А.И. Козко - Лекции по математическому анализу, страница 2

( |ye−y (1+x ) |dy) dx − сходится00R∞ sin(αx)0dx = (sign(α)) π2xJ1. α = 0 − очевидно2. α < 0 − сводится к α > 0.3. α > 0R∞F (β) = sin(t)e−βt dt , β > 0t01) f (t, β) = sin(αt)e−βt ∈ C(R2 )t−βfβ = −sin(αt) e ∈ C(R2 )R∞2) − sin(αt) e−β dt⇒− сходится по Вейерштрассе так как:∀β∈(βo ,∞)0−βt−βo t| − sin(t) e | 6 e3) F (1) − сходитсяsin(t)t− cходится равномерно по признаку Дирихлеsin(t)te−βt − сходится равномерно по признаку Абеля, так как |e−βt | 6 1 и e−βt монотонна по t∀β ∈ [0, ∞]Далее βo > 0, α > 0, β ∈ [βo , +∞]R∞R∞11F 0 (β) = − sin(αt) e−β dt = Im e(β+αi)t dt = Im β+αi= Im( ββ−αi2 +α2 ) = − β 2 +α20βF (β) = −arctg( α)+ Cπ0 = − 2 + C (β → +∞)012⇒ C = π2β)+F (β) = −arctg( αОглавлениеπ2и устремляем β к нулю0.3.Гамма-функция0.313Гамма-функцияО п р е д е л е н и е.+∞R x−1 −tГ(x) =te dt0R1В(x, y) =tx−1 (1 − x)y−1 dt x, y > 00Теорема0.

Г(x) определена при x > 0, В(x, y) определена при x, y > 01. Г(x + 1) = xГ(x)2. В(x, y) = В(y, x)3. Г(n + 1) = n!+∞R 4. В(x, y) =0tx−1(1+t)x+ydt5. В(x, y) =x−1x+y−1 В(x6. В(x, y) =y−1x+y−1 В(x, y8. B(x, n) =(n−1)!x(x+1)...(x+n−1) ,9. B(m, n) =10. Г(x) =R10− 1, y)(n−1)!(m−1)!(n+m−1)!− 1)n ∈ N, x > oГ(m) , n, m ∈ N= ГГ(n)(n+m)lnx−1 ( n1 )dnnx (n−1)!x(x+1)...(x+n−1)n→+∞11. Г(x) = lim nx b(x, n) = Формула Эйлера-Гаусса = limn→+∞12. Формула дополненийπГ(x)Г(1 − x) = sin(πx), x ∈ (0, 1)13.π\2R014. Гsinα t cosβ tdt = 21 B12=√α+1 β+12 , 2πГ(β) , α, β > 015. B(α, β) = ГГ(α)(α+β)N 1.Г(x + 1) = −+∞Rtx de−t = x0+∞Rtx−1 e−t dt = xГ(x)02.

Очевидно, z = x − 13. Г(1) = 1, см. п. 1 , Г(x + 1) = xГ(x)4. t =5. В =zz+1R10R1 x−1 tx−1 d (1 − t)y−1 = − y1td(1 − t)y =014=Оглавлениеx−1yR1tx−2 (1 − t)y−1 − t(1 − t)y−1 dt =0x−1y B(x− 1, y) −x−1y B(x, y)6. Из св-ва 2.8. B(x, 1) = x1 , очевидно из свойства 5Г(m) , n, m ∈ N9. см.

