Сингулярно возмущённые задачи в случае неизолированных корней вырожденного уравнения, страница 2

Ýòî îòëè÷àåò èçó÷àåìûå çàäà÷è îò çàäà÷, ðàññìàòðèâàåìûõ â êëàññè÷åñêîé òåîðèè Òèõîíîâà, ãäå ïðåäïîëàãàåòñÿ èçîëèðîâàííîñòü êîðíåé âûðîæäåííîé ñèñòåìû.Óñëîâèå 1.4 Ïóñòü äëÿ íà÷àëüíîé çàäà÷è (1) âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà: <0, êîãäà 0 ≤ x < x0 , >0, êîãäà 0 ≤ x < x0 ,hv (v1 (x), x)h (v (x), x) >0, êîãäà x0 < x ≤ 1, v 2 <0, êîãäà x0 < x ≤ 1,à äëÿ êðàåâîé çàäà÷è (2) âûïîëíåíû ïðîòèâîïîëîæíûå (ñòðîãèå) íåðàâåíñòâà.Èñõîäÿ èç Óñëîâèé 1.2-1.4 è ïîíÿòèÿ óñòîé÷èâîãî èçîëèðîâàííîãî êîðíÿåñòåñòâåííî îáðàçîâàòü ñëåäóþùåå ðåøåíèå âûðîæäåííîé ñèñòåìû (3): v1 (x), êîãäà 0 ≤ x ≤ x0 ,v̂(x) = v2 (x), êîãäà x0 ≤ x ≤ 1,û(x) = ϕ(v̂(x), x).(7)Ïàðó ôóíêöèé û(x), v̂(x), îïðåäåë¼ííûõ ðàâåíñòâàìè (7), íàçîâ¼ì ñîñòàâ-íûì óñòîé÷èâûì ðåøåíèåì âûðîæäåííîé ñèñòåìû (3).

Èç Óñëîâèé 1.27è 1.4 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ íà÷àëüíîé çàäà÷è (êðàåâîé çàäà÷è) âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿ:ĝu (x) < 0 (> 0) ïðè x ∈ [0, 1],ĥv (x) < 0 (> 0) ïðè x ∈ [0, x0 ) è x ∈ (x0 , 1],ĥv (x) = 0 ïðè x = x0 .Çäåñü è äàëåå çíà÷îê ˆ îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèÿ âû÷èñëÿåòñÿ íà ñîñòàâíîìóñòîé÷èâîì ðåøåíèè, íàïðèìåð, ĝu (x) = gu (û(x), v̂(x), x, 0).Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ è ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäàïðè ε → 0 ê ñîñòàâíîìó óñòîé÷èâîìó ðåøåíèþ âûðîæäåííîé ñèñòåìû âêàæäîé èç çàäà÷ èñïîëüçîâàí àñèìïòîòè÷åñêèé ìåòîä äèôôåðåíöèàëüíûõíåðàâåíñòâ ñ óñëîâèåì êâàçèìîíîòîííîñòè âåêòîð-ôóíêöèè (g, f ), ÷òî îáåñïå÷èâàåòñÿ ñëåäóþùèì òðåáîâàíèåì.Óñëîâèå 1.5 Ïóñòü ïðîèçâîäíûå gv è fu ôóíêöèé g è f óäîâëåòâîðÿþòâ çàäà÷å (1) íåðàâåíñòâàìgv (u, v, x, ε) ≥ 0,fu (u, v, x, ε) ≥ 0(8)ïðè |u − û(x)| ≤ δ0 , |v − v̂(x)| ≤ δ0 , |x − x0 | ≤ δ0 , 0 ≤ ε ≤ ε0 , ãäå δ0 > 0 íåêîòîðîå ÷èñëî, òàêîå ÷òî 0 < x0 − δ0 , x0 + δ0 < 1, à â çàäà÷å (2) ïðîòèâîïîëîæíûì íåðàâåíñòâàìgv (u, v, x, ε) ≤ 0,fu (u, v, x, ε) ≤ 0äëÿ òåõ æå çíà÷åíèé u, v , ε, êàê è â (8), è äëÿ 0 ≤ x ≤ 1.Äàëåå çàäà÷è (1) è (2) ðàññìàòðèâàþòñÿ ðàçäåëüíî.Ïîñêîëüêó íà îòðåçêå [0, x0 − δ], ãäå δ íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, ñîñòàâíîå óñòîé÷èâîå ðåøåíèå ñèñòåìû (3) ÿâëÿåòñÿ èçîëèðîâàííûì èóñòîé÷èâûì, òî ê íà÷àëüíîé çàäà÷å (1) íà ýòîì îòðåçêå ïðèìåíèìà ñòàíäàðòíàÿ òèõîíîâñêàÿ òåîðèÿ, èç êîòîðîé ñëåäóåò, ÷òî ïðè íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ òðåáîâàíèÿõ (ñì.

