Диссертация (Численный анализ деформирования воздухоопорных оболочек при статических и динамических воздействиях), страница 7

На основании проделанного обзора работ,можно сделать вывод, что изучение аэроупругого поведения воздухоопорныхоболочек, взаимодействующих с потоком воздуха, выполнялось многими38исследователями. Однако, как правило рассматривались оболочки сферическойили цилиндрической формы различной подъемистости. Как правило, решениетакой задачи сопровождалось различными трудностями, для разрешения которыхтребовалось введение упрощающих предпосылок (отказ от учета формоизмененияоболочек, упрощение закона распределения ветровой нагрузки и т.п.).Таким образом, можно сделать вывод о том, что разработка универсальнойчисленной методики расчета воздухоопорных сооружений на действие потокавоздуха с учетом ортотропных свойств материала и аэроупругого взаимодействияявляется актуальной задачей.1.4. Выводы по главе 1Проведен обзор литературы, посвященной расчету мягких и, в частности,воздухоопорных оболочек. В настоящее время для расчета воздухоопорныхсооружений в основном применяется метод конечных элементов.

Решения,полученные аналитически для достаточно простых задач, можно использовать дляпроверки (верификации) методики расчета и используемых численных моделей.Проведен анализ нагрузок и воздействий, действующих на воздухоопорныесооружения.Выявлены направления совершенствования существующих нормативныхдокументов.Обоснована актуальность и практическая значимость изучаемой темы.Следует отметать, что приведенный обзор не претендует на исчерпывающуюполноту. В нем упомянуты только те работы, которые имеют непосредственноеотношение к рассматриваемым в диссертационной работе вопросам.39ГЛАВА 2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕШЕНИЯ СВЯЗАННЫХ ЗАДАЧДЕФОРМИРОВАНИЯ ВОЗДУХООПОРНЫХ ОБОЛОЧЕК2.1.

Решение задач динамики воздухоопорных оболочек как систем сконечным числом степеней свободы2.1.1. Основные положения метода конечных элементовОсновная идея метода состоит в представлении непрерывного материальноготела в виде совокупности элементов конечного размера и простой формы(многоугольники для плоских задач или многогранники для пространственных),соединенных между собой в общих точках – узлах. Поскольку элементы неявляются бесконечно малыми, то их количество, как и количество узлов являетсяконечным числом. Если рассмотреть равновесие отдельных узлов, то мы, по сути,избежим рассмотрения системы с бесконечным числом степеней свободы, а будемрассматривать систему с конечным числом степеней свободы.В описанном подходе искомые непрерывные величины (перемещения,напряжения, деформации и т.д.) внутри каждого конечного элемента (КЭ)выражаются с помощью аппроксимирующих функций через узловые значения этихвеличин, а распределенные внешние нагрузки заменяются эквивалентнымиузловыми силами.

В математическом плане задача состоит в приведениидифференциальныхфункционала,уравненийописывающихилиусловиярассматриваемуюминимумаэнергетическогоконструкцию,ксистемеалгебраических уравнений, решение которой дает значения искомых узловыхнеизвестных [81].Справиться с решением больших систем уравнений удалось с помощьюприменения вычислительной техники. В настоящее время системы из нескольких40миллионов уравнений являются вполне посильной задачей даже для персональныхкомпьютеров.Однако, для рационального использования вычислительных мощностей икорректной организации алгоритмов метода конечных элементов необходимосоответствующее программное обеспечение.На базе конечно-элементного подхода разработано большое количествомощных программных комплексов.

Среди них можно выделить программныекомплексы, которые используются при расчете строительных конструкций исооружений: Лира-САПР, SCAD, STARK ES, MicroFe, Sofistik, Autodesk RobotStructural Analysis, ABAQUS, ANSYS, Nastran и др. Большинство из них имеетобширную библиотеку конечных элементов и дает возможность выполнятьрасчеты на прочность, устойчивость и колебания, учитывать физическую игеометрическую нелинейности, ортотропию материала, температурные нагрузки ит. д.Наибольшее распространение в практике расчета и проектированиястроительных конструкций получил вариант МКЭ в перемещениях, когда вкачестве искомых неизвестных принимаются перемещения узлов рассчитываемойсистемы [81].Для расчета конструкций в рамках МКЭ используется следующий подходоснованный на принципе Лагранжа: записывается условие стационарности полнойпотенциальной энергии системы, связанной с работой внутренних сил и внешнейприложенной нагрузки и представляющей собой.Рассмотрим основные этапы расчета конструкций с помощью МКЭ.2.1.1.1.

