Диссертация (Формирование и характеристики плазменных каналов при филаментации фемтосекундного лазерного излучения в воздухе), страница 11

Последний требует не только медленное изменение амплитуды, но и фазы поля (той ее части, которая не связана с дисперсией нулевогои первого порядка). В свою очередь, SEWA снимает ограничение SVEA на длительностьимпульса. На базе построенного метода в указанной работе также приведено получение параболического уравнения на амплитуду светового поля, учитывающее эффекты дифракции,дисперсии, а также нелинейного отклика поляризации среды. В несколько более простомвиде оно приведено и используется в [159], где также делается вывод о применимости метода к задаче самоукручения волнового фронта импульса.

Нелинейный отклик поляризациив обоих работах сводится к мгновенному керровскому отклику. В качестве базового численного метода интегрирования полученных уравнений берется метод Кранка-Николсона сиспользованием Фурье-метода после расщепления по физическим факторам.В [160] керровская нелинейность в отклике поляризации была дополнена плазменнойнелинейностью, причем в уравнении для концентрации плазмы учитывалась только многофотонная ионизация в приближении разреженной плазмы ( ≪ 0 ).

Кроме того, учитывал— 39 —ся запаздывающий керровский отклик. В [161] дополнительно учитывается вклад столкновений в плазменную нелинейность, а также слагаемое, описывающее генерацию плазменных(кильватерных) волн. При описании динамики плазмы учитывается не только многофотонная, но и туннельная ионизация. Также учитываются релаксационные процессы: прилипание электронов к нейтралам и электрон-ионная рекомбинация. В [162] дополнительно учтенастолкновительная ионизация.Более общим, чем уравнение SEWA, является однонаправленное уравнение распространения импульса (unidirectional pulse propagation equational, UPPE) [163].

В нем не используется⃗ = 0, которое в спектрально-угловом подходе эквивалентно приближениюприближение div ≈ 0 . В [164] указывается на применимость UPPE для описания распространения жестко сфокусированных импульсов, когда числовая апертура составляет 0.1–1.

Кроме того, этовекторное уравнение, поэтому оно может использоваться для моделирования произвольнополяризованных импульсов. Более подробно вывод нелинейных слагаемых в методе UPPEприведен в [165]. Там же обсуждаются вопросы его численного интегрирования, а такжевывода на его основе других уравнений нелинейной оптики.2.4. Количественные характеристики атмосферного воздухаВ расчетах атмосферный воздух считался двухкомпонентной газовой смесью, состоящейна 79% из молекулярного азота и на 21% из молекулярного кислорода. Полная концентрациянейтралов 0 составляла 2.7·1019 см−3 .

Уравнения на концентрацию электронов (2.54) имеливид = (1) + (2)(1) (⃗, )(2.68)(1)= (1) ((⃗, ))(0 − (1) (⃗, ))(2) (⃗, )(2)= (2) ((⃗, ))(0 − (2) (⃗, ))(1)(2.69)(2.70)(2)с начальными концентрациями 0 = 0.21 и 0 = 0.79 , где = 2.7 · 1019 см−3 — числоЛошмидта.Для учета дисперсии воздуха использовалась формула Коши() = 1 + (1 +)2(2.71)c параметрами = 2.73 · 10−4 , = 7.52 · 10−11 см2 [166].Коэффициент керровской нелинейности воздуха 2 равнялся 3.98 · 10−19 см2 · Вт−1 длядлины волны 800 нм и 13.36 · 10−19 см2 · Вт−1 для длины волны 248 нм [134, 142, 167]. Этосоответствует критической мощности самофокусировки, равной 2.4 ГВт и 70 МВт, соответственно. Для длины волны 744 нм параметр 2 оценивался равным 4.16 · 10−19 см2 · Вт−1 по— 40 —модели, предложенной в [168].

Согласно этой модели дисперсионная зависимость коэффициента кубической нелинейности можно аппроксимировать законом Коши 2 () = + 2 , параметры которой определялись по известным из литературы значениям 2 для разных длинволн. Параметр нелинейного керровского отклика (2.23) в нестационарной задаче равнялся1, инерционность отклика (2.21) описывалась параметрами Γ = 26 ТГц, Ω = 20.6 ТГц [143].2Для описания процесса полевой ионизации инфракрасным излучением с длиной волны800 нм в рамках модели ППТ использовались энергии ионизации молекулярных кислорода иазота, равные 12.1 эВ и 15.6 эВ, соответственно [169]. Эффективные заряды остаточного ионаравнялись, соответственно, * = 0.53 и * = 0.9 [149].

Порядки многофотонности составляли2 = 8 и 2 = 11.Полевая ионизация молекул воздуха излучением с длиной волны 248 нм описывалась врамках многофотонного приближения (2.51). В [74, 77, 170] приведены различные оценкисечений процесса многофотонной ионизации молекул кислорода и азота, по которым быливыбраны средние значения 2 = 1.34 · 10−27 см6 с−1 Вт−3 и 2 = 2.4 · 10−43 см8 с−1 Вт−4 .Ударная ионизация, релаксация концентрации свободных электронов за время импульса,а также бугеровское поглощение в воздухе считались пренебрежимо малыми.2.5.

