, 39, 54.1, 60.2, 61.1.Ñåìèíàð  27Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà  2 (ñì.

ñòð. 34)Òåìû: Ëèíåéíûå îïåðàòîðû â ëèíåéíûõ è åâêëèäîâûõ (óíèòàðíûõ) ïðîñòðàíñòâàõ.Ñåìèíàð  28Áèëèíåéíûå è êâàäðàòè÷íûå ôîðìû1. Ôîðìû â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå. Êàíîíè÷åñêèéâèä. Ìåòîä ËàãðàíæàÀ: 67.1(25), 2, 3(1,2), 4(2), 5(1,2), 68, 9(2,7), 11(3,7), 13, 14, 15(2),17.Ä: 67.1(68), 2, 3(3,4), 4(3,4), 9(4,6,9), 11(2,9,12), 15(2), 18.Ð: 67.5.1, 16, 16.1, 16.2.Ñåìèíàð  292.

Êâàäðàòè÷íûå (ýðìèòîâû êâàäðàòè÷íûå) ôîðìûâ âåùåñòâåííîì (êîìïëåêñíîì) ïðîñòðàíñòâå. Çàêîí èíåðöèè. Ñèãíàòóðíîå ïðàâèëî ßêîáè. Êðèòåðèé ÑèëüâåñòðàÀ: 68.1(13), 2(1), 4, 5(1), 6, 7, 9, 11, 12(1), 30(1,6), 31(1,6), 32.Ä: 68.1(46), 2(2), 5(2,3), 9(2), 12(2), 30(2,8), 31(2,8), 33.Ð: 68.8, 20, 21, 28.27Àëãåáðà è àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ3. Êâàäðàòè÷íûå (ýðìèòîâû êâàäðàòè÷íûå) ôîðìûâ åâêëèäîâîì (óíèòàðíîì) ïðîñòðàíñòâå. Ìåòîä âðàùåíèé. Îäíîâðåìåííîå ïðèâåäåíèå ê êàíîíè÷åñêîìóâèäó ïàðû êâàäðàòè÷íûõ ôîðìÀ: 69.1(1), 2(1), 6(1), 13, 15(1), 17(1), 18(1), 19, 21, 22(1,2).Ä: 69.1(2,6), 2(2), 6(3), 14, 15(2), 17(2,3), 18(3), 22(3,4).Ñåìèíàð  30Ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî1. Íîðìû âåêòîðàÀ: 70.1, 2, 6, 12.Ä: 70.3, 4, 8, 20.2.

Íîðìû îïåðàòîðà è ìàòðèöûÀ: 71.6, 9, 14, 18, 31, 32, 35.Ä: 71.7, 10, 16, 19, 32, 33.Ð: 70.14, 20.1, 71.12, 17, 30.1, 51, 53, 54, 60, 62.3. Ëèíåéíûå îïåðàòîðíûå óðàâíåíèÿ. ÏñåâäîðåøåíèåÀ: 72.2, 4, 8, 19, 21, 23(à,á), 24(à), 25, 28, 31, 41(à).Ä: 72.3, 5, 7, 9, 20, 23(â), 24(á), 30, 33, 41(á,ã).Ð: 72.11, 12, 22, 40.28ÊîëëîêâèóìÊîëëîêâèóìÊîëëîêâèóì ïðîâîäèòñÿ â ñåðåäèíå ñåìåñòðà íà îñíîâå ïðîéäåííîãî ê òîìó âðåìåíè òåîðåòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà. Îí ïðîõîäèòâ ôîðìå óñòíîãî ñîáåñåäîâàíèÿ. Êîëëîêâèóì îáÿçàòåëåí äëÿ âñåõñòóäåíòîâ è ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ýëåìåíò çà÷¼òà. Äëÿ íå ñäàâøèõêîëëîêâèóì çà÷¼ò (è çà÷¼òíàÿ êîìèññèÿ) íà÷èíàåòñÿ ñ âîïðîñîâïî òåîðåòè÷åñêîìó ìàòåðèàëó êîëëîêâèóìà.Âîïðîñû ê êîëëîêâèóìó, I ñåìåñòðÏåðåñòàíîâêè.Îïðåäåëèòåëü, ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëÿ.3. Ìèíîðû è èõ àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ.4.

