Диссертация (1105134), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Динамика концентрации электроновПри достаточно большой интенсивности лазерного излучения оторванные в процессефотоионизации электроны могут накопить кинетическую энергию, достаточную для ударнойионизации нейтрала при столкновении. Частота ударной ионизации в приближении ≪ 0равна [10](2.52) =42 — сечение обратного тормозного поглощения, — частота столкновений 02 0электрон-нейтрал.Кроме того, помимо процесса отрыва электронов вследствие полевой или ударной ионизации, будут идти и обратные процессы релаксации, приводящие к уменьшению концентрацииэлектронов.
В газовых средах это процесс рекомбинации электронов и ионов с образованием нейтральной молекулы (и, возможно, ее последующей диссоциации) и процесс налипания электронов к нейтралам с образованием отрицательно заряженного иона (при этомподвижность заряда падает на несколько порядков).
Скорость релаксации пропорциональнаконцентрации электронов в степени , называемой степенью процесса рекомбинации.Окончательно, уравнение динамики концентрации свободных электронов записывается ввиде (⃗, )= ((⃗, ))(0 − (⃗, )) + (⃗, ) − (⃗, ).(2.53)Для развития электронной лавины необходимо, чтобы время между актами ударной иони-где =— 35 —зации было меньше длительности импульса: −1 ≪ 0 .
В газовых средах это не так, и процессом лавинной ионизации при филаментации можно пренебречь. Релаксационные процессыв газах при нормальном давлении имеют характерные времена не менее десятков пикосекунд [10], поэтому они также не успеют сказаться на концентрации электронов за времяпрохождения импульса. По той же причине мы пренебрегаем эффектами пространственногоперераспределения заряда (амбиполярной диффузией).Поэтому в газовых средах уравнение (2.53) упрощается и выглядит так: (⃗, )= ((⃗, ))(0 − (⃗, )).(2.54)Для нескольких газовых компонент необходимо записывать несколько уравнений (2.54),по одному на каждую компоненту, со своими скоростями ионизации () .2.3.
Постановка задачи филаментации2.3.1. Нестационарная задачаНестационарная (полная) задача филаментации описывает пространственно-временнуюдинамику излучения как на начальной стадии филаментации (на этапе самофокусировки),так и на стадии развитого филамента.
Объединяя уравнение для медленно меняющейсякомплексной амплитуды поля (2.48) и уравнение для концентрации свободных носителей (2.53), получим самосогласованную систему:1(⃗, )= ∆⊥ (⃗, ) +202∫︁∞(︀)︀Ω (⃗, Ω) 2 (0 + Ω) − (0 + 1 Ω)2 Ω +−∞+2020(∆ (⃗, ) + ∆ (⃗, ) + ∆˜(⃗)) (⃗, ) − 0 (⃗, )(⃗, ), (⃗, )= ((⃗, ))(0 − (⃗, )).(2.55a)(2.55b)К системе уравнений (2.55) необходимо добавить начальные и граничные условия:(, , = 0, ) = 0 (, , ),(2.56)( = ±∞, , , ) = (, = ±∞, , ) = (, , , = ±∞) = 0,(2.57) ( = ±∞, , , ) = (, = ±∞, , ) = (, , , = −∞) = 0.(2.58)Последнее условие в (2.58) означает отсутствие свободных электронов до прихода импульса.Часто начальные условия могут иметь вид гауссового импульса с произвольным профилем пучка:2−2 (, , ) = (, ) 20 ;(2.59)0— 36 —с гауссовым профилем пучка выражение 2.59 принимает вид2 + 22−−202 202 .0 (, , ) = 0 (2.60)Параметр 0 характеризует длительность импульса и связан с обычно приводимой в экспериментальных работах полной длительностью по полувысоте FWHM соотношением√FWHM = 0 · 2 ln 2.(2.61)Параметр 0 называется радиусом пучка по уровню −1 по интенсивности и связан с частоприводимым в экспериментальных работах радиусом пучка по уровню −2 по интенсивности соотношением√(2.62) = 0 · 2.В случае, если среда однородна (∆˜(⃗) = 0), а начальное условие для поля (2.56) обладает радиальной симметрией, решение системы (2.55) также будет обладать радиальной√︀симметрией, что позволяет использовать только одну координату = 2 + 2 в поперечномсечении.
Тогда система (2.55–2.58) принимает вид:1 (, , )=20 (︂)︂∫︁∞(︀)︀(, , )1+Ω (, , Ω) 2 (0 + Ω) − (0 + 1 Ω)2 Ω +2−∞+2020(∆ (, , ) + ∆ (, , )) (, , ) − 0 (, , )(, , ) (, , )= ((, , ))(0 − (, , )),(2.63a)(2.63b)(, = 0, ) = 0 (, ),(2.64)( = ∞, , ) = (, , = ±∞) = 0,(2.65) ( = ∞, , ) = (, , = −∞) = 0.(2.66)Отметим, что радиально симметричный подход в любом случае нельзя использовать, еслипиковая мощность лазерного импульса превосходит критическую мощность самофокусировки в десятки и более раз, поскольку вследствие модуляционной неустойчивости [3] дажеминимальные нарушения симметрии в начальном профиле пучка или минимальные отличия среды от однородной приведут к распаду пучка на отдельные субструктуры и развитиюмножественной филаментации.2.3.2. Стационарная задачаЧасто исследуется только начальная стадия филаментации (самофокусировка).