íèæå Óñëîâèÿ 1.6 è 1.7) äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõε ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (1), äëÿ êîòîðîãî ñïðàâåäëèâî8ñëåäóþùåå àñèìïòîòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå:u(x, ε) = û(x) + P0 u(ξ) + Π0 u(ζ) +n−1Xε(2−p)k [Pk u(ξ) + Πk u(ζ)]+k=1+ ε[ūn (x) + Pn u(ξ) + Πn u(ζ)] + o(ε),v(x, ε) = v̂(x) + P0 v(ξ) +n−1X(9)ε(2−p)k [Pk v(ξ) + Πk v(ζ)]+k=1+ ε[v̄n (x) + Pn v(ξ) + Πn v(ζ)] + o(ε).Çäåñü ūn (x) è v̄n (x) ðåøåíèå ëèíåéíîé ñèñòåìû óðàâíåíèéfˆu (x) ūn + fˆv (x) v̄n + fˆε (x) = 0.ĝu (x) ūn + ĝv (x) v̄n + ĝε (x) = 0,Ôóíêöèè Pi u(ξ), Pi v(ξ), Πi u(ζ), Πi v(ζ) ïîãðàíè÷íûå ôóíêöèè, çàâèñÿùèå îò ðàñòÿíóòûõ ïåðåìåííûõ ξ = x/εp è ζ = x/ε2 . Îíè îïðåäåëÿþòñÿñòàíäàðòíûì îáðàçîì, â ÷àñòíîñòè, P0 v(ξ) åñòü ðåøåíèå íà÷àëüíîé çàäà÷èd P0 v= h(v̂(0) + P0 v, 0),dξξ ≥ 0,P0 v(0) = v 0 − v̂(0).(10)(11) ñèëó Óñëîâèé 1.3 è 1.4 P0 v = 0 ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâîéòî÷êîé ïîêîÿ óðàâíåíèÿ (10).

Ïîÿâëÿåòñÿ îáû÷íîå äëÿ ñòàíäàðòíîé òåîðèèòðåáîâàíèå.Óñëîâèå 1.6 Ïóñòü íà÷àëüíîå çíà÷åíèå v 0 − v̂(0) ïðèíàäëåæèò îáëàñòèâëèÿíèÿ òî÷êè ïîêîÿ P0 v = 0 óðàâíåíèÿ (10).Ôóíêöèÿ P0 u(ξ) îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîìP0 u(ξ) = ϕ(v̂(0) + P0 v(ξ), 0) − ϕ(v̂(0), 0),à äëÿ Π0 u(ζ) èìååì íà÷àëüíóþ çàäà÷ód Π0 u= g(ϕ(v 0 , 0) + Π0 u, v 0 , 0, 0),dζΠ0 u(0) = u0 − ϕ(v 0 , 0).9ζ ≥ 0,(12)(13)Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî v 0 ∈ I2 , ãäå I2 èíòåðâàë èç Óñëîâèé 1.1 è 1.2.Òîãäà gu (ϕ(v 0 , 0), v 0 , 0) < 0 è òåì ñàìûì Π0 u = 0 ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèóñòîé÷èâîé òî÷êîé ïîêîÿ óðàâíåíèÿ (12). Äëÿ çàäà÷è (12), (13) ïîÿâëÿåòñÿòðåáîâàíèå, àíàëîãè÷íîå Óñëîâèþ 1.6.Óñëîâèå 1.7 Ïóñòü íà÷àëüíîå çíà÷åíèå u0 − ϕ(v 0 , 0) ïðèíàäëåæèò îáëàñòè âëèÿíèÿ òî÷êè ïîêîÿ Π0 u = 0 óðàâíåíèÿ (12).Íà îòðåçêå [x0 − δ, x0 + δ] ñîñòàâíîå óñòîé÷èâîå ðåøåíèå ñèñòåìû (3) íåÿâëÿåòñÿ èçîëèðîâàííûì è óñòîé÷èâûì â êëàññè÷åñêîì ñìûñëå.

