И.С. Ломов - Алгебра и аналитическая геометрия

Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåòèìåíè Ì. Â. ËîìîíîñîâàÔàêóëüòåò âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè èêèáåðíåòèêèÀëãåáðà èàíàëèòè÷åñêàÿãåîìåòðèÿÏîä ðåäàêöèåé ïðîô. È. Ñ. ËîìîâàÓ÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèåäëÿ ñòóäåíòîâ 1 êóðñàÌîñêâàÌÀÊÑ Ïðåññ2009ÁÁÊ 22.143ÓÄÊ 512.6+514.1Ë75Ïå÷àòàåòñÿ ïî ðåøåíèþ ðåäàêöèîííîèçäàòåëüñêîãî ñîâåòà ôàêóëüòåòàâû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè èêèáåðíåòèêè ÌÃÓ èìåíè Ì. Â. ËîìîíîñîâàÊîëëåêòèâ àâòîðîâ:À.

Í. Äàðüèí, Í. Á. Åñèêîâà, Í. È. Èîíêèí,Ã. Ä. Êèì, Ë. Â. Êðèöêîâ, Â. À. Ìîðîçîâà,Â. Ñ. Ïàíô¼ðîâ, È. Â. Ðóáë¼â, Å. Å. Òûðòûøíèêîâ,À. È. Ôàëèí, À. Ñ. ÔóðñîâË75Àëãåáðà è àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ: ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå / ïîä ðåä. È. Ñ. Ëîìîâà Ì.: Èçäàòåëüñêèé îòäåë ôàêóëüòåòà ÂÌÊ ÌÃÓ èìåíè Ì. Â.

Ëîìîíîñîâà; ÌÀÊÑ Ïðåññ, 2009. 46 ñ.ISBN 978-5-89407-386-6.Íàñòîÿùåå ïîñîáèå ñîäåðæèò ìåòîäè÷åñêèå ìàòåðèàëû, ñîïðîâîæäàþùèå ó÷åáíûé ïðîöåññ: ïðîãðàììà êóðñà, ïëàíû ñåìèíàðñêèõ çàíÿòèé, ýêçàìåíàöèîííûå âîïðîñû, îáðàçöû êîíòðîëüíûõ ðàáîò, çà÷¼òíûõ çàäàíèé.ÁÁÊ 22.143ÓÄÊ 512.6+514.1cISBN 978-5-89407-386-6Ôàêóëüòåò ÂÌÊÌÃÓ èìåíè Ì. Â. Ëîìîíîñîâà, 2009cÊàôåäðà îáùåé ìàòåìàòèêè, 2009ÑîäåðæàíèåÑîäåðæàíèåÎá ó÷åáíîì ïëàíå4Ïðîãðàììà êóðñà5I ñåìåñòð .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .II ñåìåñòð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58Ñåìèíàðñêèå çàíÿòèÿ12Êîëëîêâèóì29Êîíòðîëüíûå ðàáîòû31Çà÷¼ò36Ýêçàìåí43Ëèòåðàòóðà48Ïëàí ñåìèíàðñêèõ çàíÿòèé, I ñåìåñòð . . . . . . . . . . .Ïëàí ñåìèíàðñêèõ çàíÿòèé, II ñåìåñòð . . . .

. . . . . . .Âîïðîñû ê êîëëîêâèóìó, I ñåìåñòð . . . . . . . . . . . . .Âîïðîñû ê êîëëîêâèóìó, II ñåìåñòð . . . . . . . . . . . . .Ïðèìåðíûå âàðèàíòû, I ñåìåñòð . . . . . . . . . . . . . . .Ïðèìåðíûå âàðèàíòû, II ñåìåñòð . . . . . . . .

. . . . . .I ñåìåñòð. Ïðèìåðíûé âàðèàíò çà÷¼òíîãî çàäàíèÿ â ãðóïïåI ñåìåñòð. Îáðàçåö çàäàíèÿ çà÷¼òíîé êîìèññèè . . . . . .II ñåìåñòð. Ïðèìåðíûé âàðèàíò çà÷¼òíîãî çàäàíèÿ â ãðóïïåII ñåìåñòð. Îáðàçåö çàäàíèÿ çà÷¼òíîé êîìèññèè . . . . . .Ýêçàìåíàöèîííûå âîïðîñû, I ñåìåñòð . .