Тогдав рамках модели движущихся фокусов можно следить за центральным временным слоемимпульса, обладающим пиковой мощностью. Поскольку этот временной слой пройдет свой— 37 —нелинейный фокус первым, влияние плазмы от передних временных слоев оказывается пренебрежимо малым и им можно пренебречь.Кроме того, если рассматривать не слишком короткие импульсы (от 100 фс и более), можно также пренебречь дисперсионными эффектами, поскольку характерное расстояние ихразвития — дисперсионная длина — оказывается существенно больше расстояния до стартафиламента.
Например, дисперсионная длина импульса длительностью 100 фс в воздухе превосходит 100 м, в то время как нелинейная длина пучка диаметром 5 мм и мощностью 5 надлине волны 800 нм составляет 13 м. Если пучок сфокусирован, продольные пространственные масштабы дополнительно сокращаются. Следует отметить, что по мере приближения кстарту филамента импульс будет испытывать укручение волнового фронта, что приведет куменьшению длительности и дисперсионной длины. Однако сравнимой с нелинейной длинойдисперсионная длина станет только при развитой филаментации, которая в любом случаене может описываться в стационарной постановке.Наконец, будем также пренебрегать запаздыванием отклика, оценив в 2.23 ≈ 0.
Еслидлительность импульса существенно превосходит характерное время запаздывающего отклика (около 40 фс), то сделанное допущение приведет к небольшому завышению параметра 2(порядка 25%), которое оказывается меньше, чем разброс значений 2 , известных в литературе.При сделанных предположениях полная задача филаментации сводится к стационарнойзадаче самофокусировки202 2(, , )= ∆⊥ (, , ) + 0 (∆ (, , ) + ∆˜(⃗)) (, , ),0(2.67)где временная координата является параметром и положена равной 0. Тем самым производится рассмотрение процесса самофокусировки центрального временного слоя, содержащегопиковую мощность.Это рассмотрение справедливо вплоть до достижения характерных для филамента интенсивностей 1013 –1014 Вт/см2 , то есть до точки старта филамента. Таким образом, решениеболее простой стационарной задачи позволяет получить информацию о начале филамента,но не о его развитии.2.3.3.
Краткий обзор численных моделей нелинейного распространения импульсовПолученные системы (2.55, 2.67) уже давно используются при моделировании филаментации и прошли детальную апробацию. Лежащий в их основе метод медленно меняющихсяамплитуд восходит к задачам теории нелинейных колебаний в электрических цепях и работам Б. ван дер Поля [150–152]. Применительно к задачам лазерной физики он был развитР.В. Хохловым и подробно изложен в [153].Ключевым для метода медленно меняющихся амплитуд является понятие огибающейимпульса.
Для импульсов длительностью в несколько периодов колебаний использовать его— 38 —затруднительно. Непосредственное полевое рассмотрение часто проводится в приближениидвухуровневой среды и приводит к уравнениям вида уравнения Кортевега — де Фриза илисинус-Гордона [154]. Однако в двухуровневом приближении коэффициент керровской нелинейности оказывается отрицательным [155], что противоречит эксперименту. Причина в том,что двухуровневый механизм, как правило, не является основным при нерезонансном взаимодействии излучения с веществом.
Кроме того, двухуровневое приближение также описываеттолько нормальную дисперсию групповой скорости.В [156, 157] для учета поляризационного отклика среды предложено использовать модель связанных осцилляторов электронной и электрон-ионной (рамановской) природы. Полная поляризация дается суммой двух компонент, причем электрон-ионной компонентой, какправило, можно пренебречь. Там же приведен вывод однонаправленного уравнения распространения плоской волны в нелинейной среде в нерезонансном приближении. Релаксациейнелинейного отклика поляризации также пренебрегалось. На базе полученного уравнениябыло получено качественное различие в поведении импульса в случаях, когда спектр еголежит в области нормальной и аномальной групповых дисперсий. Также были полученысоотношения на предельную длительность оптического солитона.Развитие этого подхода представлено в [158], где приведено численное моделированиесамофокусировки гауссового импульса с конечной апертурой, имеющего предельно короткую длительность (около 6 фс).
Было продемонстрировано формирование «гантелеподобной» формы импульса, состоящего из двух субимпульсов. Построенная модель не привела квозникновению сингулярности поля при самофокусировке, что свойственно моделям, основанным на параболическом приближении для огибающей поля, и требует учета в них дефокусирующих слагаемых (плазменной нелинейности или высших полевых нелинейностей).В [132] метод медленно меняющихся амплитуд (slowly-varying-envelope approximation,SVEA) был модифицирован для описания нелинейного распространения предельно коротких импульсов. Эта модификация получила название метод медленно меняющейся волны(slowly-evolving-wave approximation, SEWA).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