св-во 8, В(m, n) = ГГ(n)(m+n)10. очевидно, t = ln( n1 )11. Г(x) = lim nx B(n, x)n→+∞12. Формула дополненийπ, x ∈ (0; 1)Г(x)Г(1 − x) = sin(πx)N x−1=γ 11. fn (u) = n 1 − u n ) ⇒ ln( n1 ), n → +∞, ∀ε ∈ (0; 1)hi[ε;1]γ110 . fn(u) = n(1 − n n ) γ[ε;1] ⇒ lnγ n1 , γ ≥ 1R1x−12. x ≥ 1 (fn (u))dx⇒n∈N0γ3. [fn (u)] ∈ R[0; 1], ∀n, в несобственном смысле.2121. n(1 − n n ) − ln( n1 ) ≤ ln2nu ≤ ln2nε → 0, n → +∞фиксируемγ > 0, εhγiγ Rε 12ln eRRε h ln n11ln ne n 2n2 1 n(1 − n n ) du ≤du≤−nlnnn +000γγRε= n1γln n11 + ln n1 du ≤ C(ε) → 01ln2 n2n2iγdu=0t = ln u (u = et ) ⇒+∞Rtγ (1 + t)γ e−t dt - сходится0ЗамечанеAfn (u)⇒ g(u) (n → +∞) ⇒ h (fN (u)) (h ∈ Lip C) ⇒ g(u) (n → +∞),f ∈ Lipα C на А ⇔ |f () − f (y)| ≤ C|x − y|α ∀x, y ∈ AN |h (fn (u)) − h (gn (u))| ≤ C |fn (u) − g(u)| h(t) = tγ , γ ≥ 1h0 (t) = γtγ−1Г(x) =R1lnx−10= lim nxn→+∞R11udu = limR1"n→+∞ 0x−1 #1nx−1 1 − |{z}undu =u=v nv n−1 (1 − v)x−1 dv = lim nx B(n, x)n→+∞0x > 2 ⇒ x ∈ (1; +∞) ⇒ x ∈ (0; +∞)xГ(x) = lim nx B(n, x)x, x ≥ 2n→+∞Г(x + 1) = limn→+∞ x+1nB(n, x + 1)x+nnx+nn→10.3.Гамма-функция15Г(x + 1) = limn→+∞ nx+1 B(n, x + 1) ih(n−1)!n1−x (n−1)!=12.

Г(x)Г(1 − x) = lim nx x(x+1)...(x+n−1)× (n−x)(n−1−x)...(1−x)hin= lim x(1+ x )...(1+× (1− x )(1− 1x )...(1− x ) =x1n−1 )nn−11n→+∞+∞sin(πx)11πx2= x lim +∞ т.к.=П1− = sin(πx)2πxkk=12n→+∞ П1− xk2k=113. Очевидно, z = sinα t14. Очевидно, из формулы дополненийГ(α+β) = R +∞xα+β−1 e−(1−y)x dx, t = (1 + y)x, α, β > 2 ⇒15. (1+y)α+β0⇒ Г(α + β)B(α, β) =+∞R0= +∞+∞RR0α−1yГ(α + β) (1+y)α+β dx = +∞Z+∞Rxα+β−1 e−(1+y)x dx y α−1 dy = ??? =xβ−1 e−x  (yx)α−1 e−yx d(yx) dx = Г(α)Г(β)000|{z}Г(α)Обоснование21. f (x, y) = xα+β−1 y α−1 e−(1+y)x∈C(R ) +∞+∞RR2.|f (x, y)|dy dx = Г(α)Г(β) − сходится при α, β > 03.0+∞R0f (x, y)dy − сходится равномерно0limsupb→+∞ x∈[0;+∞]β −x=x e+∞Rtxβ e−x+∞R(xy)α−1 e−yx d(yx) =bα−1 −te dt = F (t = xy)bxНадо думать, что этот lim sup = 00≤sup≤ sup F +x∈[0,+∞]x∈[0,x0 ]supF = S1 + S2x∈[x0 ,+∞]sup xβ e−x < ε\Г(α)x0 :x∈[o,x0 ]+∞R α−1 −tεte dt = εS1 ≤ Г(α)0 +∞R α−1 −tS2 ≤ max (xβ e−x )te[0,+∞]bx0limsupb→+∞ x∈[0,+∞]|F | ≤ εlim+∞Rb→+∞ bx− сходится, а x0 фиксируем.!tα−1 e−tdt = ε, (lim ...) = 00o3 .