Численные методы решения задачи филаментации2.5.1. Дискретизация координатВ работе использовались конечно-разностные методы, для которых необходимо предварительно дискретизировать координаты , и (или и для осесимметричной задачи, или и для стационарной задачи). Координата является эволюционной, ее дискретизацияавтоматически выполнялась при совершении дискретных шагов ∆ .Дисперсионн Для этого использовалось быстрое преобразование Фурье (см. 2.5.3).

Дляэтого, в свою очередь, потребовалось использовать равномерную сетку по временной координате :)︂(︂ − 1, = 0, − 1,(2.72) −→ = ∆ −2где ∆ — шаг сетки по времени, — количество точек по временной координате. Полныйразмер сетки по времени равнялся ∆ = ∆ ( − 1) и выбирался таким, чтобы он был в10–12 раз больше длительности импульса 0 .При отсутствии радиальной симметрии для подзадачи дифракции использовался переход от пространственных координат (, ) к угловым ( , ), для чего также применялосьбыстрое преобразовании Фурье (см.

2.5.3), поэтому сетка по поперечным пространственным— 41 —координатам также была равномерная:(︂)︂ − 1 −→ = ∆ −,2(︂)︂ − 1 −→ = ∆ −,2 = 0, − 1,(2.73) = 0, − 1.(2.74)Здесь ∆, ∆ — шаги по пространственным координатам, , — количество точек сеткипо ним. Полный размер сетки составлял ∆ × ∆ = ∆( − 1) × ∆( − 1) и выбиралсяв 10–12 раз больше радиуса пучка 0 . В расчетах использовались только квадратные сетки:∆ = ∆ , = .В случае радиально симметричной задачи вместо преобразования Фурье можно былобы использовать преобразование Ханкеля, однако готовые реализации существенно менеедоступны, и, кроме того, это преобразование обладает худшими свойствами [171]. Поэтомудля осесимметричной задачи использовалась конечно-разностная схема. Последняя не требует равномерности сетки, поэтому сетка по радиальной координате была неравномерной.Конкретно, для вычисления шага ∆ использовалась следующая формула:∆ =⎧⎨∆0 6 < 1 ,⎩∆· 1 6 < − 1.−1(2.75)Кроме того, нулевой расчетный узел брался смещенным на полшага от начала координат1координат: 0 = ∆.

Это было сделано для избежания особенности оператора Лапласа в2нуле в случае радиально симметричной постановки.Таким образом, сетка была равномерной с шагом ∆ в приосевой области на протяжении 1 шагов, а затем шаг увеличивался с постоянным инкрементом , который в разныхрасчетах составлял величину около 1.001 ÷ 1.01. Даже такое незначительное увеличение шага приводило к существенной экономии расчетных точек в удаленной от центра области,которая не требует высокого пространственного разрешения.2.5.2. Метод расщепления по физическим факторамПри численном решении задачи филаментации (2.55) и стационарной задачи самофокусировки (2.67) координата является эволюционной, что приводит к задаче нахождения поля(, , +1 , ) по известным значениям на предыдущем шаге (, , , ).

С этой целью использовался метод расщепления по физическим факторам [172]. Он состоит в раздельномучете линейных и нелинейных факторов на каждом шаге ∆ = +1 − .— 42 —Схему метода расщепления можно представить следующим образом:∆∆˜ , ) −−−−−−→ (, , + ∆ , ),(, , , ) −−−−−−→ (,linnonlin(2.76)∆∆˜ , ) −−−−−−→ (, , + ∆ , ).(, , , ) −−−−−−→ (,nonlinlin(2.77)В первом варианте (2.76) вначале выполняется интегрирование уравнения (2.55a) (или(2.63a) в случае осесимметричной постановки) с шагом ∆ с учетом только линейных факторов: дифракции и дисперсии.

Затем, используя полученный промежуточный результат˜ , ), выполняется повторное интегрирование того же уравнения вместе с уравнением(,(2.55b) (или (2.63b)) с учетом только нелинейных факторов: керровской и плазменной нелинейностей, а также поглощения (в том числе бугеровского). Второй вариант (2.77) отличаетсятолько порядком учета слагаемых: вначале нелинейные, затем линейные.Лучший порядок аппроксимации показывают схемы с чередованием (двуцикличная процедура расщепления):0.5∆∆˜˜ , ) −−0.5∆˜ , ) −−−−−−→ (,−−−−→ (, , + ∆ , ),(, , , ) −−−−−−→ (,linlinnonlin(2.78)0.5∆∆˜˜ , ) −−0.5∆˜ , ) −−−−−−→ (,−−−−→ (, , + ∆ , ).(, , , ) −−−−−−→ (,nonlinnonlinlin(2.79)Схема (2.78) требует двукратного расчета линейных слагаемых на одном шаге интегрирования, что является более затратным с точки зрения времени вычислений по сравнениюс (2.79).