Вопросы для подготовки к коллоквиуму, страница 2

Сформулируйте определение функции, неограниченной сверху на заданном множестве. 2. Укажитс все значения у, щ>и которых хт = о(х) при х — + +О. з. ' 3. Докажите, пе пользуясь формулой Тейлора и правилом Лопиталя, что,— ' = 1 — — + +~ + о(хт) при х — > О. 4. Сформулируйте теорему о пределе монотонной функции.

5. Докажите, что сумма двух ограниченных на множестве Х функций является ограниченной на множествс Х > нкцией. Московский Государственный университет Физический факультет Кафедра математики Вопросы для подготовки к коллоквииуму 1 по курсу математического анализа, семестр 1 (2014-2015) Сентябрь-октябрь 2014 Т529а, Пакет 1с1з1с11-16 1. Сформулируйте "по Коши" определение предела функции «(х) при х — > — оо. 2. Укажите все значения Т, при которых — ' = о(х ") при х — + +ос.

3. Докажите, пс пользуясь формулой Тейлора и правилом Лопиталя, что, ' = 1+ х+ хе+ о(хз) при х — > О. 4. Сформулируйте теорему и непрерывности частного от деления двух функций в точке, 5. Докажите, что произведение двух ограниченных на множестве Х функций является ограниченной на множестве Х упкцией. Московский Государственный университет Физический факультет Кафедра математики Вопросы для подготовки к коллоквииуму 1 по курсу математического анализа, семестр 1 (2014-2015) Сентябрь-октябрь 2014 Т529а, Пакет 1с1з101-17 1. Сформулируйте "по Коши" определение предела функции «(х) при х — > а+ О.

2. Укажите все значения ",~, при которых х з = о(х>) при х — + +ос. 3. Используя равенства е" = 1+ х+ — ", + о(х") и 1п(1 — х) =- —.х — — ' — — *,, + о(хз). докажите, что (1 — х) т = е ~ (1 —,1х — Ах~) + 0(хз) при х — ~ О. 4. Сформулируйте теорему о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение. 5. Дока>ките, что если )пп,, „«(х) = А, 1ппя >, д(х) = о, и обе функции определены на соответствующих множествах, то 31ппг,„«(х) — д(х) =- А — г>. Московский Государственный университет Физический факультет Кафедра математики Вопросы для подготовки к коллоквииуму 1 по курсу математического анализа, семестр 1 (2014-2015) Сентябрь-октябрь 2014 Т529а, Пакет Ы1з1Ч1-18 1.

Сформулируйте определение оесконечно малой функции при х — > +со. 2. Укажите все значения у, при которых х > = о(х ") при х — + +сх>. 3. Используя равенства ез = 1 + х + — ", + о(х2) и !п(1 + х) = х — — ", + — ' + о(хз), докажите. что 1 (1+ х)* = е(1 — -'х+ Ях~) + о(х') при х — > О. 4. Сформулируйте теорему о существовании и непрерывности обратной функции. 5. Докажите теорему об устойчивости знака непрерывной функции. Московский Государственный университет Физический факультет Кафедра математики Вопросы для подготовки к коллоквииуму 1 по курсу математического анализа, семестр 1 (2014-2015) Сентябрь-октябрь 2014 Т529а., Пакет Л11а1111-19 1. Сформулируйте определение бесконечно малой функции щ>и х — > а.

2. Укажите все значения Т, при которых х> =- о(х:2 ух) при х — ~ +О. 2 *3 3. Используя равенства е'* = 1 + х + о(т), 1п(1 Л- х) — х — — *; + о(х2) и гйп х = х — — *, + 2с + о(х'), 1 вп1х „2 1 1 2 2 докажите., что ( )" =е б(1- х )+о(х) прих — >О.

х ) ( 180 ) 4. Сформулируйте теорему о непрерывности сложной функции. 5. Докажите, что если 1ш>...„1'(х) = А, 1пп, у(х) — В, и обе функции определены на слютветствующих множествах, то Л 1пп, (2 (х) + у(х)) = А + В. Московский Государственный университет Физический факультет Кафедра математики Вопросы для подготовки к коллоквииуму 1 по курсу математического анализа, семестр 1 (2014-2015) Сентябрь-октябрь 2014 Т529а, Пакет й1а101-20 1.

Сформулируйте определение бесконечно малой функции при х — > — ос. 2. Укажите все значения ",, при которых хз + х' = о(х2) при х — > +О. тл 2 т> 3. Используя равенства е" = 1+ т+ — '; + о(т>) и 1п(1 — т) = — х — — '"' + о(х>)„докажите, что 1 (1 — х) = е ' (1 — —,,'х) + о(х) при х — > О. 4. Сформулируйте теорему о свойстве непрерывной функции, принимающей значения противоположных знаков па концах сегмента (а, (>). 5. Докажите, что если 1пп,,„1(х) = А, 1пп .„,д(х) = В, и обе функции определены на соответствующих множествах, то 3 1пп„,.

„фх) д(т)) — АВ. 2.5.2.2. Комплект 21 — 45 Московский Государственный университет Физический факультет Кафедра математики Вопросы для подготовки к коллоквииуму 1 по курсу математического анализа, семестр 1 (2014-2015) Сентябрь-октябрь 2014 Т529а, Пакет к1а1сл1-21 1. Сформулируйте определение функции, ограниченной сверху заданном множестве.

