Энтропийные эффекты в диффузионном транспорте, обусловленные геометрией среды, страница 3

Предложенная модель представляет собой энтропийный броуновский мотор, способный совершать работу противсилы нагрузки , преобразуя энергию вносимых возмущений в направленноедвижение.В начале главы кратко обозреваются литературные данные по биологическим и синтетическим молекулярным моторам (раздел 4.1), а также основныеположения теории броуновских моторов (раздел 4.2).В разделе 4.3 показано, что эффект выпрямления в периодически сужающейся трубке (рис.

7) возникает благодаря качественно разному поведению эффективной подвижности eff ( ), как функции величины силы в зависимости отее направления. Если > 0, внешняя сила благодаря столкновениям частицысо стенками фокусирует ее в цилиндре радиуса , в результате чего подвижность монотонно растет с ростом силы и стремится к 0 , когда → +∞(рис. 7). Если же < 0, то совместное воздействие силы и столкновений состенками не приводит к локализации частицы в центральной области трубки,тормозящий эффект перегородки нарастает, и поэтому eff ( ) убывает по ме-Рис.

8: Зависимость эффективной подвижности частицы eff от величины и направлениядвижущей силы = в трубках с пилообразным изменением сечения, (рис. 1г). Символами представлены результаты компьютерного моделирования: треугольники с вершиной, направленной направо (налево), отвечают положительным (отрицательным) значениям ; темными (светлыми) символами представлены результаты, полученные при / = 0.1(/ = 0.3). Сглаживающие кривые приведены для удобства. Пунктиром даны асимптотические значения eff при → ∞.15ре роста | | (рис. 7).

Как установлено, eff (−∞) < eff (0) при всех значениях = /,0 < < 1. Таким образом имеет место анизотропия подвижностиΔeff (| |) = eff ( ) − eff (− ), которая нарастает с увеличением амплитудывнешнего воздействия (рис. 8).Раздел 4.4 начинается с обсуждения релаксационных процессов, обусловленных переключением направления силы. В начале положительного полупериода F() радиальное распределение частицы в трубке однородно по сечениюрадиуса .

Далее, благодаря совместному воздействию силы и столкновений состенками, распределение частицы быстро, за времена порядка = / (0 ),фокусируется в пределах радиуса . Это означает, что, если ≫ , то в течениеположительного полупериода частица в основном движется со скоростью 0 ,то есть проводит в подвижном состоянии (в согласии с данными компьютерногомоделирования). В начале отрицательного полупериода F() частица находитсяв подвижном состоянии, < , где — расстояние частицы от оси трубки. Затем медленно, благодаря радиальной диффузии, она переходит в новое неравновесное стационарное состояние. При этом заселенность подвижного состоянияснижается от единицы при = 0 до 2 при → ∞.

Показано, что характерноевремя rel этого процесса равнои не зависит от силы, rel]︂ 2[︂ 2 2 ln(1/)rel =−1(10)41 − 20≫ . Таким образом, асимметрия формы трубки про-является не только в асимметрии подвижности, но и в асимметрии времен релаксации.

Если первая ярко выражена при малых , то вторая, наоборот, ослабеваетв этих условиях. Анализ показывает, что область значений 0.03 ≤ ≤ 0.3 наиболее удобна для наблюдения обсуждаемого эффекта. В ней достаточно мало,чтобы обеспечить высокую асимметрию подвижности, но, и достаточно велико,чтобы имела место асимметрия времен релаксации.Основываясь на этой качественной картине при больших , когда обсуждаемый эффект максимален, предложена теория, дающая аналитические решениядля основных динамических характеристик мотора, в виде функций частотыпереключения внешней силы , ее амплитуды и геометрических параметровтрубки. В частности, скорость дрейфа можно записать как[︂]︂(, ; ) = 0 ( ) 1 −,1+ (˜ )16(11)Рис. 9: Сопоставление аналитических и численных результатов, характеризующих рост скорости дрейфа частицы (а) и силы остановки (б) с увеличением времени переключения .

(а)сплошные кривые представляют графики зависимости ( ), определяемой (13), при = 0.1и = 0.3. Пунктирные кривые иллюстрируют асимптотическое поведение ( ) при малых – см. формулу 15 и вставку. Точечные кривые характеризуют поведение ( ) при больших –см. формулу 14. (б) графики зависимости (˜ ), выражаемого через ( ), представлены при = 0.1 (сплошная кривая) и = 0.3 (пунктирная кривая). Результаты компьютерного моделирования представлены символами: темными для = 105 и светлыми для = 104 ; кружкиотвечают = 0.1 , квадратики – = 0.3.а сила остановки имеет вид (, ) = (˜ ),(12)где коэффициент выпрямления = (1−2 /2 )/(1+2 /2 ), а ( ) и (˜ ) характеризуют зависимость скорости дрейфа и силы остановки (величины нагрузки,зануляющей эффект) от , (0) = (0)˜= 0 и (∞) = (∞)˜= 1 .