Ïîÿâëÿþòñÿ äîïîëíèòåëüíûå òðåáîâàíèÿ, îáåñïå÷èâàþùèå óñòîé÷èâîñòü ñîñòàâíîãîðåøåíèÿ â òî÷êå x0 , à èññëåäîâàíèå çàäà÷è (1) óäàåòñÿ ïðîâåñòè ïðè ïîìîùè ìåòîäà äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ.Óñëîâèå 1.8 Ïóñòü ĥvv (x0 ) < 0.Óñëîâèå 1.9 Ïóñòü fˆu (x0 ) ĝε (x0 ) > ĝu (x0 ) fˆε (x0 ).Ñîãëàñíî ìåòîäó äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ ïîñòðîåíû íèæíåå èâåðõíåå ðåøåíèÿ çàäà÷è (1), èç âèäà êîòîðûõ ñëåäóåò, ÷òî íà îòðåçêå [x0 −δ, x0 + δ] ðåøåíèå äàííîé çàäà÷è ñóùåñòâóåò è ïðåäñòàâèìî â âèäå√√u(x, ε) = û(x) + O( ε), v(x, ε) = v̂(x) + O( ε).(14)Íà îòðåçêå [x0 + δ/2, 1] ñîñòàâíîå óñòîé÷èâîå ðåøåíèå ñèñòåìû (3) âíîâüÿâëÿåòñÿ èçîëèðîâàííûì è óñòîé÷èâûì, òàê ÷òî ñîãëàñíî ñòàíäàðòíîé òåîðèè ñèñòåìà (1) èìååò ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ ε åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ñàñèìïòîòèêîé òèïà (9).

 ñèëó ýêñïîíåíöèàëüíîãî óáûâàíèÿ ïîãðàíôóíêöèé ýòî ðåøåíèå íà îòðåçêå [x0 + δ, 1] èìååò ïðåäñòàâëåíèåu(x, ε) = û(x) + O(ε),v(x, ε) = v̂(x) + O(ε).(15)Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ñóììèðóåò ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû.1Òåîðåìà 1.3 Åñëè âûïîëíåíû Óñëîâèÿ 1.1-1.9, òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ ε ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî ðåøåíèå u(x, ε), v(x, ε) íà÷àëüíîé çàäà÷è (1), è äëÿ íåãî íà îòðåçêå [0, x0 − δ] èìååò ìåñòî àñèìïòîòè÷åñêîå1 Çäåñüè äàëåå ïðèìåíÿåòñÿ òà æå íóìåðàöèÿ òåîðåì, ÷òî è â äèññåðòàöèè, à èñïîëüçóåìûå â äèñ-ñåðòàöèè ôîðìóëèðîâêè âñïîìîãàòåëüíûõ óòâåðæäåíèé è òåîðåì â äàííîì îáçîðå îïóñêàþòñÿ10ïðåäñòàâëåíèå (9), â δ -îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 ïðåäñòàâëåíèå (14) è íàîòðåçêå [x0 + δ, 1] ïðåäñòàâëåíèå (15), ãäå δ ëþáîå äîñòàòî÷íî ìàëîåè íå çàâèñÿùåå îò ε ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî.Èññëåäîâàíèå êðàåâîé çàäà÷è (2) ïðîâåäåíî ñîãëàñíî ìåòîäó äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ ïóòåì ïîñòðîåíèÿ ïîäõîäÿùèõ íèæíåãî è âåðõíåãîðåøåíèé íà îòðåçêå [0, 1].

