Программа экзаменов 1-4 семестры (Седлецкий А.М.), страница 3

Ортогональная система непрерывных функций на отрезке. Тригонометрическая система, её ортогональность на отрезке длины 2π. Единственность разложения функции в тригонометрический ряд. Ряд Фурье.Оценки коэффициентов Фурье. Простейшие результаты о сходимости ряда Фурье. Разложение sin в бесконечное произведение.723. Ядра Дирихле и Фейера. Теорема Фейера и её следствия.24. Аппроксимация в нормированных пространствах. Теоремы Вейерштрасса о плотности тригонометрическихмногочленов в C2π и о плотности алгебраических многочленов в C[a, b].

Плотность тригонометрическихмногочленов в R2 [−π, π].25. ОНС в предгильбертовом пространстве. Ряд Фурье. Наилучшее приближение. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя. Стремление к 0 коэффициентов Фурье. Условия разложимостипроизвольного элемента в ряд Фурье. Критерий базиса для ОНС.26. Тригонометрический ряд Фурье, сходимость в среднем. Равенство Парсеваля. Ряд Фурье по синусам икосинусам на (0, π). Пространство R2c [−π, π]. Ряд Фурье в комплексной форме.27.

Принцип локализации и признак Дини. Признак Жордана.28. Ряд Фурье в интервале произвольной длины. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье и его свойства.Обращение преобразования Фурье. Аналог признака Жордана (без доказательства). Синус- и косинуспреобразования Фурье.29. Операции над рядами Фурье. Почленное интегрирование и дифференцирование, свёртка функций и еёряд Фурье.3.2. Вопросы и задачи коллоквиумаТеоретическая часть совпадает с вопросами 1 – 13 экзаменационной программы. Задачи:∞∞PPЗадача 1. Пусть an , bn > 0 и an = o(bn ), n → ∞.

Тогдаbn < +∞ ⇒an < +∞.11Так как an = o(bn ), то ∃ N0 : abnn < 1, n > N0 . Значит, для достаточно больших n имеем an < bn ⇒ по∞∞PPтеореме сравнения из сходимостиbn следует сходимостьan . 11Задача 2. an → 0, n → ∞ ⇒ ∃ {nk } :∞Pk=1|ank | < 12 .Так как an → 0, то можно выделить подпоследовательность ank такую, что ank <∞Xank <1∞X11.2k+2Имеем1/411== .2k+221 − 12(2)Задача 3. Построить сходящийся знакоположительный ряд∞Pan , для которого lim1Положим an =12n ,n→∞an+1an> 1.если n чётное, и an = ln2nn , если n нечётное. Очевидно, что ряд сходится, и1a2n+1lim= ln(2n + 1) = +∞.n→∞a2n2Задача 4.

При α > 0 биномиальный ряд сходится в точках ±1. При α ∈ N в биномиальном ряде конечное число ненулевых членов и, следовательно, он сходится. Далее∞Pαбудем считать α ∈/ N. Тогда в точке 1 получим рядk . При k > α этот ряд — знакочередующийся, причёмk=0|ak+1 ||ak |k−αk+1< 1, а следовательно, сходится.∞PВ точке −1 получаем ряд(−1)k αk . При k > α этот ряд — знакопостоянный. По признаку Гаусса=k=0akk+1α+1α + 1 γk==1+=1++ 2,ak+1k−αk−αkkгде γk — ограниченная последовательность.

Так как α + 1 > 1, то рассматриваемый ряд сходится. В последующих задачах потребуется следующее утверждение:Утверждение 1. Пусть функция f (x) невозрастает. Тогдаn+mZf (x) dx >nn+mXf (k) >k=n+1n+m+1Zf (x) dx.n+18Формальное его доказательство было в курсе. Вспомним, что интеграл — «площадь под графиком», и оностановится очевидным.Следствие 1. Пусть функция f (x) невозрастает и lim f (n) = 0.

