Диссертация (Формирование и характеристики плазменных каналов при филаментации фемтосекундного лазерного излучения в воздухе), страница 8

Считая также излучение линейно поляризованным вдоль оси , представим полев виде⃗ , ) = 1 ⃗ (⃗, )(0 −0 ) + к. с.(⃗(2.3)20Здесь 0 и 0 — центральная частота и центральное волновое число плоской волны, 0 = 0 ,0 = (0 ) — показатель преломления среды на заданной частоте излучения. Величина (⃗, )⃗ Примениназывается медленно меняющейся комплексной амплитудой светового поля .мость метода медленно меняющихся амплитуд допустима для импульсов длительностьювплоть до нескольких периодов колебаний поля [132].2.1.2. Поляризация средыСледуя подходу нелинейной оптики, разложим поляризацию среды ⃗ в ряд по напряжен⃗ учитывая, что в изотропной среде члены четного порядка отсутствуют:ности поля ,⃗ (⃗, ) = ⃗ (1) (⃗, ) + ⃗ (3) (⃗, ) + ⃗ (5) (⃗, ) + . . .⃗ ()∫︁∞(⃗, ) =∫︁∞...0⃗ , − 1 ) .

. . (⃗⃗ , − )1 . . . .ˆ() (1 , . . . ) ⊗ (⃗(2.4)(2.5)0Здесь ˆ() (1 , . . . ) — тензоры оптической восприимчивости -го порядка. Приведенное разложение учитывает временную инерционность отклика среды, что, в общем случае, необходимо ввиду соизмеримости частот спектра веществ и частоты лазерного поля. Пространственная нелокальность отклика среды считается малой и не учтена в данном разложении.Из разложения (2.5) можно получить оценку сходимости ряда (2.4) [133]⃒⃒ ⃒⃒ ⃒⃒2⃒ ⃗ (+2)⃒ ⃒ ⃗ ()⃒ ⃒⃒⃗(⃗, )⃒ / ⃒ (⃗, )⃒ ∝ ⃒(⃗, )⃒ /2 = (⃗, )/ ,⃒(2.6)где — напряженность внутриатомного поля, — соответствующая ему интенсивность. Поскольку интенсивность света для интересующих нас режимов распространения лазерных импульсов достигает значения порядка 1014 Вт · см−2 , что существенно меньше интенсивностивнутриатомного поля (около 3 · 1016 Вт · см−2 ), то в разложении (2.4) можно ограничиться первыми двумя членами, соответствующими линейному отклику и нелинейному отклику— 25 —третьего порядка.В ряде недавних работ значительное внимание уделяется высшим порядкам нелинейности и их роли в филаментации.

В [134] сообщалось о первых измерениях коэффициентоввысших нелинейностей, а также о том, что нелинейная добавка к показателю преломленияпри высоких интенсивностях (около 2.6 · 1013 Вт/см2 ) может менять знак. Уточненные значения коэффициентов приведены в [135]. Ряд экспериментов показывает, что роль высшихнелинейностей в филаментации является определяющей для остановки коллапса, а традиционно привлекаемая для этого плазменная нелинейность является лишь сопутствующимфактором [136, 137].

В последней работе указывалось, что влияние высших нелинейностейбудет сказываться сильнее на импульсах меньшей длительности и большей длины волны. Вто же время, есть данные об экспериментах, которые гораздо лучше согласуются с численными расчетами на базе «стандартной» (керровско-плазменной без высших нелинейностей)модели [138].В данной работе вкладом высших нелинейностей будет пренебрегаться.Подставив представление электрического поля (2.3) в (2.4), получим выражения для линейного и нелинейного отклика, выраженные через комплексную амплитуду светового поля.Для линейного отклика, с учетом симметрии тензора восприимчивости, получим⃗ (1)1(⃗, ) = ⃗2∫︁∞−∞∫︁∞1= ⃗2(1) ( )(⃗, − )0 (− )−0 + к. с.