Ïðè ýòîì äëÿ ïîñòðîåíèÿ âåðõíåãî ðåøåíèÿ èñïîëüçîâàíà ïðîöåäóðà ñãëàæèâàíèÿ íåãëàäêîãî, âîîáùå ãîâîðÿ, ñîñòàâíîãîðåøåíèÿ. Êàê è â ñëó÷àå çàäà÷è (1), çäåñü íåîáõîäèìû äîïîëíèòåëüíûåòðåáîâàíèÿ, îáåñïå÷èâàþùèå óñòîé÷èâîñòü ñîñòàâíîãî ðåøåíèÿ â òî÷êå x0 .Óñëîâèå 1.10 Ïóñòü ĥvv (x0 ) > 0.Âòîðîå òðåáîâàíèå ñâÿçàíî ñ çàâèñèìîñòüþ ôóíêöèé f è g îò ε è âûðàæåíî Óñëîâèåì 1.9.Òåîðåìà 1.4 Åñëè âûïîëíåíû Óñëîâèÿ 1.1-1.5, 1.9, 1.10, òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ ε > 0 ñóùåñòâóåò ðåøåíèå u(x, ε), v(x, ε) êðàåâîé çàäà÷è(2), òàêîå, ÷òî äëÿ íåãî èìååò ìåñòî àñèìïòîòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå:u(x, ε) = û(x) + w1 (x, ε),v(x, ε) = v̂(x) + w2 (x, ε),ãäå ïðè i = 1,2O(εp ) â δ -îêðåñòíîñòÿõ òî÷åê x = 0 è x = 1,¡¢wi (x, ε) = O(εα ) â δ -îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 , α = min 2 p/3, 1/2 , O(ε) íà îòðåçêàõ [δ, x − δ] è [x + δ, 1 − δ],00δ ëþáîå äîñòàòî÷íî ìàëîå è íå çàâèñÿùåå îò ε ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî.Ãëàâà 1 çàêàí÷èâàåòñÿ îáñóæäåíèåì ðåçóëüòàòîâ, ãäå ðàññìîòðåíû âîçìîæíûå îáîáùåíèÿ è äàíû ïîÿñíåíèÿ îòíîñèòåëüíî âûáîðà ïàðàìåòðà p. Ãëàâå 2 ðàññìîòðåíà çàäà÷à Íåéìàíà äëÿ ñèíãóëÿðíî âîçìóù¼ííîãîýëëèïòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ:ε2p ∆u = f (u, x, ε), x ∈ Ω,∂u(x, ε) = 0, x ∈ ∂Ω.∂nx11(16)Çäåñü p > 3/4 íåêîòîðîå ÷èñëî, ε > 0 ìàëûé ïàðàìåòð, Ω îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â RN , N ≥ 1.

Ïîä nx ïîäðàçóìåâàåòñÿ âíóòðåííÿÿ íîðìàëüê ∂Ω â òî÷êå x.Óñëîâèå 2.1 Ïóñòü ôóíêöèÿ f (u, x, ε) ÿâëÿåòñÿ äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé ïðè (u, x, ε) ∈ I¯ × Ω × [0, ε0 ], ãäå I íåêîòîðûé èíòåðâàë,ε0 > 0 íåêîòîðîå ÷èñëî. Ïóñòü òàêæå â ñëó÷àå N ≥ 2 ãðàíèöà ∂Ωîáëàñòè Ω ïðèíàäëåæèò êëàññó ãëàäêîñòè C 2 .Ïðè ε = 0 èç (16) ïîëó÷àåì âûðîæäåííîå óðàâíåíèå:f (u, x, 0) = 0.(17)Óñëîâèå 2.2 Ïóñòü óðàâíåíèå (17) èìååò íåïðåðûâíûé ïðè x ∈ Ω êîðåíüu = ϕ(x), ïðè÷¼ì ∃ ìíîæåñòâî Γ ⊆ Ω, òàêîå, ÷òîfu (ϕ(x), x, 0) > 0, åñëè x ∈ Ω \ Γ,fu (ϕ(x), x, 0) = 0, åñëè x ∈ Γ.Óñëîâèå 2.2 îçíà÷àåò, ÷òî âíå íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè Γ êîðåíü ϕ(x) ÿâëÿåòñÿ èçîëèðîâàííûì (ñ ó÷¼òîì Óñëîâèÿ 2.1 åù¼ è C 2 -ãëàäêèì), à âíóòðèýòîé îêðåñòíîñòè ñâîéñòâî èçîëèðîâàííîñòè, êàê è ãëàäêîñòè, ìîæåò áûòüíàðóøåíî. Óêàçàííîå îáñòîÿòåëüñòâî îòëè÷àåò ðàññìàòðèâàåìûé ñëó÷àé îòêëàññè÷åñêîé òåîðèè, â ñâÿçè ñ ÷åì ïîÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åíèå íà ϕ.Óñëîâèå 2.3 |ϕ(x) − ϕ(ξ)| ≤ L · kx − ξkN ïðè x, ξ ∈ Ω äëÿ íåêîòîðîãîL > 0 (ëèïøèöåâîñòü ϕ).

