Программа экзаменов 1-4 семестры (Седлецкий А.М.)

Математический анализЛектор — Анатолий Мечиславович СедлецкийРешения задач: DMVN Corporation, UrKud1–4 семестры, 2002–2004 г.1. 1 семестр1.1. Программа экзамена1. Множества. Операции над множествами и их свойства. Отображения. Простейшая классификация отображений. Обратное отображение. Композиция отображений. Композиция биекций.2. Аксиоматика и свойства вещественных чисел. Верхняя и нижняя грани числового множества. Лемма оверхней грани.3.

Натуральные числа. Принцип математической индукции. Неравенство Бернулли. Бином Ньютона. Принцип Архимеда и его следствия. Геометрическая интерпретация вещественных чисел. Модуль числа и егосвойства. Множества точек на прямой.4. Лемма о вложенных отрезках. Лемма о конечном покрытии. Лемма о предельной точке.5. Эквивалентные множества. Счётные множества и их свойства.

Несчётность множества [0, 1] и её следствия.Мощность континуума.6. Предел последовательности. Определения и примеры. Ограниченность сходящейся последовательности.Предел и предельная точка. Единственность предела. Переход к пределу в неравенстве. Арифметическиеоперации над пределами.7. Критерий Коши. Теорема о пределе монотонной последовательности. Число e.8. Частичный предел последовательности. Теорема Больцано – Вейерштрасса.

Верхний и нижний пределыпоследовательности. Их существование у ограниченной последовательности. Условия сходимости ограниченной последовательности. Бесконечно большие последовательности. Расширение множества R. Расширенный вариант теоремы Больцано – Вейерштрасса. Верхний и нижний пределы произвольной последовательности. Условия сходимости произвольной последовательности в широком смысле.9. Предел функции в точке. Определение, примеры отрицание.

Локальная ограниченность функции, имеющей предел. Предел функции в точке по Гейне. Эквивалентность понятий предела по Коши и по Гейне.Единственность предела. Бесконечно малые функции и их свойства. Арифметические операции над пределами.10. Переход к пределу (функции) в неравенстве. Предел промежуточной функции. Первый замечательныйпредел. Критерий Коши существования предела функции в точке. Предел монотонной функции.11.

Предел функции по базе. Наиболее употребительные базы. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми. Односторонние пределы. Предел композиции функций. Второй замечательный предел.12. Непрерывность функции в точке. Определения, примеры (у = const, у = х , у = sin x). Односторонняя непрерывность. Классификация точек разрыва, примеры Локальные свойства непрерывных функций.Непрерывность многочлена, рациональной и тригонометрических функций.13. Глобальные свойства непрерывной функции на отрезке.

Теорема о нуле непрерывной функции, промежуточные значения. Теоремы Вейерштрасса об ограниченности и достижимости точных граней.14. Точки разрыва монотонной функции, их характер и мощность. Критерий непрерывности монотоннойфункции. Теорема об обратной функции. Обратные тригонометрические функции.15. Построение показательной функции на основе теории пределов и непрерывности. Логарифмическая истепенная функция.

Гиперболические функции. Обратные гиперболические функции.16. Понятие равномерной непрерывности. Примеры. Равномерная непрерывность функции, непрерывной наотрезке. Модуль непрерывности функции и его свойства.17. Сравнение функций. Символы «O» и «o», их свойства. Примеры. Критерий эквивалентности функций.Таблица эквивалентных бесконечно малых. Замена эквивалентных при вычислении пределов. Примеры.118. Понятие производной функции. Механический и геометрический смысл.

Дифференцируемость функциив точке, необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Непрерывность функции, имеющейпроизводную. Дифференциал и его геометрический смысл. Производная композиции функций. Инвариантность формы дифференциала. Производная обратной функции. Правила дифференцирования.19. Таблица производных. Логарифмическое дифференцирование. Производные и дифференциалы высшихпорядков. Формула Лейбница.

Параметрическое дифференцирование. Пример.20. Теоремы Ферма, Ролля, их геометрический смысл. Односторонние производные, геометрический смысл,связь с односторонней непрерывностью. Бесконечные производные. Теорема Дарбу.21. Теорема Лагранжа и её следствия: постоянство функции с нулевой производной, равномерная непрерывность функции с ограниченной производной, достаточное условие строгой монотонности. Доказательстванеравенств, предел производной, характер точек разрыва производной.22. Теорема Коши. Правило Лопиталя (раскрытие неопределенностей вида 00 и ∞∞ ).

Сравнение роста показательной, степенной и логарифмической функций.23. Формула Тейлора. Остаточный член в общей форме. Остаточный член в форме Коши, Лагранжа, Пеано.Разложения элементарных функций но формуле Тейлора – Маклорена. Применения.24. Исследование монотонности и экстремумов функции с помощью первой производной. Применение к доказательству неравенств. Достаточное условие существования обратной функции.25. Выпуклые функции. Эквивалентные определения. Существование односторонних производных. Два критерия выпуклости дифференцируемой функции. Вогнутые функции.26.

Точки перегиба функции, необходимое условие точки перегиба, достаточное условие. Исследование функции с помощью высших производных. Асимптоты графика функции.27. Классические неравенства (Йенсена, Юнга, Гёльдера, Минковского, сравнение среднего геометрическогосо средним арифметическим).28.

Первообразная. Неопределенный интеграл. Таблица интегралов. Интегрирование заменой переменной ипо частям. Обобщенная первообразная.1.2. Вопросы и задачи коллоквиумов1.2.1. Коллоквиум №1Теоретическая часть совпадает с вопросами 1 – 14 экзаменационной программы. Задачи:Задача 1. Установить биекцию [0, 1] ↔ (0, 1).Задача 2. Доказать, что в любой окрестности рациональной точки есть иррациональная точка.Задача 3. Доказать, что если xn → a, то иx1 +x2 +...+xnn→ a (здесь и далее n → ∞).√nЗадача 4. Доказать, что если xn → a, то и x1 x2 .