=ˆ(1) ( )(⃗, − )−0 · 0 −0 + к. с.(2.7)−∞Внутри интеграла перейдем к частотному представлению:1 () =2(1)(⃗, ) =12∫︁∞−∞∫︁∞(1) () ,(2.8)(⃗, Ω)Ω Ω.(2.9)−∞— 26 —Получим:∫︁∞1 0 −0 ⃗ (1) (⃗, ) = ⃗2(2)21 0 −0 = ⃗2(2)21 0 −0 = ⃗2(2)21 0 −0 = ⃗22∫︁∞ ∫︁∞ −0 −∞∫︁∞Ω (1) ()(⃗, Ω) Ω(− ) + к. с. =−∞ −∞Ω∫︁∞Ω (⃗, Ω)−∞∫︁∞−∞∫︁∞(1)∫︁∞ ()−∞∫︁∞Ω (⃗, Ω)Ω (−Ω−0 ) + к. с. =−∞ (1) ()2( − Ω − 0 ) + к. с. =−∞Ω(⃗, Ω)(1) (0 + Ω)Ω + к.

с.(2.10)−∞В прозрачных диэлектриках величина (1) () чисто вещественная и связана с показателемпреломления среды соотношением() =√︁1 + 4(1) ().(2.11)В свою очередь, показатель преломления определяет дисперсионную зависимость() =().(2.12)Нелинейный отклик третьего порядка в изотропной среде задается выражением⃗ (⃗, ) = 30 −30 1· ⃗83+0 −0 · ⃗8∫︁ ∫︁ ∫︁∫︁ ∫︁ ∫︁(3) (1 , 2 , 3 )(⃗, − 1 )(⃗, − 2 )(⃗, − 3 )··−0 (1 +2 +3 ) 1 2 3 + к. с.+(3) (1 , 2 , 3 )(⃗, − 1 )(⃗, − 2 )* (⃗, − 3 )··−0 (1 +2 −3 ) 1 2 3 + к. с.(2.13)Первое слагаемое (и его комплексное сопряжение) в (2.13) описывает процесс генерациитретьей гармоники.

Его учет приводит к необходимости совместного рассмотрения связанныхуравнений для лазерного поля на основной и третьей гармонике, что выполнено, например,в [139]. Генерация третьей гармоники будет существенна только при выполнении условияфазового синхронизма 30 ≈ (30 ). Поскольку мы не будем предпринимать специальныхмер по его выполнению, процессом генерации третьей гармоники можно пренебречь.Вновь выполним переход к спектрам амплитуды поля (2.9) и нелинейной восприимчивости∫︁∞1(3) (1 , 2 , 3 ) =(3) (1 , 2 , 3 )(1 1 +2 2 +3 3 ) 1 2 3 .(2.14)(2)3−∞— 27 —В результате получим нелинейную поляризацию среды в виде⃗ (3)3 0 −0 (⃗, ) = ⃗8(2)3∫︁ ∫︁ ∫︁(3) (0 + Ω1 , 0 + Ω2 , −0 + Ω3 )(⃗, Ω1 )(⃗, Ω2 )* (⃗, −Ω3 )·· (Ω1 +Ω2 +Ω3 ) Ω1 Ω2 Ω3 + к.

с. (2.15)Выражение (2.15) значительно упрощается, если характерное время отклика среды много меньше длительности импульса, что верно, например, для отклика электронной оболочки атома или молекулы ( . 1 фс). Тогда3⃗ (3) (⃗, ) = ⃗ 0 −0 (3) (0 , 0 , −0 ) |(⃗, )|2 (⃗, ) + к. с.8(2.16)Введем нелинейный показатель преломления по амплитуде2,3(3) (0 , 0 , −0 )=.20(2.17)Тогда выражение (2.16) запишется в виде1 0 −0 0 2, |(⃗, )|2 (⃗, ) + к. с.⃗ (3) (⃗, ) = ⃗22(2.18)Существует несколько механизмов возникновения нелинейности в отклике среды. Откликэлектронной оболочки атома имеет характерное время отклика порядка 10−15 с, что позволяет считать его мгновенным для импульсов, длительность которых превышает несколькофемтосекунд.