Çäåñü k · kN åâêëèäîâà íîðìà â RN .Äðóãîå îòëè÷èå îò êëàññè÷åñêîé òåîðèè ñîñòîèò â òîì, ÷òî fu (ϕ(x), x, 0)íå ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî ïîëîæèòåëüíîé ôóíêöèåé äëÿ âñåõ x ∈ Ω, è ýòî íå ïîçâîëÿåò îõàðàêòåðèçîâàòü ϕ(x) êàê óñòîé÷èâûé êîðåíü âûðîæäåííîãî óðàâíåíèÿ; íåîáõîäèìû äîïîëíèòåëüíûå òðåáîâàíèÿ, îáåñïå÷èâàþùèå óñòîé÷èâîñòü êîðíÿ ϕ(x) â îêðåñòíîñòè Γ, ãäå íàðóøàåòñÿ êëàññè÷åñêîå óñëîâèåóñòîé÷èâîñòè.Óñëîâèå 2.4 fuu (ϕ(x), x, 0) > 0 ïðè x ∈ Γ.12Óñëîâèå 2.5 fε (ϕ(x), x, 0) < 0 ïðè x ∈ Γ.Èç Óñëîâèé 2.2 è 2.4 ñëåäóåò, ÷òî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè Γ âûðîæäåííîå óðàâíåíèå (17) èìååò åù¼ îäèí, è òîëüêî îäèí, êîðåíü, ñîâïàäàþùèé ñϕ(x) ïðè x ∈ Γ è ìåíüøèé ϕ(x) ïðè îñòàëüíûõ x.

Ðàññìàòðèâàåìàÿ ñèòóàöèÿ âîçíèêàåò, â ÷àñòíîñòè, â òîì ñëó÷àå, êîãäà óðàâíåíèå (17) èìååò â Ωäâà íåïðåðûâíûõ êîðíÿ, ïåðåñåêàþùèõñÿ ïðè x ∈ Γ.Òåîðåìà 2.2 Ïóñòü çàäà÷à (16) â ñëó÷àå p > 3/4 óäîâëåòâîðÿåò Óñëîâèÿì 2.1-2.5. Òîãäà ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ ε > 0 ýòà çàäà÷à èìååò ðåøåíèåu(x, ε), òàêîå, ÷òî äëÿ íåãî ñïðàâåäëèâî àñèìïòîòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå:u(x, ε) = ϕ(x) + Φ(x, ε),ãäå Φ(x, ε) èìååò ïîðÿäîê O(ε1/2 ) â íåêîòîðîé δ -îêðåñòíîñòè Γ, O(εq )ïðè q = min(p, 1) â íåêîòîðîé δ -îêðåñòíîñòè ∂Ω, íî âíå δ -îêðåñòíîñòèΓ, è, íàêîíåö, O(ε) â îñòàëüíîé ÷àñòè Ω.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ïðîâåäåíî ñ èñïîëüçîâàíèåì àñèìïòîòè÷åñêîãîìåòîäà äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ. Íèæíåå è âåðõíåå ðåøåíèÿ ïîñòðîåíû íà îñíîâå ñãëàæåííîãî êîðíÿ ϕ(x) âûðîæäåííîãî óðàâíåíèÿ è íåêîòîðûõ ñïåöèàëüíûì îáðàçîì ââåäåííûõ ñðåçàþùèõ è ïîãðàíñëîéíûõ ôóíêöèé.