№ 05 (Методические разработки к лабораторным работам), страница 2

В природе и технике часто возникают колебания, которые в течениедлительных промежутков времени мало отличаются от гармонических(строго гармонических колебаний не существует).2. Большинство физических законов содержит физические величины ввиде функций и их производных. Поэтому, используя гармоническиефункции, мы все время остаемся в кругу гармонических величин (еслиформулы линейны относительно гармонических функций и их производных).3. Периодический процесс любой зависимости от времени может бытьпредставлен в виде суммы, слагаемые которой являются гармоническимифункциями с частотами, кратными частоте этого процесса, т.е. в виде такназываемого ряда Фурье. Амплитуды слагаемых вычисляются достаточнопросто.4.

УПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯВообще колебания могут происходить в какой-либо системе, если приотклонении ее от положения равновесия возникают силы, стремящиесявернуть систему в прежнее положение. Колебания, которые происходят поддействием возвращающей силы, возникающей вследствие упругойдеформации какого-либо тела, называются у п р у г и м и к о л е б а н и я м и .Если груз, подвешенный на пружине, оттянуть вниз на некотороерасстояние, а затем отпустить, то он придет в колебательное движение.Возвращение груза в положение равновесия происходит под действиемдеформированной пружины, т.е. под действиемупругой силы. По закону Гука, эта сила,действующая на груз, пропорциональнарастяжению (или сжатию) пружины (конечно,если деформации не слишком велики), а,следовательно, пропорциональна расстояниюгруза от положения равновесия в данныймомент:f  kX(7)Здесь X — расстояние от положенияравновесия (величина отклонения груза)Рис.

4(рис. 4), f — величина силы, действующей нагруз со стороны пружины в данный моментвремени t . Знак минус поставлен, чтобы показать, что сила на груз действуетвсегда в направлении, противоположном отклонению. k — коэффициент7пропорциональности, называемый коэффициентом жесткости пружины,имеющий размерность Н м и показывающий, какая сила требуется длярастяжения данной пружины на единицу длины.Согласно второму закону Ньютона, движение под действием силыпроисходит ускоренно. Ускорение в любой момент времени определяетсявыражениемma  f ,(8)где m — масса груза, a — ускорение.

Подставляя в закон Ньютонавыражение для упругой силы (7) (мы не принимаем во внимание силутяжести, действующую на груз, так как она уравновешивается начальнымрастяжением пружины) и заменяя ускорение второй производнойперемещения по времени, получимd2Xm 2  kX ,dtилиd2Xk X.2dtm(9)Применяя сокращенные обозначения, напишем это выражение в виде:kX  X  0 .mЗакон Ньютона, таким образом, выражен в виде уравнения, в котороевходит неизвестная функция времени X t  и ее вторая производная.

Этоуравнение называется у р а в н е н и е м д в и ж е н и я . Так как мы знаем, чтозакон Ньютона в механике должен выполняться в с е г д а , то в любоймомент времени левая часть уравнения (9) должна быть равна правой.Следовательно, чтобы найти закон колебаний груза (зависимость от временивеличины его отклонения от положения равновесия), надо найти такуюфункцию времени X , для которой вторая производная по времени d 2 X dt 2отличается от самой функции постоянным, не зависящим от временимножителем k m и знаком, т.е.

найти такой закон движения, при которомускорение в любой момент времени пропорционально отклонению повеличине и противоположно по знаку. Такой функцией является функция,описывающая гармонические колебания. В самом деле, если подставить влевую часть уравнения (9) выражение для ускорения при гармоническихколебанияхd2X 2 A sin t   ,2dt8а в правую часть X  A sin t   , то легко найти, что левая часть будет влюбой момент времени равна правой при условии, что2 Отсюдаk.mмыделаем вывод, что упругие колебанияг а р м о н и ч е с к и м и колебаниями, причем их круговая частотаkm(10)являются(11)зависит т о л ь к о от механических свойств (параметров) колеблющейсясистемы: массы груза и упругости (жесткости) пружины, но не зависит отамплитуды и времени.

Амплитуда и начальная фаза колебаний зависят отположения груза в начальный момент времени и начального толчка, которыйполучил груз (его начальной скорости). Амплитуда не зависит от времени,если, конечно, не учитывать трения (см. ниже §5).Колебания, которые происходят в системе, выведенной каким-либоспособом из положения равновесия и предоставленной затем самой себе,называются с о б с т в е н н ы м и или с в о б о д н ы м и к о л е б а н и я м исистемы, а частота собственных колебаний — с о б с т в е н н о йчастотой.Гармонические колебания могут происходить не только поддействием упругой силы, но также под действием силы любогопроисхождения, лишь бы она была пропорциональна отклонению системы отположения равновесия. Такие силы называются к в а з и у п р у г и м исилами.Если уравнение движения (второй закон Ньютона) можно привести ктакому виду, что слева стоит вторая производная какой-то функции повремени, а справа — сама функция с постоянным множителем и с обратнымзнаком, то движение обязательно будет представлять собой гармоническиеколебания, для нахождения собственной частоты которых надо извлечьквадратный корень из этого множителя.5.

ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯЕсли не учитывать силы трения, то согласно формулам, полученным в§4, упругие и квазиупругие колебания будут гармоническими. Это означает,что их амплитуда не зависит от времени, и система, раз выведенная изположения равновесия, будет колебаться бесконечно долго. На самом жеделе, как известно из опыта, колебания любой системы, если она не получаетизвне дополнительной энергии, в конце концов прекращаются, как говорят,затухают.