Дискретизация областиРассчитываемая конструкция разбивается воображаемыми точками, линиямиили поверхностями на конечные элементы. Другими словами, строится расчетнаясетка. Разбиение области на конечные элементы должно выполняться с учетомзадачи, которую необходимо решить. Поскольку значения искомой величинывычисляются только в узлах конечных элементов, то чем их больше, тем точнее41решение. Однако, для выполнения расчетов за приемлемое время количествоконечных элементов (и узлов) следует ограничивать. Как правило, в местахзначительных градиентов искомой величины назначают меньший размер сеткиконечных элементов (например, вблизи концентраторов напряжений).

В техместах, где искомая величина слабо изменяется, размер КЭ можно увеличивать безсущественной потери точности.Следует отметить, что некорректное построение расчетной сетки можетпривести к ошибочным результатам. Во избежание подобных ошибок расчетыпроизводят на сетках различной размерности.2.1.1.2. Построение интерполирующих функцийДля более точного представления искомой величины (перемещений) можетбыть использовано не только сгущение расчетной сетки, но и более точныеинтерполирующие функции.

Они служат для того, чтобы по известным величинамперемещений узлов получить перемещения на линиях между узлами (ребрахконечных элементов), а также внутри самих КЭ. Система интерполирующихфункций выбирается так, чтобы обеспечить непрерывность искомых величинвдоль границ элемента [12]На основе выбранной системы интерполирующих функций выводятсязависимостимеждудеформациямииперемещениями(геометрическиесоотношения), а также между напряжениями и деформациями (физическиесоотношения).Запишем перемещения, являющиеся функциями координат произвольнойточки конечного элемента, через компоненты вектора узловых перемещений спомощью интерполирующей функции (функции формы или базисной функции)[81]:u = Nz ,где N   N1(2.1)N 2 ... Ns  – матрица функции формы;z  z1 z 2 ...

z s  – вектор узловых перемещений конечного элемента (КЭ);T42s – количество степеней свободы КЭ.Функции (2.1) должны удовлетворять критериям полноты и совместности.В общем случае, для четырехузлового конечного элемента типа Shell181 (см.рисунок 2.1), используемого в данной диссертационной работе выражение длянекоторой величины φ во внутренней точке конечного элемента с номерами узловI, J, K, L выражается следующим образом [100]:  0.25 I 1  s 1  t    J 1  s 1  t    K 1  s 1  t  L 1  s 1  t   ,(2.2)где s, t – координаты точки внутри элемента;I , J , K , L – значения величины φ в узлах I, J, K, L соответственно.Координаты s и t вводятся следующим образом:sI  1, tI  1; sJ  1, tJ  1; sK  1, tK  1; sL  1, tL  1 .Рисунок 2.1 Геометрия конечного элемента типа Shell181 [101]В данной работе для моделирования воздухоопорных оболочек используютсятрехузловые конечные элементы типа Shell181.

В этом случае узлы K и L считаютсясовпадающими, при этом полагается sK  sL  0, tK  tL  1.Дополнительно отметим, что местные оси конечных элементов могут бытьповернуты на определенный угол, что необходимо, например, для согласованиянаправления механических свойств (направлений основы и утка) у нескольких иливсех конечных элементов (см. рисунок 2.7).432.1.1.3. Вывод основных геометрических и физических соотношенийВ общем виде зависимость между деформациями и перемещениямизаписывается следующим образом [81]:ε  Bz ,где  – вектор деформаций;(2.3)z – вектор узловых перемещений;B – матрица, связывающая вектор узловых перемещений с векторомдеформаций.Физические соотношения, определяющие зависимость между напряжениямии деформациями, имеют вид:где  – вектор напряжений;σ  Dε ,(2.4)D – матрица упругости (подробнее см. п. 2.1.2).Следует заметить, что в данной работе использовался конечный элемент типаShell181 со значением параметра keyopt(3) = 2, что приводило к вычислениюдеформаций и напряжений в 4-х точках на каждом элементе, позволяяиспользовать более грубое разбиение оболочки на конечные элементы [100].Кроме того, поскольку нормальные напряжения пропорциональны линейнымдеформациям, которые в свою очередь определяются по соотношениям Коши какпервыепроизводныесоответствующихперемещений,топогрешностьввычислении мембранных усилий, обусловленная однократным выполнениемоперации численного дифференцирования.

Указанная проблема более характернадляоболочек,обладающейизгибнойжесткостью,гдедлядостиженияпрактической сходимости решения по моментам и поперечным силам требуетсялибо использование высокоточных конечных элементов, либо существенноесгущение сетки в зонах высоких градиентов указанных усилий.2.1.1.4. Построение матрицы жесткости конечного элементаС помощью принципа Лагранжа на основе полученных геометрических ифизических соотношений строится матрица жесткости конечного элемента.44Первоначально матрица жесткости строится в местной системе координат.Перед тем, как включить эту матрицу в глобальную матрицу жесткости всейконструкции, ее необходимо преобразовать из местной системы координат вглобальную систему координат, общую для всей конструкции [81].2.1.1.5.