Ðàçëîæåíèå îïðåäåëèòåëÿ ïî ñòðîêå (ñòîëáöó). Îïðåäåëèòåëü ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö.5. Îáðàòíàÿ ìàòðèöà. Êðèòåðèé îáðàòèìîñòè.6. Ðàíã ìàòðèöû. Òåîðåìà î áàçèñíîì ìèíîðå.7. Ðàíã ìàòðèöû è ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü å¼ ñòðîê (è ñòîëáöîâ).8. Ðàíã ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö. Èíâàðèàíòíîñòü ðàíãà îòíîñèòåëüíî ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé.9. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ êâàäðàòíîé íåâûðîæäåííîé ìàòðèöåé.

Ïðàâèëî Êðàìåðà.10. Êðèòåðèé ñîâìåñòíîñòè è îïðåäåë¼ííîñòè ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé.11. Èññëåäîâàíèå è ðåøåíèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèéîáùåãî âèäà. Îáùåå ðåøåíèå.12. Ýêâèâàëåíòíîñòü ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèñòåì.13. Ìåòîä Ãàóññà èññëåäîâàíèÿ è ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõóðàâíåíèé.14. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî. Àðèôìåòè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî.15. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå.16. Áàçèñ è ðàçìåðíîñòü ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà.17.

Ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî è ëèíåéíîå àôôèííîå ìíîãîîáðàçèå â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå. Îïðåäåëåíèå è ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà.18. Ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà ðåøåíèé îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé.19. Ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà ðåøåíèé íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Îáùåå ðåøåíèå.1.2.29Àëãåáðà è àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿÂîïðîñû ê êîëëîêâèóìó, II ñåìåñòðËèíåéíûå îïåðàòîðû. Îïðåäåëåíèå, îñíîâíûå ñâîéñòâà, ïðèìåðû.

Òåîðåìàî ñóùåñòâîâàíèè è åäèíñòâåííîñòè îïåðàòîðà ïî çàäàííûì îáðàçàì áàçèñíûõâåêòîðîâ.2. Ìàòðèöû ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ. Âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäóëèíåéíûìè îïåðàòîðàìè è ìàòðèöàìè.3. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ è åãî ñâÿçü ñ ïðîñòðàíñòâîììàòðèö.4. Ìàòðèöà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà. Ñâÿçü ìåæäó êîîðäèíàòàìè âåêòîðà è åãîîáðàçà.5. Ìàòðèöû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà â ðàçëè÷íûõ áàçèñàõ.6. Ýêâèâàëåíòíûå ìàòðèöû. Êðèòåðèé ýêâèâàëåíòíîñòè.7. Îáðàç è ÿäðî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà.8.

Ïðîèçâåäåíèå ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ. Ìàòðèöà ïðîèçâåäåíèÿ.9. Îáðàòíûé îïåðàòîð. Êðèòåðèé îáðàòèìîñòè.10. Èíâàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâà. Èíäóöèðîâàííûé îïåðàòîð.11. Èíâàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâà ìèíèìàëüíîé ðàçìåðíîñòè (â êîìïëåêñíîì è âåùåñòâåííîì ñëó÷àÿõ).12. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà.Îïðåäåëåíèå è ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà. Ïðèìåðû.13. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ëèíåéíîãî îïåðàòîðà. Îïðåäåëåíèå è ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà.14. Óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ëèíåéíîãî îïåðàòîðà.

Ñîáñòâåííûå âåêòîðû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà â êîìïëåêñíîì ïðîñòðàíñòâå.15. Ñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî. Àëãåáðàè÷åñêàÿ è ãåîìåòðè÷åñêàÿ êðàòíîñòè ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ.16. Îïåðàòîðû ïðîñòîé ñòðóêòóðû. Êðèòåðèé ïðîñòîé ñòðóêòóðû.17. Òðåóãîëüíàÿ ôîðìà ìàòðèöû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà â êîìïëåêñíîì ïðîñòðàíñòâå.18. Íèëüïîòåíòíûé îïåðàòîð.