Тогда существует конечный пределn→∞lim n→∞Zn0f (x) dx −nXk=1f (k) .Следствие 2. Пусть функция f (x) невозрастает интегралZ∞f (x) dx >n∞Xf (k) >k=n+1RZ∞f (x) dx сходится. Тогдаf (x) dx.n+1Задача 5. Доказать оценку остатка обобщённого гармонического ряда:∞X1111166α−1αα−1α − 1 (n + 1)kα−1nпри α > 0.k=n+1Эта задача является частным случаем следствия 2. Задача 6. Доказать оценку частичной суммы обобщённого гармонического ряда при α ∈ (0, 1):n X 111(n + 1)1−α − 1 <<n1−α .1−αkα1−αk=1Эта задача является частным случаем утверждения 1.

Задача 7. Доказать оценку частичной суммы гармонического ряда: ln(n + 1) <nPk=11k< ln n + 1. Первое из неравенств этой задачи сразу следует из утверждения 1 (подставим в утверждение n = 1).Второе следует из утверждения 1 после вычитания 1 из обеих частей. nP1Задача 8. Доказать сходимость последовательностиk − ln n.k=1Частный случай следствия 1. ∞PЗадача 9.

Пусть an > 0 иan сходится. Тогда найдутся 0 < b1 6 b2 6 . . . 6 bn 6 . . . такие, что bn → ∞и∞P11an bn < ∞.Пусть cn =∞Pak . Тогда достаточно положить bn =n+1√ 1cn−1 .Очевидно, что bn возрастает и стремится кбесконечности. Докажем, что ряд an bn сходится. Действительно,√cn−1 − cnan√2( cn−1 − cn ) = 2 · √= an b n .√ >√cn−1 + cncn−1Следовательно, по оценочному признаку сходимости, ряд an bn сходится.

∞PЗадача 10. Доказать, чтоcos nx расходится при всех действительных x.n=1 Докажем, что последовательность dn = cos nx не стремится к нулю ни при каком действительном x.Предположим, что для какого-то числа x выполнено lim dn = 0. Переходя к пределу в равенстве cos(n + 1)x =n→∞√= cos nx cos x − sin nx sin x, получим lim sin nx sin x = 0. Заметим далее, что | sin nx| = 1 − cos2 nx → 1 приn→∞n → ∞. Следовательно, sin x = 0, то есть x = 2πk или x = π + 2πk. В каждом из этих случаев | cos nx| = 1.Итак, ни при каком действительном x последовательность cos nx не является бесконечно малой.

Значит, дляряда из условия задачи не выполнено необходимое условие сходимости, поэтому он расходится. ∞PЗадача 11. Доказать, чтоsin nx расходится при x 6= kπ.n=1Аналогично задаче 10. 9Задача 12. Исследовать на сходимость двойной ряд∞Pm=2,n=11mn .Этот ряд содержит в качестве подряда (при n = 1) гармонический ряд, а значит расходится. ∞P1Задача 13. Найти сумму двойного рядаmn .m=2n=2∞ X∞∞∞∞XXXX11111===−= 1.nn2mmm − m m=2 m − 1 mm=2 n=2m=2m=2n=2Задача 14. Доказать, что ряд∞P√x ln n1+n3 xсходится равномерно на [0, +∞).√√x ln nln n По неравенству о средних, 1 + n3 x > 2 n3 x. Следовательно, 1+n3 x 6 2n3/2 , т.

е. исходный ряд непревосходит сходящегося ряда с постоянными членами, а значит равномерно сходится. ∞PxnЗадача 15. Рядn сходится неравномерно на (−1, 1).n=1n=1 Сходимость ряда следует, например, из того, что его радиус сходимости равен единице. Докажем, чтосходимость неравномерная. Для этого достаточно заметить, например, что сумма ряда равна − ln(1 − x) − x инеограниченна на (−1, 1), а равномерный предел ограниченных функций ограничен.