Времена нелинейного отклика, связанных с изменением ориентации молекул,электрострикцией и тепловыми процессами, существенно превышает длительность рассматриваемых импульсов, поэтому их можно не учитывать [140].Однако существуют и нелинейные процессы с временем отклика, сравнимым с длительностью лазерных импульсов. Например, процесс вынужденного комбинационного рассеянияна вращательных переходах молекул воздуха имеет время отклика около 50 фс. В [141] наоснове квантовомеханического расчета показано, что функция отклика имеет сложный осциллирующий характер. В [142] проведен расчет функции отклика для молекулярных азотаи кислорода, которая имела вид затухающей осциллирующей функции с несколькими всплесками, следующих с периодом около 2–3 пс. На основе этих данных в [143] была предложенапростая модель описания инерционного нелинейного отклика среды:1 0 −0 0 ∆ (⃗, )(⃗, ) + к.

с.⃗ (3) (⃗, ) = ⃗222∆, (⃗, ) = (1 − )2, |(⃗, )| + 2,∫︁∞( ) |(⃗, − )|2 .(2.19)(2.20)−∞Вклад мгновенной и запаздывающей компонент нелинейного отклика определяется весом .— 28 —Функция отклика () имеет видΓ−Ω2() = Θ() sin(Λ) 2 ,Λ(2.21)где Θ() — единичная функция Хевисайда, Λ — частота, связанная с вращательными частоΓ2−1тами молекул, Γ = 2— величина, обратная времени релаксации отклика, Λ2 = Ω2 − .4В дальнейшем мы будем использовать выражение для изменения показателя преломлениявследствие кубической нелинейности среды через интенсивность светового поля(⃗, ) =0|(⃗, )|2 ,8∆ (⃗, ) = (1 − )2 (⃗, ) + 2∫︁∞( )(⃗, − ),(2.22)(2.23)−∞где 2 =82, — коэффициент кубической нелинейности (по интенсивности).02.1.3. Ток свободных носителейПри распространении лазерного излучения с интенсивностью до 1014 Вт · см−2 в прозрачной среде происходит ионизация среды с образованием разреженной плазмы.

Механизмыионизации детально обсуждаются в разделе 2.2.Согласно модели Друде [144] коллективное упорядоченное движение электронов происходит под действием внешнего электрического поля, а также сопровождается столкновениямис массивными частицами (нейтральными атомами или молекулами, либо ионами). Уравнениедвижения в таком случае имеет вид⃗ (⃗, )⃗ , ) − ⃗ (⃗, ).= (⃗(2.24)Здесь и — заряд и масса электрона, — частота столкновений электронов с массивнымичастицами.Скорость упорядоченного движения связана с плотностью тока соотношением⃗ (⃗, ) = (⃗, )⃗ (⃗, ).(2.25)⃗ (⃗, )2⃗ , ) − ⃗ (⃗, ).= (⃗, )(⃗(2.26)Окончательно,Частота столкновений для газообразных сред при нормальных условиях имеет порядок10 с [10]. Поскольку частота лазерного излучения 0 оптического диапазона существеннопревосходит , мы будем пренебрегать столкновениями.Следуя методу медленно меняющихся амплитуд, представим плотность тока в виде ли12 −1— 29 —нейно поляризованной квазимонохроматической квазиплоской волны:1⃗ (⃗, ) = ⃗ (⃗, )0 −0 + к.

с..2(2.27)Тогда уравнение (2.26) примет вид (⃗, )2+ 0 (⃗, ) = (⃗, )(⃗, ).(2.28)⃒⃒⃒ (⃗, ) ⃒⃒ ≪ 0 | (⃗, )|, получаем выражение для тока свободных электро⃒Считая, что ⃒ ⃒нов:2 (⃗, ) = − (⃗, )(⃗, ).(2.29) 042 (⃗, )2Введем плазменную частоту (⃗, ) =. Тогда ток свободных электроновпримет вид(︂)︂2(⃗, )0 00 0 (⃗, ) = (⃗, ) −=∆ (⃗, )(⃗, ),(2.30)2220 02где введена плазменная добавка к показателю преломления2(⃗, ).∆ (⃗, ) = −20 02(2.31)Если среда состоит из нескольких компонентов (например, воздух), то необходимо вво()дить несколько концентраций электронов , по одной на каждый компонент. При этом вформулах будет фигурировать полная концентрация (⃗, ) =∑︁() (⃗, ).(2.32)=1В приведенном выводе игнорируется ток свободных ионов. Это допустимо, посколькумасса ионов на 3–4 порядка превосходит массу электрона, что приводит к пропорциональноменьшей подвижности.2.1.4.