А.И. Козко - Лекции по математическому анализу

Лекции по математическому анализу.А.И. Козко.27 декабря 2007 г.2Оглавление0.10.20.30.40.5Интегралы, зависящие от параметра . . . . . . .Несобственные интегралы зависящие от параметраГамма-функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Преобразования Фурье . . . . . . . . . . . . . . . .

.Решение уравнение теплопроводности . . . . . . . .3..............................................................................................................471316194Оглавление0.1Интегралы, зависящие от параметраО п р е д е л е н и е.fx ⇒ϕ(x) , lim k fy (.) + ϕ(.)kC(E) = 0Exy→y0|{z}sup |fy (x) − ϕ(x)|x∈E∀yn → y0 , yn 6= y0 : kfyn (.) − ϕ(.)k → 0 ⇔ fy(x) ⇒ϕ(x), y → y0EN Предел по Гейне ⇔ предел по Коши К р и т е р и й К о ш иfy (x)⇒ϕ(x), y → y0 ⇔ ∀ε > 0 ∃Ȯδ (y0 ) ∀y1 , y2 ∈ Ȯδ (y0 ) : kfy1 (.) − ϕ(.)kC(E) ≤ εEN ⇒ ∀ε > 0 ∃Ȯδ (y0 ) : ∀y ∈ Ȯδ (y0 ) kfy (.) − ϕ(.)k ≤ ε∀y1 , y2 ∈ Ȯδ (Y0 ) : kfy1 − fy2 k ≤ kfy1 − ϕk + kϕ − fy2 k ≤ 2ε⇐|fy1 (x) − fy2 (x)| ≤ kfy1 − fy2 k ≤ ε{z}|По критерию Коши для одного пере⇓менного,∀x ∈ E ϕ(x) = lim fy (x)y→y0z }| {y2 → y0 , kfy1 (.) − ϕ(.)k ≤ ε f ∈ C [a, b] × [c, d] ∀y0 ∈ [c, d], fy (x)⇒ fy0 , y → y0no x[a,b]no yN f ∈ U C ([a, b] × [c, d]) (равномерно непрерывна, потому что компакт)⇒ sup по всем х от kfy (x) − fy0 (x)k ≤ sup ω |y − y0) | → 0x∈[a,b]pω(δ) = sup |f (x1 , y1 ) − f (x2 , y2 )|, (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 ≤ δ Теорема1.fy (x)⇒O(x0 )ϕ(x), y → y0 .

∃ lim ϕ(x). ⇒ lim lim fy (x) = limx→x0y→y0 x→x0◦2.fy ⇒ϕ(x), y → y0 , ∀y ∈ O (y0 ), ⇒ϕ(x )ϕ(x00)lim fy (x)x→x0 y→y0fy (x) ∈ C (ϕ(x0 )) ⇒ ϕ(x) ∈ C(x0 )◦3.fy (x)⇒ϕ(x), y → y0 , ∀y ∈ O (y0 ), fy (x) ∈ R [a, b] ⇒ ϕ(x) ∈ R[a, b][a,b]004.fy (x), (fy (x)) ∈ C ([a, b] × ϕ(y0 )) (fy (x)) ⇒F (x), y → y0 .[a,b]fy (x) сходится хотя бы в одной точке x0 , ∀y ∈ O(y0 ),тогда fy (x)⇒ϕ(x), y → y0 , y ∈ C 1 [a, b] и ϕ0 (x) = F (x)[a,b]N Это очевидно из утверждения (перевод по Гейне) (см. выше), а для последовательности всё доказано.∀yn → y0 (yn 6= y0 ) kfyn − ϕ(x)k → 0, yn → y0 . 0.1.Интегралы, зависящие от параметра5ЛеммаПусть f (x, y) ∈ C ([a, b] × [c, d]) ,Zvf (x, y)dx ∈ C ([a, b] × [c, d])тогда функция Ф(u, v, y) =uN |Ф(u + 4u, v + 4v, y + 4y) − Ф(u, v, y)| ≤≤ |Ф(u + 4u, v + 4v, y + 4y) − Ф(u + 4, v + 4, y)| + |Ф(u + 4u, v + 4v, y) − Ф(u, v, y)| = I1 + I2 ,v+4vR|f (x, y + 4y) − f (x, y)| dx ≤ ω (|4y|) · |b − a| → 0, т.к.ω − f непрерывнаI1 ≤u+4u !! v+4v v+4vRRuRRv −f (x, y)dx ≤−I2 = f (x, y)dx = u+4u u u+4uv v+4v Ru Rf dx ≤ C (|u| + |v|) → 0(из того, что f непрерывна) f dx + ≤ vu+4uТеоремаПустьf (x, y) ∈ C ([a, b] × [c, d])ZbZd ZbZb Zd f (x, y)dx dy =  f (x, y)dy  dxтогда F (y) = f (x, y)dx ∈ C[c, d] иacaacN 1.