. . . . . . . . . .Ýêçàìåíàöèîííûå âîïðîñû, II ñåìåñòð . . . . . . . . . . .1221293031333638394143463Àëãåáðà è àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿÎá ó÷åáíîì ïëàíåÄèñöèïëèíà ¾Àëãåáðà è àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ¿ çíàêîìèò ñòóäåíòîâ ñ ôóíäàìåíòàëüíûìè ìåòîäàìè èññëåäîâàíèÿñîâðåìåííîé àëãåáðû è àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè.  ïðîöåññåîáó÷åíèÿ ñòóäåíòû äîëæíû óñâîèòü ìåòîäèêó ïîñòðîåíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõ ñòðóêòóð, âíóòðåííþþ ëîãèêó, ñâÿçûâàþùóþëèíåéíóþ àëãåáðó è àíàëèòè÷åñêóþ ãåîìåòðèþ, ïðèîáðåñòèíàâûêè èññëåäîâàíèÿ è ðåøåíèÿ çàäà÷.Äèñöèïëèíà îòíîñèòñÿ ê îáÿçàòåëüíûì êóðñàì äëÿ ñòóäåíòîâ ïåðâîãî êóðñà ôàêóëüòåòà ÂÌÊ ÌÃÓ. Èçó÷àåòñÿ âïåðâîì è âòîðîì ñåìåñòðàõ.

Ïî ýòîìó êóðñó ÷èòàþòñÿ ëåêöèè (144 ÷àñà â ïåðâîì ñåìåñòðå è 128 ÷àñîâ âî âòîðîì) èïðîâîäÿòñÿ ñåìèíàðñêèå çàíÿòèÿ (3132 ñåìèíàðà â ïåðâîìñåìåñòðå è 2829 ñåìèíàðîâ âî âòîðîì). êàæäîì ñåìåñòðå ïðîâîäèòñÿ îäèí êîëëîêâèóì (â ôîðìåóñòíîãî ñîáåñåäîâàíèÿ ïî òåîðåòè÷åñêîìó ìàòåðèàëó) è 23êîíòðîëüíûå ðàáîòû ïî ðåøåíèþ çàäà÷.Ïî îêîí÷àíèè ñåìåñòðîâ â ðàìêàõ çà÷¼òíîé ñåññèè â êàæäîé ãðóïïå ïðîâîäÿòñÿ çà÷¼òû. Êîíòðîëüíûå ðàáîòû è êîëëîêâèóì ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè çà÷¼òà. Ñòóäåíòû, íå ñäàâøèåçà÷¼ò â ãðóïïå, îáÿçàíû ñäàâàòü åãî ñïåöèàëüíîé çà÷¼òíîéêîìèññèè.Ïîñëå óñïåøíîãî çàâåðøåíèÿ çà÷¼òíîé ñåññèè ñòóäåíòûäîïóñêàþòñÿ ê ýêçàìåíàì. Ýêçàìåí ñäà¼òñÿ â óñòíîé ôîðìå. 200910 ó÷åáíîì ãîäó: ëåêòîðû ïî êóðñó Å. Å. Òûðòûøíèêîâ, Ã.

Ä. Êèì, Â. Ñ. Ïàíô¼ðîâ; ïðåïîäàâàòåëè Î. Í. Áîáûë¼âà, À. Á. Áóäàê, À. Í. Äàðüèí, È. Â. Äìèòðèåâà,Í. Á. Åñèêîâà, Í. È. Èîíêèí, Ë. Â. Êðèöêîâ, Â. À. Ìîðîçîâà, È. Â. Ðóáë¼â, Ñ. Ã. Ðóäíåâ, Â. Â. Ñàçîíîâ, À. È. Ôàëèí,À. Ñ. Ôóðñîâ.4Ïðîãðàììà êóðñàÏðîãðàììà êóðñàI ñåìåñòðÎñíîâû òåîðèè ìàòðèö. Îïåðàöèè íàä ìàòðèöàìè. Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìàòðèöû è ìàòðèöû ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Ïðèâåäåíèå ê ñòóïåí÷àòîé, òðàïåöèåâèäíîé è äèàãîíàëüíîé ôîðìàì.Îïðåäåëèòåëü. Ïåðåñòàíîâêè.

Ïîñòðîåíèå îïðåäåëèòåëÿ nãî ïîðÿäêà. Ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëÿ. Ìèíîðû è àëãåáðàè÷åñêèåäîïîëíåíèÿ. Òåîðåìà Ëàïëàñà. Îïðåäåëèòåëü ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö. Ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ.Îáðàòíàÿ ìàòðèöà. Íåâûðîæäåííîñòü ìàòðèöû. Ïîíÿòèåîáðàòíîé ìàòðèöû. Êðèòåðèé îáðàòèìîñòè. Ìåòîä ÃàóññàÆîðäàíà îáðàùåíèÿ ìàòðèöû.Ìíîæåñòâà. Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå ìíîæåñòâ. Áèíàðíîåîòíîøåíèå.

Îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè. Êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè. Ôàêòîð-ìíîæåñòâî.Îòîáðàæåíèå. Êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèé. Îáðàòíîå îòîáðàæåíèå. Êðèòåðèé îáðàòèìîñòè.Âíóòðåííèé è âíåøíèé çàêîíû êîìïîçèöèè. Àëãåáðàè÷åñêèåîïåðàöèè è èõ ñâîéñòâà. Îáîáù¼ííàÿ àññîöèàòèâíîñòü.Ââåäåíèå â òåîðèþ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ. Ïîíÿòèå âåùåñòâåííîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà. Ïðèìåðû. Àðèôìåòè÷åñêîåïðîñòðàíñòâî. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü è íåçàâèñèìîñòü. Áàçèñ èðàçìåðíîñòü ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà. Êîîðäèíàòû âåêòîðà.

Ïåðåõîä ê äðóãîìó áàçèñó. Ìàòðèöà ïåðåõîäà. Ëèíåéíûå ïîäïðîñòðàíñòâà è ëèíåéíûå àôôèííûå ìíîãîîáðàçèÿ.Ãåîìåòðè÷åñêèå âåêòîðû. Íàïðàâëåííûå îòðåçêè è èõ ðàâåíñòâî. Ñâîáîäíûé âåêòîð êàê êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè íàïðàâëåííûõ îòðåçêîâ. Ëèíåéíûå îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ íà ïðÿìîé, íà ïëîñêîñòè è âïðîñòðàíñòâå. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè. Êîëëèíåàðíûå è êîìïëàíàðíûå âåêòîðû. Ïðîåêöèè âåêòîðà.

Ñâîéñòâàëèíåéíîñòè ïðîåêöèé. Êîîðäèíàòû âåêòîðà è èõ ñâÿçü ñ ïðîåêöèÿìè âåêòîðà. Ëèíåéíîñòü âåëè÷èíû ïðîåêöèè âåêòîðà íà îñü.5Àëãåáðà è àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿÑêàëÿðíîå, âåêòîðíîå è ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ.Àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò. Êîîðäèíàòû òî÷êè. Ôîðìóëûïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò. Ïðåîáðàçîâàíèå ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò.Ïîëÿðíûå, öèëèíäðè÷åñêèå è ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû.Ðàíã ìàòðèöû. Òåîðåìà î áàçèñíîì ìèíîðå. Ðàíã ìàòðèöûè ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü å¼ ñòðîê è ñòîëáöîâ.

Ðàíã ïðîèçâåäåíèÿìàòðèö. Èíâàðèàíòíîñòü ðàíãà ìàòðèöû îòíîñèòåëüíî ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Ýêâèâàëåíòíûå ìàòðèöû, êðèòåðèé ýêâèâàëåíòíîñòè. Ìåòîä Ãàóññà âû÷èñëåíèÿ ðàíãà ìàòðèöû.Ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Êîìïàêòíûå ôîðìû çàïèñè ñèñòåìû. Îñíîâíàÿ è ðàñøèðåííàÿ ìàòðèöû ñèñòåìû. Ñèñòåìà ñ êâàäðàòíîé íåâûðîæäåííîé ìàòðèöåé,ïðàâèëî Êðàìåðà. Èññëåäîâàíèå è ðåøåíèå ñèñòåìû îáùåãî âèäà.Òåîðåìà ÊðîíåêåðàÊàïåëëè. Îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû. Îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé.

Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé.Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ óðàâíåíèé. Ìåòîä Ãàóññà èññëåäîâàíèÿ è ðåøåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. ×èñëî àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé â ìåòîäå Ãàóññà.Ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ìíîæåñòâà ðåøåíèé îäíîðîäíîéñèñòåìû. Îáùåå ðåøåíèå. Ëèíåéíîå àôôèííîå ìíîãîîáðàçèå ìíîæåñòâà ðåøåíèé íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû.

Îáùåå ðåøåíèå.Ïðÿìàÿ íà ïëîñêîñòè è ïëîñêîñòü â ïðîñòðàíñòâå. Àëãåáðàè÷åñêèå ëèíèè è ïîâåðõíîñòè. Èíâàðèàíòíîñòü èõ ïîðÿäêà.Ðàçëè÷íûå âèäû óðàâíåíèÿ ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè. Êðèòåðèéïàðàëëåëüíîñòè âåêòîðà è ïðÿìîé. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè. Ïó÷îê ïðÿìûõ. Ïîëóïëîñêîñòè. Ðàññòîÿíèåîò òî÷êè äî ïðÿìîé.