Это происходит потому, что в реальных случаях всегда в системе9имеются силы трения, благодаря которым энергия системы постепеннопереходит в тепловую энергию.Если скорость движения невелика, то в ряде случаев (трение в хорошосмазанных подшипниках, сопротивление воздуха) трение можно считатьжидким, т.е. силы трения пропорциональными первой степени скорости:f тр  bV  bdX.dt(12)Здесь b — коэффициент пропорциональности (коэффициент трения).Знак минус показывает, что сила трения направлена против движения (всторону, противоположную скорости).Для изучения колебательного движения при наличии тренияобратимся снова к движению груза, подвешенного на пружине.

В этомслучае во второй закон Ньютона (8) кроме упругой силы (7) войдет еще силатрения (12):ma  f  f тр .(13)Откудаmd2XdX kX  b2dtdtили X bkX  X  0.mm(14)Решение этого уравнения движения, т.е. нахождение функциивремени X  X t  , удовлетворяющий закону Ньютона в любой моментвремени, довольно сложно. Приведем здесь сразу окончательное выражение:X  t   Aebt2msin t    .(15)Здесь  определяется механическими свойствами системы (еепараметрами — упругостью пружины k , массой груза m и коэффициентомтрения b ):2k  b  .m  2m (16)В справедливости этого решения можно убедиться, подставив в (14)выражение (15) и приняв во внимание (16).

При этом левая часть уравнения(14) окажется тождественно равна правой.Колебания, закон которых выражается формулой (15), уже не будутгармоническими. В формулу (15) входят два множителя, зависящих отвремени. Один из них — sin t   — является периодической функцией10времени, а другой —ebt2m— с течением времени убывает. Еслиb2 tk  b 2 m можнокоэффициент трения мал, т.е.,товеличинуAAe1m  2m считать амплитудой, которая уменьшается с течением времени попоказательному(экспоненциальному)закону.Отношениедвухпоследовательных амплитуд (т.е.

амплитуд, взятых через промежутоквремени, равный периоду T )btbTAnAe 2 m2meb t T An 1Ae 2 m(17)не зависит от времени, азависиттолькоотмеханических свойств системыиможетслужитьхарактеристикойзатуханияколебаний. Это отношениеназывается д е к р е м е н т о мзатухания.Чембольшедекрементзатухания,темскорееуменьшаетсяамплитуда. Часто затуханиехарактеризуют натуральнымлогарифмом этого отношения:Рис.

5  lnAnbT.An 1 2m(18)Величина  называется л о г а р и ф м и ч е с к и м д е к р е м е н т о мзатухания.При малом затухании логарифмический декремент  имеет оченьпростой физический смысл. Он показывает, на какую долю своей величиныамплитуда уменьшается за период. В самом деле, из формулы (17) следует,чтоAn1  An eОтсюдаbT2m An e An  An1  An 1  e  .11Если воспользоваться формулойe   1   ,то получитсяAn  An 1 .An(19)При очень больших коэффициентах трения b [когда k m  b 2m2 ],несмотря на наличие сил, возвращающих систему в положение равновесия,колебания не возникают. Система возвращается в положение равновесияасимптотически (не переходя положения равновесия).

Такое движениеназывается а п е р и о д и ч е с к и м . На рис. 5 показан характер колебанийпри различных декрементах затухания.Затухание колебаний по показательному закону происходит только втом случае, когда сила трения пропорциональна скорости.

При этомотношение двух последовательных амплитуд (декремент затухания) остаетсяпостоянным. При других типах сил трения и закон затухания получаетсядругим. Могут быть колебательные системы, в которых жидкое трениепропорционально квадрату скорости; в иных системах имеется сухое трения.Если на опыте получается, что отношение двух последовательных амплитудне является постоянным, то это означает, что трение в этой системе непропорционально скорости.12ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИПринадлежности: массивное основание со стойкой, блок сфотодатчиком и осветителем, две пружины, диск, четыре плоских груза, одинвспомогательный груз в виде согнутого на конце стержня, платформа дляразмещения грузов, две вспомогательные пластинки из оргстекла,электронный секундомер со счетчиком числа колебаний, весы (всевзвешивания проводятся на электронных весах).Цель работы.

В работе изучаются свойства собственныхколебаний системы, представляющей собой подвешенный на пружине груз:находится зависимость частоты колебаний от жесткости пружины и массыгруза. Для изучения затухающих колебаний используется диск большогодиаметра, который колеблется вместе с грузом. В этом случае определяетсядекремент затухания и коэффициент силы трения, действующей на диск состороны среды (воздуха).Устройство установки. Общий вид установки представлен нарисунке 6. В верхней части стойки находится держатель пружины.

Кнему цепляется один из концов пружины. По всей длине стойки нанесенашкала. Во время измерений во втором и третьем упражнении к свободномуконцу пружины подвешивается диск. Во втором упражнении диск служитуказателем при определении удлинения пружины, а в третьем упражнениипри изучении затухающих колебаний - для создания силы трения. Снизу кдиску подвешивается платформа с нитью, на которую в процессевыполнения работы укладывается то или иное количество грузов.Блок с фотодатчиком используется для подсчета числаколебаний и времени. С помощью кабеля блок связан с электроннымсекундомером (рис. 7). Электронный секундомер управляется двумякнопками. Кнопка «ПУСК» переводит прибор в режим измерения времени ичисла колебаний. В этом режиме счетчик управляется платформой сгрузами, совершающими колебательное движение.