Непрерывность доказывается по лемме.2. По теореме Фубини. ТеоремаПустьfy0Zbf (x, y) ∈ C ([a, b] × [c, d]) , тогда F (y) −10Zbf (x, y)dx ∈ C [c, d] и F (y) =af 0 (x, y)dx.a b Z Zb F (y + h) − F (y)f (x,y+h)−f (x,y)N /h − fy0 (x, y) dx = теор. Лагранжа =− fy0 (x, y)dx = h aa bZ Z00=f (x, y + θh) − fy (x, y) dx ≤ f 0 (x, y + θh) − fy0 (x, y) dx ≤ ω fy0 , |θh| |b − a| → 0.a|{z}( непрерывность ⇒ равномерная непрерывность, θ ∈ (0, 1))По предыдущей лемме f непрерывна.6ОглавлениеТеоремаПусть fy0 , f (x, y) ∈ C ([a, b] × [c, d]) ψ, ϕ : [c, d] → [a, b], ∈ C 1 [c, d], F (y) =ψ(x)Rf (x, y)dx.ϕ(x)Тогда F(y)∈ C 1 [c, d] и F 0 (y) = f (x, ψ(y))ψ 0 (y) − f (x, ϕ(y))ϕ0 (y) +ψ(y)Rf 0 (x, y)dx.ϕ(y)NФ(u, v, y) =Rvf (x, y)dx на множестве [a, b]2 × [c, d]Ф0v= f (x, v) непрерывнаФ0u = −f (x, u) непрерывнаuФ’y =Rvfy0 (x, y)dx непрерывна по лемме ⇒ Ф - дифференцируема.uПо теореме о диф.

функции0F’(y)=(Ф(ϕ(y), ψ(y), y))y = f (x, ψ(y))ψ 0 (y) − f (x, ϕ(y))ϕ0 (y) +ψ(y)Rf 0 (x, y)dx.ϕ(y)Каждое из слагаемых непрерывно, поэтому непрерывна и сама F’(x) 0.2.Несобственные интегралы зависящие от параметра0.27Несобственные интегралы зависящие от параметраО п р е д е л е н и е. F (y)=ω=+∞ω<Cпараметра.RωО п р е д е л е н и е.Rωf (x, y) dx — несобственный интеграл, зависящий отaf (x, y) dx ⇒, если Fb (y) =RaсемействофункцийbaYf (x, y) ⇒мн-во xz }| {∀ε > 0 ∃A [a; ω] Rω∀bε[A; ω) | f (x, y) dx| ≤ ε(|F (y) − Fb (y)|Bigl| ≤ εaТ е о р е м а (Критерий Коши)Несобственный интеграл, зависящий от парамтра, называется сходящимсяравномерно ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃A[a; ω) ∀b1 , b2 ε[A; ω) ,чтоbZ 2 f (x, y) dx < εb1ДоказательствоZb2ZaFb (y) =f (x, y) dx = Fb2 (y) − Fb1 (y)f (x, y) dx иbb1С л е д с т в и е.ff: [a, ω) × [c, d] → R C([a; ω) × [c; d])Zωf (x, y) dx – расходится в точке у = С.