. . xn → a при a > 0.Задача 5. Доказать, что xn =1111 + 2 + . . . + n не является фундаментальной.11112 + 22 + . . . + n2 является фундаментальной.Задача 6. Доказать, что xn =√Задача 7. Доказать, что n a → 1 при a > 0.Задача 8. Доказать, чтоnqn→ 0 при q > 1.√Задача 9. Доказать, что n n → 1.Задача 10. Доказать, чтоqnn!→ 0.Задача 11. Доказать, что lim xn = lim sup xk .n→∞ k>nЗадача 12.

Доказать, что lim (xn + yn ) 6 lim xn + lim yn .Задача 13. Доказать, что если одна из последовательностей сходится, то lim (xn + yn ) = lim xn + lim yn .(1, x ∈ Q;Задача 14. Доказать, что функция Дирихле D(x) =разрывна всюду.0, x ∈ R r QЗадача 15. Доказать сходимость и найти предел: x1 = a, x2 = b, xn+2 = 12 (xn + xn+1 ).Задача 16. Доказать сходимость и найти предел: x0 > 0, xn+1 = 21 xn + x1n .21.2.2. Коллоквиум №2Теоретическая часть совпадает с вопросами 15 – 23 экзаменационной программы. Задачи:√Задача 1.

Найти модуль непрерывности функции x, x ∈ [0, 1].Задача 2. Доказать, что если f периодична, то f ′ периодична с тем же периодом.3Задача 3. f (x) = |x| . Найти f ′ (x), f ′′ (x), f ′′′ (0).2Задача 4. Доказать, что если |f (x) − f (y)| 6 C |x − y| для ∀ x, y ∈ [a, b], то f = const.Задача 5. Доказать, что если все корни многочлена вещественны, то и все корни его производной вещественны.Задача 6. Доказать, что если f дифференцируема на R+ и f ′ (x) → 0, x → ∞, то f (x + h) − f (x) → 0 для∀ h > 0 при x → ∞.Задача 7. Доказать, что если f ′ непрерывна на [a, b], то f равномернодифференцируемана [a, b], т.

е. для ′f (x)−f (y) ∀ ε > 0 найдётся δ > 0, такое, что если x, y ∈ [a, b] и |x − y| < δ, то f (x) − x−y < ε.(0,x 6 0;Задача 8. Пусть y(x) =Показать, что y ∈ C∞ (R). Как выглядит график функции y(x)?e−1/x , x > 0.Задача 9. Доказать неравенства и дать их геометрическую иллюстрацию:cos x > 1 −x2, x 6= 0;2ex > 1 + x +x2, x 6= 0.2(1)Задача 10. Пустьy(x) =(0, exp x21−1 ,|x| > 1,|x| < 1.(2)Показать, что y ∈ C∞ (R).

Как выглядит график функции y(x)?Задача 11. Пустьy(x) =(0,x2n sin x1 ,x = 0,x 6= 0.(3)Найти y (i) (0) при i = 1, n + 1.Задача 12. Доказать, что если f ′′ (x) существует, тоf (x + 2h) − 2f (x + h) + f (x).h→0h2f ′′ (x) = lim(4)Как выглядит аналогичная формула для f ′′′ (x)?Задача 13. Пусть f ∈ C∞ [−1, 1], f (n) (0) = 0 при любом n > 0, иsup f (n) (x) 6 C n · n! при n ∈ N.(5)x∈[−1,1]Доказать, что f ≡ 0.Задача 14. Написать многочлен Тейлора – Маклорена Pn (x) для функции ex .1◦ Оценить |ex − P10 (x)| при x ∈ [0, 1].2◦ При каком h > 0 верно |ex − P10 (x)| 6 10−7 при x ∈ [0, h]?3◦ При каком n верно |ex − Pn (x)| 6 10−7 при x ∈ [0, 1]?Задача 15. Подобрать коэффициенты a, b так, что разностьcos x −1 + ax21 + bx2была бесконечно малой при x → 0 по возможности наивысшего порядка.3(6)2. 2 семестр2.1.

Программа экзамена1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.Интеграл Римана как предел по базе. Необходимое условие интегрируемости.Суммы Дарбу. Критерий интегрируемости в предельной Форме.Интегралы Дарбу как пределы сумм Дарбу. Следствия. Критерий Дарбу.Классы интегрируемых функций.Свойства интеграла Римана.

Первая теорема о среднем.Интеграл с переменным верхним пределом; его непрерывность и дифференцируемость. Существованиеобобщённой первообразной, формула Ньютона – Лейбница. Интегрирование по частям. Замена переменной.Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.Вторая теорема о среднем.Интегрируемость композиции. Неравенства Гёльдера и Минковского для интегралов.Функции ограниченной вариации и их свойства. Критерий ограниченности вариации.Отображения отрезка в Rn . Интегрирование отображений. Вычисление вариации непрерывно дифференцируемого отображения.Понятие кривой.

Спрямляемость. Критерий спрямляемости. Вычисление длины кривой.Квадрируемость плоской фигуры. Первый критерий квадрируемости. Свойства меры Жордана. Второйкритерий квадрируемости. Квадрируемость Фигуры, ограниченной конечным числом числом спрямляемых кривых. Квадрируемость криволинейной трапеции и вычисление её площади.Несобственные интегралы 1 и 2 рода. Простейшие свойства, критерий Коши. Теоремы сравнения. ПризнакиДирихле и Абеля.