Диссертация (1105134), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Параболическое уравнениеВернемся теперь к волновому уравнению (2.2) и подставим в него выражения для поля⃗(2.3), поляризации (2.10, 2.19) и тока свободных электронов (2.30). Пренебрегая членом divввиду электронейтральности плазмы, получим∫︁∞(⃗, )1 2 (⃗, )2− 20− 0 (⃗, ) + ∆⊥ (⃗, ) +Ω (⃗, Ω) 2 (0 + Ω)Ω = 22−∞[︂]︂[︂]︂22220 1 20 =−1−2+(∆ (⃗, )(⃗, )) −1−(∆ (⃗, )(⃗, )) .

(2.33)00 02 200 — 30 —Перейдем теперь к новой системе координат:(, , , ) → (, , , = −),(2.34)⃒ )︃−1 ⃒⃒— групповая скорость лазерного импульса. Пренебрежем также ⃒01 , считая медленным изменение всех амплитуд по сравнению с быствыражениями вида0 рыми осцилляциями на несущей частоте импульса. Получим1где ==1(︃)︂(︂ 2 (⃗, )1 (⃗, )+ ∆⊥ (⃗, )+− 20 1 − 20 ∫︁∞(︀)︀1+Ω (⃗, Ω) 2 (0 + Ω) − (0 + 1 Ω)2 Ω =2−∞=−202(∆ (⃗, ) + ∆ (⃗, )) (⃗, ).

(2.35)0Наконец, пренебрежем второй производной по , считая⃒⃒ (⃗, ) медленно ме⃒ 2 ⃒ амплитуду⃒ ⃒⃒ ⃒⃒. Также пренебрежемняющейся также и по пространственной координате: ⃒⃒ 2 ⃒⃒ ≪ ⃒⃒0 ⃒разницей между фазовой и групповой скоростями и окончательно получим(⃗, )120= ∆⊥ (⃗, ) +2∫︁∞(︀)︀Ω (⃗, Ω) 2 (0 + Ω) − (0 + 1 Ω)2 Ω +−∞+202(∆ (⃗, ) + ∆ (⃗, )) (⃗, ). (2.36)0Приведенное параболическое уравнение для медленно меняющейся комплексной амплитуды светового поля учитывает такие физические процессы, как дифракция, материальнаядисперсия, а также кубическая (керровская) и плазменная нелинейности среды.2.1.5. Учет затуханияРаспространение высокоинтенсивного лазерного излучения приводит к ионизации среды,что сопровождается уменьшением энергии лазерного импульса.

Учтем эти потери. Изменениеэнергии малой части импульса [, + ] × [, + ] × [, + ] при распространении нарасстояние равно∆ℰ(, , , ) = ((, , + , ) − (, , , )) .(2.37)С другой стороны, при таком элементарном акте распространения образовалось∆ (, , , ) = (∆ (, , , )) — 31 —(2.38)электронов (индекс обозначает, что необходимо учитывать изменение концентрацииэлектронов только вследствие полевой ионизации). Для отрыва одного электрона нужно неменее⌉︂⌈︂(2.39)=~0квантов света несущей частоты, где — энергия ионизации атома или молекулы. Будемсчитать, что во всех актах ионизации поглощается ровно квантов.

Тогда потери энергии лазерным импульсом равны суммарной энергии всех квантов, поглощенных при актахионизации, так что− ∆ℰ(, , , ) = ∆ (, , , ) · ~0 .(2.40)В результате получим дифференциальное уравнение для интенсивности светового поля:(, , , )=−(︂ (, , , ))︂ · ~0 .(2.41)Воспользуемся тем, что при поглощении меняется только амплитуда поля, но не его фаза.02Тогда () =|() | ( — вещественная амплитуда) и8()0()=2().8(2.42)Подставим полученное выражение в (2.41), получим(︂()= 020−~00()8)︂ (︂= 0−~0())︂ (),(2.43)откуда после умножения на получим20(︂~0где (⃗, ) =(⃗, )= −0 (⃗, )(⃗, ),(2.44))︂ — коэффициент затухания, связанный с полевой ионизацией.(⃗, )Также присутствовать потери в плазме; они могут быть учтены добавлением мнимойчасти в показатель преломления плазмы. Их появление связано со столкновениями в плазмеи имеет порядок.

Ввиду малости частоты столкновений, мы будем пренебрегать этими0потерями, считая плазму бесстолкновительной.Кроме того, среда может быть не полностью прозрачной, так что необходимо учесть иобычные бугеровские потери. Для этого модифицируем коэффициент затухания, добавив в— 32 —него постоянное слагаемое:(︂~0(⃗, ) =(⃗, ))︂ + ,(2.45)−1где = — коэффициент линейного ослабления, обратный длине экстинкции .Таким образом, параболическое уравнение для медленно меняющейся комплексной амплитуды светового поля принимает вид1(⃗, )= ∆⊥ (⃗, ) +202+∫︁∞−∞2020)︀(︀Ω (⃗, Ω) 2 (0 + Ω) − (0 + 1 Ω)2 Ω +(∆ (⃗, ) + ∆ (⃗, )) (⃗, ) − 0 (⃗, )(⃗, ). (2.46)2.1.6. Флуктуации показателя преломленияСреда, в которой распространяется излучение, может быть слабо неоднородной, так чтоее показатель преломления можно представить в виде суммы постоянной величины и малойдобавки:(⃗) = 0 + ∆˜(⃗),|∆˜(⃗)| ≪ 0 .(2.47)Подобная ситуация имеет место, например, в атмосфере при распространении излучения напротяженных трассах (сотни метров и более).