Óãîë ìåæäó ïðÿìûìè.Ðàçëè÷íûå âèäû óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâå. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ ïëîñêîñòåé. Ïó÷îê ïëîñêîñòåé. Ñâÿçêàïëîñêîñòåé. Ïîëóïðîñòðàíñòâà. Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïëîñêîñòè. Óãîë ìåæäó ïëîñêîñòÿìè.Ïðÿìàÿ â ïðîñòðàíñòâå. Ðàçëè÷íûå âèäû óðàâíåíèÿ ïðÿìîé â ïðîñòðàíñòâå. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìûõ â ïðîñòðàí6Ïðîãðàììà êóðñàñòâå.

Ñâÿçêà ïðÿìûõ. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìîé è ïëîñêîñòè. Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïðÿìîé, ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè, óãîë ìåæäó ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ.Ëèíèè è ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà. Ýëëèïñ, ãèïåðáîëà è ïàðàáîëà. Îáùåå óðàâíåíèå ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà íà ïëîñêîñòè. Èíâàðèàíòû ëèíèè. Ïðèâåä¼ííûå óðàâíåíèÿ. Êëàññèôèêàöèÿ ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà íà ïëîñêîñòè.Îáùåå óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà. Ïðèâåä¼ííûå óðàâíåíèÿ. Ìåòîä âðàùåíèé.

Ýëëèïñîèä, ãèïåðáîëîèäû,ïàðàáîëîèäû, êîíóñû è öèëèíäðû. Ïðÿìîëèíåéíûå îáðàçóþùèå.Êëàññèôèêàöèÿ ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà.Ãðóïïû. Îïðåäåëåíèå, îñíîâíûå ñâîéñòâà, ïðèìåðû. Ïîäãðóïïû, ñìåæíûå êëàññû, íîðìàëüíûé äåëèòåëü. Èçîìîðôèçì èãîìîìîðôèçì ãðóïï. Ôàêòîð-ãðóïïà. Êîíå÷íûå ãðóïïû. ÒåîðåìàËàãðàíæà. Ãðóïïà âû÷åòîâ. Ñèììåòðè÷åñêàÿ è çíàêîïåðåìåííàÿãðóïïû. Ñòåïåíè ýëåìåíòà. Öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà, å¼ ïîäãðóïïû.Êîëüöî è ïîëå. Ïîíÿòèå êîëüöà è ïîëÿ. Îñíîâíûå ñâîéñòâàè ïðèìåðû. Äåëèòåëè íóëÿ.

Èçîìîðôèçì êîëåö è ïîëåé. Àëãåáðàè÷åñêîå ðàñøèðåíèå êîëüöà è ïîëÿ. Êîëüöî âû÷åòîâ. Õàðàêòåðèñòèêà ïîëÿ. Ïîëå âû÷åòîâ ïî ïðîñòîìó ìîäóëþ. ×èñëî ýëåìåíòîââ êîíå÷íîì ïîëå.Êîìïëåêñíûå ÷èñëà. Ïîëå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Êîìïëåêñíàÿ ïëîñêîñòü. Àëãåáðàè÷åñêàÿ è òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìûêîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Âîçâåäåíèå â ñòåïåíü è èçâëå÷åíèå êîðíÿ.Êîðíè n-é ñòåïåíè èç åäèíèöû. Ïåðâîîáðàçíûå êîðíè.Ìíîãî÷ëåíû. Êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ îò îäíîé ïåðåìåííîé íàäïîëåì.

Äåëåíèå ìíîãî÷ëåíîâ, íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü, àëãîðèòì Åâêëèäà. Çíà÷åíèå ìíîãî÷ëåíà è êîðíè, òåîðåìà Áåçó. Àëãåáðàè÷åñêàÿ çàìêíóòîñòü ïîëÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.Êàíîíè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà íàä ïîëåì êîìïëåêñíûõ÷èñåë. Êðàòíîñòü êîðíÿ. Ìíîãî÷ëåíû ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ôîðìóëû Âèåòà. Ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû. Ìíîãî÷ëåíû êàê ôîðìàëüíûå âûðàæåíèÿ è êàê ôóíêöèè. Ýêâèâàëåíòíîñòü îïðåäåëåíèé ðàâåíñòâà ìíîãî÷ëåíîâ äëÿ áåñêîíå÷íûõ ïîëåé.7Àëãåáðà è àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿII ñåìåñòðËèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïðîèçâîëüíûì ïîëåì.