Думаем, что равномерно сходится+∞Rf (x, y)dx (y ∈ (0, +∞))0+∞Re−yx − (xy)α−1 xβ e−x dx ≤ ( max (xβ e−x ))[0,+∞]blimsupb→+∞ x∈[0,+∞]Итог: B(α, β)|R+∞Rxβ e−x dxbf (x, y)dx| ≤ lim ( max (xβ e−x ))b+∞Г(β) ,= ГГ(α)(α+β)y→+∞ [0,+∞]+∞Rxβ e−x dx = 0.bα, β ≥ 2. По формулам понижения получаем, что это верно и для α, β > 016Оглавление0.4Преобразования ФурьеНаводящие соображения.fV arx , f L[−πu; πu]+∞Pf (x+0)+f (x−0)(ak cos ux + bk sin ux ) == a20 +2k=1Для тех кто забыл, повторяем:−iαiαiα−iαcos α = e +esin α = i(e 2−e )2=+∞Pxck ei u kk=−∞iπuR1dc0 = a20 = 2πuf (t) dt|−iπuπu|Rt1k=|ck = ak −ibf (t)e−i u k dt22πu−πu|πuRt|ak +ibk1bc−k = 2 = 2πuf (t)ei u k dt−πuak =1πuπuRf (t)−πucossintuktukdtВывод: очевидно,что в комплексной областиck =f (x+0)−f (x−0)2=+∞Pck eiπxu k=k=−∞[если12πu+∞P12πuπuRZπukf (t)e−i u t dt, k Zπukf (t)ei u (x−t) dt =k=−∞ −πuλk = ukπuRf (t)eiλk (x−t) dt]ϕ(λk ) =−πu=12π+∞P(λk+1 − λk ) ϕ(λk ) →k=−∞+∞R1ϕ(λ)dλu→+∞2π−∞=12π+∞R+∞R−∞−∞!f (t)e−iλtdt eПреобразования Фурье+∞Rпрямое: Ff (λ) = √12πf (t)e−iλt dtобратное: Fg−1 (x) =f (x+0)−f (x−0)√1===f ∈L(R)22π+∞R−∞−∞+∞R√12πg(λ)eiλx dλ−∞Ff (λ)eiλx dλ = Fg−1 (x), где g = Ff (λ).Т е о р е м а Свойства преобразований Фурье!−iλx=√12π+∞R−∞Ff (λ)e−iλx dx0.4.Преобразования Фурье171.

Fα1 f1 +α2 f2 = α1 Ff1 + α2 Ff2 ;2. Ff 0 = (iλ)Fg3. Ff (x) (λ) 0λ = −iFxf (x) (λ)4. Пусть f 2 , d2 ∈ L(R), тогда справедливо равенство+∞Rf (t)g(t)dt = −−∞+∞RFf (λ)Fg (λ)dλ−∞N 1. очевидно2. т.к. f, g - не равна нулю только в конечном отрезке, то она всюду плотнаяF= −iλFf (λ), далее интегрируем по частям.+∞Rg 0 (λ)e−iλt df (t)=−∞3. дифференцируем по параметруR RR1iλt1√Ff (λ)e dλ g(t)dt = без док-ва =4. f, g (R), f (t)g(t)dt = 2πR R RRRR= √12π Ff (λ)g(t)e−iλt dt dλ = Ff (λ)Fg (λ)dλRRRПреобразования ФурьеFf (λ) =√12πf (t)e−iλt dtRRF 0g (x) =√12πRg(λ)eiλx dλR12πf (x) =RRRf (t) cos λ(x − t)dt dλRf :R→RЛеммаf, |f |R(R),A, δ(0 , +∞), sRARR1f (t) cos λ(x − t) dt dλ =2π−ARJ12πRA−ARf (t) cos λ(x − t) dt dλ1πRδ0sin Aξξ( f (x + ξ) + f (x − ξ) − 2s) dξ + s + 0(1) , A → +∞=======1πRRδ0sin A(x−t)x−tf (t) dt↑1.