Параболическое уравнение модифицируетсяпутем введения еще одной добавки к показателю преломления (помимо членов, связанных скубическим откликом среды ∆ и откликом плазмы ∆ ) :1(⃗, )= ∆⊥ (⃗, ) +202∫︁∞(︀)︀Ω (⃗, Ω) 2 (0 + Ω) − (0 + 1 Ω)2 Ω +−∞+2020(∆ (⃗, ) + ∆ (⃗, ) + ∆˜(⃗)) (⃗, ) − 0 (⃗, )(⃗, ). (2.48)Изменение показателя преломления атмосферного воздуха ∆˜ связано с турбулентнымифлуктуациями плотности воздуха.

Эти флуктуации не успевают сколь-нибудь существенноэволюционировать за время импульса, поэтому их можно считать постоянными, что приводит к отсутствию аргумента в зависимости (2.47).Турбулентные флуктуации показателя преломления учитывались в рамках модели фазовых экранов [89], подробнее он рассмотрен в разделе 2.5.— 33 —2.2. Уравнение для концентрации свободных электронов всамонаведенной лазерной плазме2.2.1. Полевая ионизацияКак указывалось выше, распространение мощного фемтосекундного лазерного излучения приводит к образованию разреженной плазмы, которая оказывает обратное влияние нараспространяющееся излучения. Это проявляется в наличии в уравнении (2.46) члена ∆ ,зависящего от концентрации свободных электронов (⃗, ). Таким образом, необходимо дополнить параболическое уравнение для амплитуды поля уравнением, описывающем динамику концентрации .

В случае многокомпонентной системы необходимо записать уравне()ния динамики всех парциальных концентраций . Поскольку концентрация электронов вплазменных каналах при исследуемых фокусировках излучения не превосходит несколькихпроцентов от концентрации нейтралов, процесс ионизации всегда будет считаться однократным. Многократная ионизация возможна в пучках остросфокусирванного излучения, однаков таком случае говорить о филаментации уже некорректно.Процесс фотоионизации приводит к накоплению свободных электронов, причем изменение концентрации плазмы пропорционально концентрации неионизированных частиц (нейтралов): (⃗, )= (⃗, ) · (0 − (⃗, )).(2.49)Здесь 0 — концентрация нейтралов, а — скорость ионизации, характеризующая вероятность отрыва электрона от нейтрала в единицу времени.Наиболее распространенной моделью, описывающей ионизацию нейтралов лазерным полем, является модель Келдыша [145].

Ключевым ее параметром является так называемыйпараметр Келдыша√0 2 ,(2.50)=||где 0 и — частота и амплитуда поля, и — заряд и масса электрона, , как и ранее,энергия ионизации нейтрала.Предельные случаи ≪ 1 и ≫ 1 соответствуют случаям туннельной и многофотонной ионизации, соответственно. Для инфракрасного диапазона длин волн и максимальныхдля филаментации в воздухе интенсивностей параметр Келдыша достигает значения порядка 1. Это означает невозможность использования предельных случаев полевой ионизации:туннельного и многофотонного режимов.В [146] для атомов благородных газов было проведено сравнение нескольких моделейионизации, являющихся развитием модели Келдыша, например, модели ППТ [147] и АДК [148].Авторы пришли к выводу, что модель ППТ лучше всего описывает экспериментальные результаты в актуальном для задач филаментации диапазоне интенсивностей.Модель ППТ предполагает, что внешнее поле гораздо слабее атомного поля, пока электрон не удалился от ядра, а при удалении модель учитывает взаимодействие электрона с— 34 —атомным остатком.

Кроме того, предполагается, что ионизация происходит в поле плоскоймонохроматической волны, а атом предполагается водородоподобным. Модель также содержит параметр * , равный заряду остаточного иона после отрыва электрона. Используя этотпараметр как подгоночный и приписывая ему дробные значения, можно добиться количественного согласия скорости ионизации молекул, не обладающих сферической симметрией.В [149] на основе экспериментальных измерений с использование излучения Ti:Sapphire лазера (длина волны 800 нм) были получены оценки эффективного заряда остаточного ионамолекул кислорода ( * = 0.53) и азота ( * = 0.9). Модель ППТ использовалась в качествеединой модели, пригодной для всего диапазона интенсивностей при филаментации излученияближнего ИК диапазона.При филаментации в воздухе излучения ультрафиолетового диапазона характерные интенсивности существенно меньше, параметр Келдыша всегда значительно больше 1, и допустимо использование многофотонного приближения() = ,(2.51)где — интенсивность лазерного излучения, — порядок многофотонности (2.39), а — сечение процесса фотоионизации, характеризующее вероятность отдельного акта отрыва электрона.2.2.2.

Характеристики

Список файлов диссертации