Тогда равномерной сходимости на(c;d) нетaJВспомним Критерий Коши для функции, расходящейся в точке у = С.∃ε0 > 0∀A(a; ω)∃b1 , b2 [A, ω)Zb2 f (x, c) dx > ε0b1F (y) =Raf (x, y) dyC([c; d])b⇓ Rb2 f (x, c) dx ≥b1ε02в некоторой окрестности точке С∀y[c; c + δ]⇓Zb2 ε0sup f (x, c) dx ≥2y (c;d)b1Т е о р е м а Признак Веерштрасса1)g, f : [a; ω) × Y → R2)f gинтегрируемы[a, b] ⊂ [a; ω)8Оглавление|f (x, y)| ≤ g(x, y) ∀(x, y)[a; ω) × YRω3) g(x, y) dx равномерно сходяться на Y.aJ Rb2 Rb2Rb2 f (x, c) dx ≤ |f (x, y)| dx ≤ g(x, y) dxb1b1b1Т е о р е м а Признак Абеля – Дирихлеf, g : [a, ω) × [c; d] → R00 )f, g интегрируемы ∀[a; b] ⊂ [a; ω)000 )g(x, y) − монотонная функцию по x[a; ω)для∀y[c; d]RωАбель: 1)f (x, y) dx[c;d]⇒asup |g(x, y)| ≤ C.2)y[c;d]∀x[a;ω)ωRДирихле: 1 ) f (x, ·) dx≤C0∀b[a; ω)a2’) sup |g(x, y)| ⇒ 0 , x → ωy[c;d]ТогдаJRb2Raf (x, y) · g(x, y) dx [c;d]⇒ωf (x, y) · g(x, y) dx = g(b1 + 0, y)b1Rξf (x, y) dx + g(b2 − 0, y)Rb2f (x, y) dxξb1И, как и следовало ожидать, — очевидно по критерию Коши.Т е о р е м а ( Формула Фруллани)f [0; +∞)Z∞иf (x) − Cdx сходяться для некоторой С, a,b > 0xdтогдаR∞0Jf (ax)−f (bx)xdx = ln ab (f (0) − C)+∞Zf (ax) − Ct=axdx =xd+∞Zf (ax) − f (bx)dx =xdZbdf (bx) − Ct=axdx =xRmarkf (x) − Cdxx1 теор.