по λ [-A,A] равн. сходимость2.по признаку Веерштрасса3.f (t) cos λ(x − t)R +∞R|f (t)| dt < ε‘T−TR|f (t)| dt < ε−∞T > |x| + δ====1π−∞R−T+x−δR−T+x+δRx−δ+RT!+x+δпервое и последнее слагаемые стремяться к нулю, второе и предпоследнее при |A| < ∞ по лемме Римана - Лебега тожестремятся к нулю и, наконец, третье (предпредпоследнее) равно:+∞RT18Оглавление1π1πx+δR+0(1) =x−δRδ0sin(Aξ)ξ1πRδδsin(Aξ)ξdξ + 0(1) =f (x+ξ)+f (x−ξ) dξ +0(1) =Rδ0"sin(Aξ)ξf (x+ξ)+f (x−ξ)−2s dξ +слагаемое в кв.

скобках - не что иное как:+∞+∞R sin uR sin uπu du −u du = 2 + 0(1)0AδПРИЗНАК ЖОРДАНАf L(R), δ(0; +∞)f V arxТогдаR R1f (t) cos(λ)(x − t) dt dλ =2π RRJf (x+0)+f (x−0)2f V arxf (x+0)+f (x−0), A → +∞⇔ ∃δ(0; +∞) : f V ar (Vδ (x))2Rδдоказанному ранне: sin(Aξ)f (x + ξ) + f (x − ξ) − 2s∗ dξξ|{z}0s∗ =по→ 0, A → +∞ ϕx,s (ξ)ПРИЗНАК ДИНИf L(R), δ(0; +∞)иRδ0ψx,s (ψ)ψdψ — сходится при некотором sR Тогда12πZ ZRf (t) cos(λ)(x − t) dt dλ = sRJ Очевидно, чтоZδsin(Aξ)f (x + ξ) + f (x − ξ) − 2s dξ → 0, A → +∞ξ0иR0ПРИЗНАК ДИНИ 2 f L(R), δ(0; +∞)(x−0)δ f (x+ξ)+fdξ − −− сходится.

Очевидно, чтоξ12πZ ZRf (x + 0) + f (x − 0)f (t) cos(λ)(x − t) dt dλ =2RJ Доказательство, очевидности:По предположению признака Дини s =f (x+0)+f (x−0)22sπ Rδ0#sin(Aξ)ξdξ + 0(1)0.5.Решение уравнение теплопроводности0.519Решение уравнение теплопроводности2= a2 ∂∂xu2 ,u(x, 0) = ψ(x)xR t[0; +∞) a 6= 0; ψ = L(R) JF 0 = a2 Fu00 xu tFu(x;0) = Fψ(x)(Fu )t0 = −a2 λ2 FuF= Fψ(x) (λ)∂u∂tut=022Fu = Fψ e−a λ t × √12π eiλx dλR22u(x, t) = R Fψ e−a λ t × √12π eiλx dλ =R R2б/д2= 1/2π R R ψ(ξ)e−a λ t+iλx−iλξ dξ dλ =RR2ξ−x 21dλ dξψ(ξ) e−θ e− at22RR−(x−ξ)1= 2a√ψξe atdξ = R ψ(ξ)G(x, t, ξ) dξπt R Если f(x) — чётная, то:q +∞RF c (λ) = π2f (t) cos λt dt(Fpc )−1q2π0+∞Rg(λ) cos λx dλ0√√где θ = a tλ + i(ξ−x)a tФормула обращения.f εL(R),T δε(0; +∞)f ε (V arx C(x))+∞+∞RR1.

f (x) = 2πcos λxf (t) cos λt dt dλ=2. f (x) = 2π0+∞Rsin λx0+∞Rf (t) sin λt dt dλ0R3. f (x) = 1/2π R eiλx ( R f (t)e−iλt dt)dλ0RЧто аналогично 1/2πRRcos λxRRf (t) cos λt dt dλ + 1/2πRRsin λxRRf (t) sin λt dt dλ20ОглавлениеУвы! Лекции закончились, спасибо за внимание....