Заметим,что факторы ( ) и (˜ ) связаны соотношением (˜ ) = ( )/ [1 + − ( )] .Для ( ) получено выражение∞)︁2 ∑︁ 12 ( ) (︁4−2 0 /21−,( ) = 1 −1 − 2 0 =1 4 02 ( )(13)где () — функции Бесселя первого рода порядка , а — -ый положительный корень уравнения 1 ( ) = 0. В области своей применимости решения для( ) и (˜ ) находятся в хорошем согласии с результатами компьютерного моделирования (рис. 9). Из рисунка (рис.

9) видно, что скорость и сила остановкиубывают по мере роста частоты переключения.При низких частотах переключения формула (13) сводится к( ) ≃ 1 − rel /.17(14)В обратном предельном случае – высоких частот переключения силы – формула(13) для ( ) принимает вид√︂2(1 + ) 0 ( ) ≃.(15)32Основные результаты данной главы опубликованы в работах №1, №3, №9,№12 и №13 из списка публикаций автора на стр. 22.В пятой главе продолжено исследование энтропийного броуновского мотора, предложенного в главе 4.

В разделе 5.1 изучена эффективность преобразования энергии (КПД), вносимой возмущением F(), в направленное движение.Эта величина, , наряду со скоростью мотора, является важнейшей его характеристикой. По определению = / , где и – полезная и затраченная работы (в единицу времени), соответственно.

Величины и трактуются в литературе по-разному. Соответственно, имеются и разные подходык определению эффективности [15, 16]. Согласно термодинамическому определению эффективности [15], под полезной понимается работа против силы нагрузки, которая в единицу времени (в среднем за период изменения силы) равна = (, ; ). Затраченная (в единицу времени) работа по организацииРис. 10: Зависимость эффективности преобразования энергии от безразмерной силы нагрузки = /. Графики () рассчитаны по формуле (16) при различных временах переключения силы (указанных цифрами возле кривых) и отношении радиусов.

Сплошные кривыеотвечают / = 0.1 , пунктирные – / = 0.3.18движения, , есть просто произведение амплитуды возмущения на сумму средних скоростей частицы в каждом из полупериодов. Исходя из этого, выражениедля КПД можно записать в виде(˜ )−(, ) = ,1 − (˜ )0 ≤ ≤ ( ) = (˜ ),(16)где = / и ( ) = (, )/ , ( ≤ ). Формула (16) и рис. 10 показывают, что в определенных условиях (сильная асимметрия формы, адиабатическийрежим) энтропийный мотор способен обеспечить высокую (близкую к единице)эффективность преобразования энергии.Как видно из рис. 10, величина (формула 16) немонотонно ведет себя сростом силы нагрузки, и эффективность преобразования энергии снижается внеадиабатических условиях. Заметим, что этот спад происходит гораздо быстрее, чем затухание с частотой переключений других характеристик мотора.В разделах 5.2 и 5.3 обсуждается, как рабочие характеристики мотора зависят от временных характеристик возмущений.

Воздействие на систему биполярного возбуждения сопоставлено с эффектом выпрямления синусоидальногоимпульса и апериодического сигнала с чередующейся полярностью и случайной длительностью (рис. 11). Показано, что временная форма входного сигналаопределяет, в первую очередь, величину отклика системы (скорость дрейфа) вадиабатическом режиме и скорость его ослабления по мере роста частоты переключений (рис. 12).Рис. 11: Виды исследуемых зависимостей амплитуды внешней силы от времени : биполярный входной импульс (а) и синусоидальный сигнал (б) с постоянным периодом переключения , а также сигнал случайной длительности (со средним значением длительности ⟨ ⟩ = ).Все сигналы постоянны по амплитуде, чередуются по полярности и удовлетворяют условию,что среднее значение силы воздействия за время равно нулю.19Рис.

12: Скорость направленного движения, индуцированная синусоидальным сигналом0 sin Ω (а,в) и апериодической последовательностью импульсов (б,г) в зависимости от амплитуды силы внешнего воздействия (параметр = 0 ) и длительности полупериода = /Ω (для а,в), либо средней длительности полупериода ⟨ ⟩ (для б,г). Данные приведеныдля отверстий размеров = 0.1 и 0.3.В случае синусоидального сигнала для фактора затухания ( ) полученоследующее аналитическое выражение]︂∑︁ [︂1 + exp(− ), 1 −( ) =2 2 / 2 )2(1+≥1(17)а в случае апериодического сигнала, длительности которого распределены согласно распределению Пуассона со средним временем переключения ⟨ ⟩ факторзатухания ( ) может быть записан в виде∑︁(⟨ ⟩) =(18)−1 ,+⟨⟩≥1[︀]︀где = 2 0 /2 , = 4/(1 − 2 )2 × 12 ( )/02 ( ) , и величины являются -ми корнями функции 1 ().Сопоставление аналитических и полученных моделированием результатовпоказало хорошее количественное согласие между ними, когда амплитуда входящего сигнала достаточно велика (безразмерный параметр = ≥ 104 ).