Вопросы для подготовки к коллоквиуму

Московский Государственный университет Физический факультет Кафедра математики Вопросы для подготовки к коллоквииуму 1 по курсу математического анализа, семестр 1 (2014-2015) Сентябрь-октябрь 2014 Т529а, Пакет 1с1з101-1 1. Сформулируйте определение равных положительных вещественных чисел.

2. Докажите, не пользуясь формулой Тейлора и правилом Лопиталя, что Я+ х = 1+ $+ о(х) при х — + О. 3. Укажите все значения у, при которых х' + хд = о(х') при х — + +О. 4. Сформулируйте теорему об ограниченности суммы двух функций па множестве. 5. Докажите,что произведение двух бесконечно малых при х -+ а функций является бесконечно малой при х †) а функпией. Московский Государственный университет Физический факультет Кафедра математики Вопросы для подготовки к коллоквииуму 1 по курсу математического анализа, семестр 1 (2014-2015) Сентябрь-октябрь 2014 Т529а, Пакет к1а101-2 1. Сформулируйте определение функции, ограниченной на задаишога множестве, 2.

Укажите все значения Т, при которых ' — = о(х ) при х ++ос. 3. Докажите, не пользуясь формулой Тейлора и правилом Лопиталя, что х/1 — х = 1 — $ + о(х) при х -+ О. 4. Сформулируйте теорему о предельном переходе в неравенстве х" (х) < д(х). 5. Докажите, что произведение бесконечно малой при х — + а функции и ограниченной в окрестности точки х = а функции является бесконечно малой при х — + а функцией. Московский Государственный университет Физический факультет Кафедра математики Вопросы для подготовки к коллоквииуму 1 по курсу математического анализа, семестр 1 (2014-2015) Сентябрь-октябрь 2014 Т529а, Пакет 1с1з101-3 1.

Сформулируйте определение функции, неограниченной на заданном множестве. 2. Укажите все значения Т, при которых хт = о(1Ух) при х — ) +О. 3. Докажите, не пользуясь формулой Тейлора и правилом Лопиталя, что — = 1+ — ', + +~ + о(х~) при:г, -+ О. 4. Сформулируйте теорему о непрерывности суммы двух функций в точке. 5. Докажите, что если 1пп,, 1'(х) = А, 1пп„, д(х) = В. и обе функции определены на соответствующих множествах, то Л11п1, „(1(х) + д(х)) = А+ В.

Московский Государственный университет Физический факультет Кафедра математики Вопросы для подготовки к коллоквииуму 1 по курсу математического анализа, семестр 1 (2014-2015) Сентябрь-октябрь 2014 Т529а, Пакет к1з101-4 1. Сформулируйте определение ограниченного снизу множества вещественных чисел. 2. Укажите все значения у, при которых х' = о(,„Гх) при х — ~ +О. 3. Докажите, нс пользуясь формулой Тейлора и правилом Лопиталя, что , ' „= 1 + х + х' + хз + о(х') при х — > О.

4. Сформулируйте теорему о существовании и непрерывности обратной функции. 5. Докажите теорему об устойчивости знака непрерывной функции. Московский Государственный университет Физический факультет Кафедра математики Вопросы для подготовки к коллоквииуму 1 по курсу математического анализа, семестр 1 (2014-2015) Сентябрь-октябрь 2014 Т529а, Пакет 1с1з101-5 1. Сформулируйте правило сравнения положительных вещественных чисел.

2. Укажите все значения Т, при которых х' = о(х') при х — э +О. 3. Докажите, не пользуясь формулой Тейлора и правилом Лопиталя, что т/1 — т, = 1 — —" — я— „+ о(хз) при х — ~ О. 4. Сформулируйте теорему о пределе суммы двух функций в точке. 5. Докажите, что произведение бесконечно малой при х — ~ +ос функции 1(х) и ограниченной на всей числовой оси функции д(х) является бесконечно малой при х — + +ос функцией. Московский Государственный университет Физический факультет Кафедра математики Вопросы для подготовки к коллоквииуму 1 по курсу математического анализа, семестр 1 (2014-2015) Сентябрь-октябрь 2014 Т529а, Пакет к1з101-6 1. Сформулируйте определение устранимой точки разрыва, 2. Укажите все значения ";, при которых хд = о(хт) при х — > +О. 3. Докажите, не пользуясь формулой Тейлора и правилом Лопиталя, что, ' =- 1 — х+ о(х) при х -+ О.

4. Сформулируйте теорему о пределе частного от деления двух функций в точке. 5. Докажите, что если 11ш,, 1(х) = А, 1ш1,, д(х) = В, и обе функции определены на соответствующих множествах, то Л1пп,, „(1'(х) — д(х)) = А — В. Московский Государственный университет Физический факультет Кафедра математики Вопросы для подготовки к коллоквииуму 1 по курсу математического анализа, семестр 1 12014-2015) Сентябрь-октябрь 2014 Т529а, Пакет 1с1з1сЕ1-7 1. Сфорх!улируйте Определеееие неОграниченнОго снизу мееОжества вещественных чисел.

2. Укажите все значения т, при которых х> =- о(х~) при х — > +О. 3. Докажите. Ие пользуясь формулой 'Тейлора и ~>авее>еом Лопиталя, что ' = 1+ х+ о(х) при х Е О, 4. Сформулируйте теорему о предельном переходе в неравенстве 1(х) < д(т). 5. Докажите, что произведение двух ограниченных на множестве Х функций является ог аниченной на множестве Х ункпееей. Московский Государственный университет Физический факультет Кафедра математики Вопросы для подготовки к коллоквииуму 1 по курсу математического анализа, семестр 1 12014-2015) Сентябрь-октябрь 2014 Т529а, Пакет Естз1с11-8 1. Сформулируйте "по Коши" определение предела функции у'(х) при х — е +со. 2.

