Программа экзаменов 1-4 семестры (Седлецкий А.М.), страница 2

Абсолютная сходимость.Замена переменной и интегрирование по частям в несобственном интеграле.Интеграл Римана – Стилтьеса. Достаточное условие существования, свойства, интегрирование по частям,вычисление.Множества в Rm . Выделение конечного покрытия из покрытия компакта открытыми множествами.Функции нескольких переменных (ФНП). Предел и непрерывность скалярных ФНП. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций.Частные производные и их геометрический смысл. Дифференцируемость ФНП. Необходимое условие.Достаточное условие, геометрический смысл дифференцируемости (при m = 2).Дифференцируемость композиции функций.

Инвариантность формы дифференциала.Производная по направлению. Градиент.Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для ФНП. Экстремум ФНП. Необходимое условие.Достаточное условие экстремума.Последовательности в Rm , предел. Критерий Коши. Теорема Больцано – Вейерштрасса. Векторнозначныеотображения. Предел и непрерывность. Локальные свойства непрерывных отображений. Глобальные свойства.Дифференцируемые отображения, производная, дифференциал. Матрица Якоби. Дифференцируемостьотображения и его координат.Необходимое условие дифференцируемости.

Достаточное условие. Линейность операции дифференцирования.Дифференцируемость композиции отображений. Дифференцируемость обратного отображения.Неявные функции одной переменной. Теорема о неявной функции.Неявные ФНП. Теорема о неявной функции. Уравнение касательной плоскости.Неявные отображения. Теорема о неявном отображении.Зависимость функций. Примеры.

Условие независимости функций. Условие зависимости.Теорема об обратном отображении (существование диффеоморфизма).Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.42.2. Вопросы и задачи коллоквиумаТеоретическая часть совпадает с вопросами 1 – 16 экзаменационной программы. Задачи:Задача 1. Доказать, что функция Римана(0, x ∈ [0, 1] r Q;R(x) = 1mn , x = n , НОД(m, n) = 1(1)интегрируема по Риману на отрезке [0, 1].R1Решение. Докажем, что 0 R(x)dx = 0.

Пусть 0 = x0 < x1 < . . . < xN = 1 — разбиение с отмеченнымиточками ξ1 , . . . , ξN и диаметром разбиения λ < n13 . Тогда среди чисел f (ξ1 ), . . . , f (ξN ) не более чем 1+2+· · ·+n << n2 превосходят n1 . Следовательно,NXi=1ξi (xi − xi−1 ) 6 n2 λ + n−2 < n−1 + n−2 .Переходя к пределу, получаем требуемое равенство. Задача 2. Доказать, что изменение значений интегрируемости функции в конечном числе точек не меняет ни её интегрируемости, ни её интеграла.Решение.

Пусть ∆ — максимальное число, на которое изменялось значение функции, n — количество точек,в которых изменялось значение функции. Тогда интегральные суммы старой и новой функции отличаются неболее, чем на λn∆. Далее — по определению интеграла. RbЗадача 3. Доказать, что если f ∈ C[a, b], f > 0, и f (c) > 0 в некоторой точке c ∈ [a, b], то f (x) dx > 0.aРешение. В силу непрерывности ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ [a, b] ∩ [c − δ, c + δ] имеем f (x) > f (c)/2. Тогда, так какRbf (x) > 0, то a f (x) dx > δf (c)/2 > 0.

Задача 4. Доказать, что если f ∈ C[a, b], f > 0, иRbaf (x) dx = 0, то f ≡ 0.Решение. Пусть только попробует функция f вылезти выше нуля в некоторой точке. Тогда по задаче 3интеграл будет положительным. Задача 5. Пусть f ∈ C[a, b]. Тогда в теореме о среднем ξ ∈ (a, b).Задача 6. Какой из интегралов больше:Zπ/2Zπ/22xexp (− cos x) dx илиexp −dx?π0(2)0Решение. Заметим сначала, чтоZπ/2Zπ/2Zπ/2−2(π/2−x)−2x/ππdx =e−1+2x/π dx.edx =e0(3)00Так как при x ∈ [0, π/2] выполнено неравенство cos x > 1 − 2x/π, то e− cos x 6 e−1+2x/π . Далее осталось проинтегрировать неравенство.

pЗадача 7. Доказать, что если f ∈ R[a, b], то |f | ∈ R[a, b] при p ∈ (0, 1).Решение. Без ограничения общности, a = 0 и b = 1. Докажем сначала, что при u > v > 0, p ∈ (0, 1)выполнено неравенство up − v p 6 (u − v)p . Действительно, при таких p функция g(x) = xp выпукла вверх.Следовательно, при x1 6 x2 , x3 6 x4 , x2 + x3 = x1 + x4 выполнено неравенство g(x1 ) + g(x4 ) 6 g(x2 ) + g(x3 ). Приx1 = 0, x2 = v, x3 = u − v, x4 = u получаем 0p + up 6 v p + (u − v)p , откуда up − v p 6 (u − v)p .Таким образом, при |f (x1 )| 6 |f (x2 )| верно неравенство|f (x2 )|p − |f (x1 )|p 6 (|f (x2 )| − |f (x1 )|)p 6 |f (x2 ) − f (x1 )|p .Пусть теперь у нас есть разбиение диаметра λ такое, чтоnXωi (f )∆i < ε.i=15(4)Тогда по доказанному выше и неравенству Йенсена,nXi=1ωi (|f |p )∆i 6nXi=1nX(ωi (f ))p ∆i 6 (ωi (f )∆i )p < εp .i=1Осталось воспользоваться соответствующим признаком существования интеграла.