о среднемadC0f (+∞)+∞Zbdf (x) − Cdxxдалее предельный переход d−→ 0,f (x) − Cdxxadd+∞Z+∞Z=========Zbd(f (ξ) − C)adlim (. . .) =d−→0ξ[ad;bd]dxa=(f (ξ) − C) lnxb0.2.Несобственные интегралы зависящие от параметра9Т е о р е м а : f (x, y) : [a, ω) × Y −→ RRω1) f (x, y) dx ∃ как несобственный интеграл ∀yYa2) f (x, y) ⇒ ϕ(x) βy (y → y0 Y )Rω3) f (x, y) β⇒yaRωRωтогда lim f (x, y) dx = ϕ(x) dxβy aJlim limRbβy b→ω aaf (x, y) dx = lim limRbb→ω βy af (x, y) dx=теорема о свойствах равномернойсходимости параметрических семействRbRωт.п. 2= lim ϕ(x) dx = ϕ(x) dxb→ω aaТ е о р е м а : f (x, y) : [a, ω) × [c, d] −→ R1) f, fy0 (x, y) ∈ C([a, ω) × [c, d])Rω2) fy0 (x, y) dx⇒[c,d]a3)Rωfy0 (x, yo ) dx- сходится при yo ∈ [c, d]aТогда F (y) =F 0 (y) =Rωf (x, y) dx ∈ C 1 [c, d]aRωfy0 (x, y) dxaJFb =Rβf (x, y) dx, β → ωa1.Fb0 (y) =RβΦ(y), β → ω − сходится по формуле для собственного интеграла.fy0 (x, y) dx⇒[c,d]a2.Fb (yo ) =Rβf (x, yo ) dx, β → ω − сходится по формуле для собственного интеграла.a3.Fb (yo ) ∈ C 1 [c, d]Fb (y)⇒ , β → ω[c,d]F 0 (y) = Φ(y)Т е о р е м а : (Непрерывность)1) f ∈ C([a, ω) × [c, d])Rω2) f (x, y) dx⇒[c,d]aТогда F (y) =Rωf (x, y) dx ∈ C[c, d]aJF’b (y) =Rωf (x, y) dx − верно для собственного интеграла.a)1.Fb ∈C[c,d]2.Fb (y)⇒⇒ по принципу семейств параметричкских функций[c,d]Т е о р е м а : (Об интегрируемости )10Оглавление1) f ∈ C([a, ω) × [c, u])Rω2) f (x, y) dx⇒[c,u]aТогда F (y) =Rωf (x, y) dx ∈ R[c, u]aRu RωRω Ru( f (x, y)dx) dy = ( f (x, y)dy) dxcacaacacJRu RβRβ Ru( f (x, y)dx) dy = ( f (x, y)dy) dx − верно для собственного интегралаRuclimβ→ω −Rβ( f (x, y)dx) dy =aRβ1.Fb (y)= f (x,y)dx⇒ , β→ω[c,u]a2.Fb ∈ C[c,u], ∀β∈[c,u]limβ→ω⇓RuRβ Ru( f (x, y)dy) dxac⇒ по теореме о параметрических семействахFβ (x, y) dx =climβ→ω −Ruclimβ→ωFβ (x, y) dxТ е о р е м а : (Об интегрируемости (для несобственного интеграла))1) f ∈ C([a, ω) × [β, $])R$2) Φ(x) = f (x, y) dx⇒F (y) =Ru∀[c,β]⊂ [a,ω)af (x, y) dx⇒∀[c,u]⊂ [c,ω)c3) Если один из интегралов сходится:Rω R$R$ Rω( |f (x, y)|dy) dx, ( |f (x, y)|dx) dyaccaТо тогдаRω R$R$ Rω( f (x, y)dy) dx = ( f (x, y)dx) dyacJlimu→$caRu RωRω( f (x, y)dx) dy =caalimu→$Ru( f (x, y)dy) dxc↑обоснованиеБез ограничения общности:RuΦd (x) = f (x, y) dx⇒, u → $ − по условию 2.[a,β]⊂ [a,ω)cΦd (x) 6R$R$f (x, y) dy = G(x)cG(x)dx − cходитсяa⇓ по признаку ВейерштрассеRωΦd (x) dx ⇒aС л е д с т в и е.

(об интегрируемости (много несобственностей))1) f ∈ C((ω1 , ω2 ) × ($1 , $2 ))$R22) Φ(x) =f (x, y) dx⇒$R1c∀[a,β]⊂(ω1,ω2 )cf (x, y) dx⇒∀[a,β]⊂(ω1,ω2 )0.2.$R2Несобственные интегралы зависящие от параметра11f (x, y) dx⇒∀[a,β]⊂(ω1,ω2 )$13) Один из:$ωR 2 ωR2R2R2 $( |f (x, y)|dx) dy сходится то( |f (x, y)|dy) dx,ω1$1$1ω1ωR2тогда(f (x, y)dy) dx =$R2$1$1ω1J$R2(ωR2f (x, y)dx) dyω1Очевидно, так как достаточно разбить на несколько интегралов и преминить предыдущцю теорему.−I=R∞I=R∞2e−x dx =√π20J2e−u du =0e−x2 2ydx , u = xy0R∞I2 =R∞2e−y dy0R∞e−x2 2y22? R∞ R∞dx = ( ye−y (1+x ) dy) dx =00120R∞0dx1+x2=π4Обоснование(?):221. f (x, y) = ye−y (1+x ) ∈ C(R2 )R222. ye−y (1+x ) dy⇒Re−y2(1+x2 )6 ye−y2По признаку ВейерштрассеR∞ye−y2(1+x2 )22R∞2 2e−xydx равномерно сходится ∀ [c, d] ⊂ (0, +∞).002dx = ye−y2ye−y (1+x ) 6 d e−c(1+x )R∞ R∞223.