Докажите, не пользуясь формулой Тейлора и правилом Лопиталя. что хУТ+ х = 1+ -',' — — '"' + о(хз) при х — Е О. 3. Укажите все значения "у, при которых х > = о( е ) при х — е +со. 4. Сформулируйте теорему о предельном переходе в неравенстве 1(х) < д(х) < 6(х). 5. Докажите, что если 1пп, „, 1(х) = А, 1пп,,„д(х) = В, и обе функции определены на, соответствующих множествах, то 31пп, „1 (х) д(х) = ЛВ. Московский 1'осударственный университет Физический факультет Кафедра математики Вопросы для подготовки к коллоквииуму 1 по курсу математического анализа, семестр 1 Е2014-2015) Сентябрь-октябрь 2014 Т529а, Пакет 1с1з1с11-9 1.

Сформулируйте определение точки разрыва первого рода. 2. Укажите все значения у, при которых х > = о(,,',-) при х — > +оо. 3. Докажите, не пользуясь формулой Тейлора и правилом Лопиталя, что ' — = 1 — $ + о(х) при х-+ О. 4. Сформулируйте теореыу о единственности предела функции в точке.

5. Докажите, что сумма двух ограниченных на множестве Х функций является ограниченной на множестве Х ункцией. Московский Государственный университет Физический факультет Кафедра математики Вопросы для подготовки к коллоквииуму 1 по курсу математического анализа, семестр 1 12014-2015) Сентябрь-октябрь 2014 Т529а, Пакет Естз1сЕ1-10 1. Сформулируйте определение точки разрыва второго рода.

2. Укажите все значения у, при которых хз = о(х>) при х — е +О. 3. Используя равенства е' = 1 + х + о(х) и 1п(1+ т) = х — — '+ О(хт), докажите, что 1 (1 + х) — с(1 — -х) + о(х) при х — > О. 4. Сформулируйте теорему об ограниченности произведения двух функций на множестве, 5. Докажите, что если 1еш, >'(х) = А, 1пп, „д(х) = В ф О, и обе функции определены на соответствующих множествах, то Л 1пп,, " = в.

У~с) А Московский Государственный университет Физический факультет Кафедра математики Вопросы для подготовки к коллоквииуму 1 по курсу математического анализа, семестр 1 12014-2015) Сентябрь-октябрь 2014 Т529а, Пакет 1с1з1с11-11 1. Сформулируйте "по Коши" определение предела функции в точке х = а. 2. Укажите все значения у, при которых >/х = о(х>) при х -+ +О. 3.

Используя равенства е' = 1+ х + о(х), 1п(1+ х) = х — — ', + О(х~) и соа х = 1 — —;, + —,'„+ о(х~), ... -.Ъ --'( 1,2 12 докажите, что (сов х) ' = е ° (1 — — х ) + О(х ) при х — е О. 4. Сформулируйте теорему о сумме двух бесконечно малых функций в точке. 5. Докажите, что произведение двух бесконечно малых при х -+ и функций является бесконечно малой и и х -+ а нкцией. Московский Государственный университет Физический факультет Кафедра математики Вопросы для подготовки к коллоквииуму 1 по курсу математического анализа, семестр 1 Е2014-2015) Сентябрь-октябрь 2014 Т529а, Пакет Ес1з1сЕ1-12 1.

Сформулируйте определение ограниченного сверху множества вещественных чисел. 2. Укажите все значения Т, при которых х ' = о(х >) при х — + +со. 3. Докажите, не пользуясь формулой Тейлора и правилом Лопиталя, что, ' = 1 — х + хт + о(хт) при х — е О. 4. Сформулируйте теорему о пределе произведения двух функций в точке. 5. Докажите, что сумма, двух бесконечно малых при х — + а функций является бесконечно малой при х е а функцией. Московский Государственный университет Физический факультет Кафедра математики Вопросы для подготовки к коллоквииуму 1 по курсу математического анализа, семестр 1 (2014-2015) Сентябрь-октябрь 2014 Т529а, Пакет 1с1з1о1-15 1.

Сформулируйте определение непрерывной в точке функции. 2. Укажите все значения у, .при которых х > = о(х ') при х — > +ос. 3. Докажите, пг пользуясь формулой Тейлора и правилом Лопиталя, что,' = 1+ $ + о(х) при .г — + О. 4. Сформулируйте теорему об ограниченности функции. имеющей предел. 5. Докажите, что произведение бесконечно малой при х — + а функции и ограниченной в окрестности точки х = а ункции является бесконечно малой и >и х — + а с ункцией. Московский Государственный университет Физический факультет Кафедра математики Вопросы для подготовки к коллоквииуму 1 по курсу математического анализа, семестр 1 (2014-2015) Сентябрь-октябрь 2014 Т529а, Пакет 1с1з1сС1-14 1.

Сформулируйте определение ограниченного множества вещественных чисел. 2. Укажите все значения у, при которых х' т = о( — ') при х — > +ос. 3. Используя равенства яш х —;г, — — *„+ о(хз). сов х = 1 — —, + о(хз) и 1а х = "'""', докажите, что 1п х =,г, + —, + о(х ) при т, — > О. 4. Сформулируйте теорему о произведении двух бссконе шо малых функций в точке. 5. Докажите. что произведение бесконечно малой при х †> +ос функции «(х) и ограниченной на всей числовой оси функции д х является бесконечно малой при х — + +ос функцией. Московский Государственный университет Физический факультет Кафедра математики Вопросы для подготовки к коллоквииуму 1 по курсу математического анализа, семестр 1 (2014-2015) Сентябрь-октябрь 2014 Т529а, Пакет 1с1з1сс1-15 1.