Îïðåäåëåíèå, ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà, ïðèìåðû.19. Ðàñùåïëåíèå ëèíåéíîãî îïåðàòîðà.20. Êîðíåâûå âåêòîðû. Êàíîíè÷åñêèé áàçèñ êîðíåâîãî ïîäïðîñòðàíñòâà.21. Æîðäàíîâà íîðìàëüíàÿ ôîðìà ìàòðèöû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà. Êàíîíè÷åñêèé áàçèñ.22.

Òåîðåìà ÃàìèëüòîíàÊýëè.23. Ïîäîáíûå ìàòðèöû. Êðèòåðèé ïîäîáèÿ.1.30Êîíòðîëüíûå ðàáîòûÊîíòðîëüíûå ðàáîòûÏðèìåðíûå âàðèàíòû, I ñåìåñòðÊîíòðîëüíàÿ ðàáîòà  11. Ìîæåò ëè îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû7 43 32 132... ... ...1 3 21 3n-ãî ïîðÿäêà (n ≥ 3) áûòü ðàâåí 69 è, åñëè äà, òî ïðè êàêîìçíà÷åíèè n?2. Èññëåäîâàòü è íàéòè îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû λx1 + 2x2 + x3 = −4,−2x1 − λx2 − x3 = 2 + λ,4x1 + 4x2 + λx3 = −8.â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèÿ λ.3.

Íàéòè ïåðâûé ñòîëáåö ìàòðèöû, îáðàòíîé ê ìàòðèöå2 01 2 0... ...1 2 01 2n-ãî ïîðÿäêà.4. Èçâåñòíî, ÷òî âåêòîðû a, b, c, d ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà V ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Âûÿñíèòü, ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ λ ëèíåéíîíåçàâèñèìû âåêòîðû x = a + b − 2c + d, y = a + 2b + λd,z = −3a − b + 10c + 4d.5. Ïóñòü A, B êâàäðàòíûå ìàòðèöû îäèíàêîâîãî ïîðÿäêà èC = AB . Äîêàçàòü, ÷òî ïðèñîåäèí¼ííûå ìàòðèöû óäîâëåòâîðÿþòb=BbAb.ñîîòíîøåíèþ C31Àëãåáðà è àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ6. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ðàíã êâàäðàòíîé ìàòðèöû A ðàâåí åäèíèöå,òî ñóùåñòâóåò ÷èñëî λ ∈ R, òàêîå ÷òî A2 = αA.n = 6, Dn = 5+2n . 2.

Ïðè λ 6= −4, λ 6= 2 åäèíñòâåííîåðåøåíèå x3 = 2x1 = −4/(λ + 4), x2 = −(λ + 6)/(λ + 4); ïðè λ = −4ñèñòåìà íåñîâìåñòíà; ïðè λ = 2 îáùåå ðåøåíèå x3 = −2(x1 + x2 + 1). −1T−2−2 2−3 . . . (−1)n−1 2−n . 4. Ïðè λ 6= 4, 5.3. 2Îòâåòû:1.Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà1  21. Èçâåñòíî, ÷òî îáú¼ì ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòî-ðàõ a, b, c, ðàâåí 2.

Íàéäèòå îáú¼ì ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a + b − c, a − b è c + b.2. Íàéòè âñå âåêòîðû x, óäîâëåòâîðÿþùèå ðàâåíñòâó [a, x] = b,ãäå a = {3, −2, 5}, b = {1, −1, −1}.3.  òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíû åãî âåðøèíà C(5, 3) è óðàâíåíèÿ äâóõ âûñîò 3x−2y = 0 è 5x+3y −25 = 0. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèåñòîðîíû AB .4. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå áèññåêòîðíîé ïëîñêîñòè äâóãðàííîãî óãëà ìåæäó ïëîñêîñòÿìè 6x − 3z + 2 = 0, 2x − 5y + 4z − 1 = 0, âêîòîðîì ëåæèò òî÷êà M (1, 1, −1).5. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå îáùåãî ïåðïåíäèêóëÿðà ê ïðÿìûìx−3y+4z+6==,2−7−4xy−4z−3==.0326. Öåíòð îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíè-êà ABC , ðàñïîëîæåí â òî÷êå (1, 3).