2. Сформулируйте "по Коши" ощ>едслсние: "Функция 1(х) имеет предел щ>и х — > а", 3. Укажитс все значения у, при которых х'+ х> = о(х2) при х — > +О. 4. Сформулируйте теорему о локальной ограниченности функции, непрерывной в данной точке. 5. Докажите, что если 1пп,, 1(х) = А, 1пп, у(х) = В ф О. и обе функции определены па соответствующих множествах, то Л 1пп,,„—, Московский Государственный университет Физический факультет Кафедра математики Вопросы для подготовки к коллоквииуму 1 по курсу математического анализа, семестр 1 (2014-2015) Сентябрь-октябрь 2014 Т529а, Пакет 111а1111-22 1.

Сфорьлулируйте определение функции, ограниченной снизу на заданном множестве. 2. Сформ)шируйте "по Коши" определение: "Функция 1(х) имеет предел при х — > +ос". 3. Укажите все значения у, при которых х'+ х' = о(хз) при х — > +О. 4. Сформулируйте теорему об устойчивости:шака функции, непрерывной в данной точке. 5.

Докажите теорему об устойчивости знака непрерывной функции. Московский Государственный университет Физический факультет Кафедра математики Вопросы для подготовки к коллоквииуму 1 по курсу математического анализа., семестр 1 (2014-2015) Сентябрь-октябрь 2014 Т529а, Пакет к1з1111-23 1. Сформулируйте определение неограниченного множества вещественных чисел.

2. Сформулируйте определение непрерывной на промежутке функции. 3. Укажите все значения Т, при которых х з = о(х ') при х — ~ +ос. 4. Сформулируйте теорему о пределе монотонной функции. 5. Докажите, что если 1ппс „,('(х) = А, 1пп,д(х) — В. и обе функции определены на соответствующих множествах, то Л 1ш>,, фх) — у(х)) =- А — В. Московский Государственный университет Физический факультет Кафедра математики Вопросы для подготовки к коллоквииуму 1 по курсу математического анализа, семестр 1 (2014-2015) Сентябрь-октябрь 2014 Т529а, Пакет й1з101-24 1. Сформулируйте определение неограниченного снизу множества вещественных чисел.

2. Сформулируйте определение возрастающей на множестве функции. 3. Укажите все значения т, при которых х ' = о(хт/х) при х — > +О. 4. Сформулируйте теорему о непрерывности произведения двух функций в точке. 5. Докажите,что произведение бесконечно малой при х †> +ос функции 1(х) и ограниченной на всей числовой оси функции д(х) является бесконечно малой при х †> +ос функцией. Московский Государственный университет Физический факультет Кафедра математики Вопросы для подготовки к коллоквииуму 1 по курсу математического анализа, семестр 1 (2014-2015) Сентябрь-октябрь 2014 Т529а, Пакет й1в101-25 1.

Сформулируйте определение верхней грани функции па множестве. 2. Сформулируйте определение убывающей на множестве функции. 3. Укажите все значения у, при которых х ' = — о(х з) при .т, — + +ос. 4. Сформулируйте теорему о пределе частного от деления двух функций в точке. 5.

Докажите, что сумма двух ограниченных на множестве Х функций является ограниченной на множестве Х функцией. Московский Государственный университет Физический факультет Кафедра математики Вопросы для подготовки к коллоквииуму 1 по курсу математического анализа, семестр 1 (2014-2015) Сентябрь-октябрь 2014 Т529а, Пакет й1а101-26 1.

Сформулируйте определение функции, неограниченной сверху на заданном множестве. 2. Сформулируйте определение точки разрыва второго рода. 3. Укажите все значения "б при которых х 2 = о(х ') при х — + +ос. 4. Сформулируйте теорему о пределе произведения двух функций в точке. 5.

Докажите, что произведение бесконечно ма,лой при:г — у и функции и ограниченной в окрестности точки х = и функции является бесконечно малой при х — + а функцией. Московский Государственный университет Физический факультет Кафедра математики Вопросы для подготовки к коллоквииуму 1 по курсу математического анализа, семестр 1 (2014-2015) Сентябрь-октябрь 2014 Т529а, Пакет 1с1а101-27 1. Сформулируйте определение нижней грани функции па множестве. 2. Сформулируйте "по Коши" определение: "Функция у'(х) имеет предел при х — > — оо".

3. Укажите все значения у, при которых хз + х' = о(х4) при х — + +О. 4. Сформулируйте теорему о пределе суммы двух функций в точке. 5. Докажите. что произведение двух бесконечно малых при х — у а функций является бесконечно малой при х — > и функцией. Московский Государственный университет Физический факультет Кафедра математики Вопросы для подготовки к коллоквииуму 1 по курсу математического анализа, семестр 1 (2014-2015) Сентябрь-октябрь 2014 Т529а, Пакет й1а101-28 1. Сформулируйте определение суммы двух положительных вещественных чисел. 2. Сформулируйте "по Коши" определение; "Функция 1(х) имеет предел при х — ~ — оо".