Задача 8. Доказать, что если Vf [a, b] < ∞ и |f (x)| > δ > 0 при x ∈ [a, b], то и V1/f [a, b] 6 ∞.Решение. Так как f > δ > 0, то 11 f (x2 ) − f (x1 ) |f (x2 ) − f (x1 )|. f (x1 ) − f (x2 ) = f (x1 )f (x2 ) 6δ2Следовательно, V1/f [a, b] < Vf [a, b]δ −2 . Задача 9. Пусть f, g ∈ C[a, +∞), f, g > 0 и f, g возрастают. Пусть f (x) = o(g(x)), x → ∞. Тогда xZxZf (t) dt = o  g(t) dt , x → ∞.a(5)aРешение. Достаточно применить один раз правило Лопиталя. Задача 10. Доказать, что 2xZ cos t3 dt 6 min x, 2.3x2(6)xЗадача 11.

Доказать, чтоZx212etexdt ∼ 2 , x → ∞.tx(7)Решение. По правилу Лопиталя, достаточно доказать, чтоddxZx2etd 1 x2dt =e ,tdx x21что проверяется прямым подсчётом:ddxZx1222etex2exdt = 2 · 2x =,txx2d 1 x22xexe=.dx x2x4Задача 12. Доказать, чтоx+1Zsin tx2 cos x2cos (x + 1)21−+O.dt =2x2(x + 1)x2Задача 13. Придумать функцию f ∈ C[a; +∞), такую, чтонекоторой последовательности xk → +∞.R∞a(8)f (x) dx сходится, f > 0 и f (xk ) → +∞ дляРешение. Построим «пилу» c достаточно узкими, но высокими «зубьями».

Пусть f (x) = 8n (x − n + 4−n ),если x ∈ [n − 4−n , n]; f (x) = 8n (n + 4−n − x), если x ∈ [n, n + 4−n ]; f (x) = 0 в остальных случаях. ТогдаF (x) = e−x + f (x) — искомая функция. 63. 3 семестр3.1. Программа экзаменаP n1. Числовой ряд, сходимость и сумма. Пример:q . Критерий Коши и простейшие свойства. Необходимоеусловие сходимости. Теоремы сравнения для знакоположительных рядов.2. Эквивалентное определение lim и lim. Признаки Коши и Даламбера. Интегральный признак, оценка остатка ряда.3. Признак Раабе. Знакоположительные ряды с монотонными членами: необходимое условие сходимости,необходимое и достаточное условие сходимости.4. Знакочередующиеся ряды, признакЛейбница.

Преобразование Абеля. Знакопеременные ряды: признакиPДирихле и Абеля. Пример:bn sin nx, bn ↓ 0.5. Абсолютная сходимость ряда. Сходимость абсолютно сходящегося ряда. Связь между поведением рядаи поведением его положительных и отрицательных членов. Признаки Даламбера и Коши абсолютнойсходимости.6. Сочетательное свойство сходящихся рядов. Перестановки рядов. Переместительное свойство абсолютносходящихся рядов. Теорема Римана о перестановках условно сходящегося ряда.7.

Умножение рядов; Теорема Коши. Суммирование методом Чезаро. ряды с комплексными членами. Бесконечные произведения, связь с рядами. Абсолютная сходимость. Теорема Абеля о расходящихся знакоположительных рядах.8. Двойной ряд. Критерий Коши, необходимое условие сходимости. Условие сходимости двойного знакоположительного ряда. Повторный ряд. Линейная перестановка двойного ряда. Связь между сходимостьюдвойного ряда, повторного ряда и линейной перестановки (amn > 0).

То же самое для абсолютной сходимости. Изменение порядка суммирования.9. Функциональные последовательности и ряды. Сходимость, равномерная сходимость, признаки неравномерной сходимости. Критерий Коши, признаки Вейерштрасса, Дирихле и Абеля равномерной сходимости.10. Признак Дини равномерной сходимости. Равномерная сходимость и предельный переход. Непрерывностьсуммы функционального ряда.11. Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.P (−1)n12.

Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости. Свойства. Теорема Абеля. Примерn . Суммирование методом Абеля. Степенные ряды в C, радиус и круг сходимости.13. Единственность разложения функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. Критерий разложимости в ряд Тейлора, достаточное условие. Элементарные функции в C.14. Равномерная сходимость функции 2 переменных по базе. Сведение к функциональной последовательности,критерий Коши. Свойства равномерной сходимости (непрерывность предельной функции, аналог теоремыДини, переход к пределу под знаком интеграла).15.

Собственные интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность интеграла по параметру, дифференцирование и интегрирование по параметру под знаком интеграла.16. Более сложная зависимость собственного интеграла от параметра, непрерывность и дифференцируемость.17. Несобственные интегралы с параметром. Равномерная сходимость, критерий Коши, признаки равномернойсходимости Вейерштрасса, Абеля, Дирихле, Дини.18. Предельный переход под знаком несобственного интеграла.

Непрерывность по параметру.19. Интегрирование несобственного интеграла по параметру (случай отрезка и полупрямой). Дифференцирование по параметру.20. Гамма-функция. Сходимость соответствующего произведения. Функциональное соотношение для Γ(s).Формула дополнения. Интегральное представление Γ(s).21. Γ-функция и B-функция. Исследование Γ(s), s > 0. Связь между Γ и B. Примеры:Z10p−1xm q−1(1 − x )Zπ/2dx,sina−1 t cosb−1 t dt.(1)022.