∞PЗадача 16. Рядn−x сходится равномерно на [1 + ε, +∞) для ∀ ε > 0 и неравномерно на (1, +∞).n=1Докажем сначала, что этот ряд сходится равномерно на [1 + ε, ∞). Действительно, при таких x ряд∞Pоценивается сверху сходящимся рядом с постоянными членами, а именноn−(1+ε) , а значит равномерноn=1сходится.Теперь докажем, что этот ряд сходится неравномерно на (1, +∞). Допустим, он сходится равномерно, т. е.∀ ε > 0 ∃ n0 : ∀ n > n0 , ∀ x ∈ (1, +∞) имеем rn (x) =По задаче 5, rn (x) >∀ x > 1 имеем11x−1 (n+1)x−1 .∞Xn−x < ε.k=n+1Следовательно, подставляя ε = 1, n = n0 , получим, что ∃ n0 такое, что для11·< 1,x − 1 (n0 + 1)x−1(3)откуда (x − 1)(n0 + 1)x−1 > 1.

Так как (n0 + 1)x−1 < n0 + 1 при x < 2, то при всех 1 < x < 2 выполненонеравенство (x − 1)(n0 + 1) > 1, что невозможно (например, в пределе при x → 1 получаем 0 > 1). 104. 4 семестр4.1. Программа экзамена1. Двойной интеграл по прямоугольнику. Критерии интегрируемости.2. Двойной интеграл по измеримому множеству. Критерии интегрируемости. Эквивалентность двух понятийинтегрируемости.3.

Измеримые по Жордану множества в R3 . Критерий измеримости цилиндрического бруса.4. Свойства двойного интеграла и его сведение к повторному.5. Кратные интегралы. Сведение тройного интеграла к повторному. Объём n-мерного симплекса.6. Леммы об отображениях класса C1 .7. Криволинейные координаты. Объём в криволинейных координатах. Замена переменных в кратном интеграле.8. Множества лебеговой меры нуль в Rn . Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману на параллелепипеде.9.

Несобственные кратные интегралы. Критерий сходимости интеграла от неотрицательной функции. Теорема сравнения. Эквивалентность понятий сходимости и абсолютной сходимости в Rn при n > 2.10. Площадь поверхности.11. Задача о вычислении массы материальной кривой. Криволинейный интеграл первого рода, его сведение копределённому. Задача о вычислении работы силового поля. Криволинейный интеграл второго рода и егосведение к определённому.12.

Связь между интегралами первого и второго рода. Формула Грина.13. Поверхностный интеграл второго рода, его сведение к двойному.14. Ориентация поверхности. задача о вычислении количества жидкости, протекающего за единицу временичерез ориентированную поверхность. Интеграл по ориентированной поверхности, его вычисление.15. Ориентированные кусочно-гладкие поверхности.

Формула Гаусса – Остроградского. Вторая формула Грина.16. Гармонические функции двух переменных. Ядро Пуассона. Интеграл Пуассона. Представление гармонической функции интегралом Пуассона. Гармонические функции на плоскости.17. Формула Стокса.18. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Скалярные ивекторные поля. Векторные линии и векторные трубки.

Дивергенция векторного поля. Инвариантное определение дивергенции и его физический смысл. Соленоидальное поле.19. Ротор векторного поля. Инвариантное определение, физический смысл. Примеры. Потенциальное поле.Оператор Гамильтона ∇.20.

Дифференциальные операции теории поля второго порядка.21. Ортогональные криволинейные координаты. Коэффициенты Ламе. Выражение градиента, дивергенции иоператора Лапласа в ортогональных криволинейных координатах.22. k-мерные кусочно-гладкие поверхности в Rn . Согласование ориентации поверхности и её границы.

Дифференциальные формы. Замена переменных. Интеграл от дифференциальной формы.23. Внешний дифференциал дифференциальной формы. Общая формула Стокса (без доказательства).24. Метод Лапласа асимптотической оценки интегралов. Примеры: формула Стирлинга, асимптотика бесселевой функции целого порядка.Последняя компиляция: 19 февраля 2006 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.11.