Сингулярно возмущённые задачи в случае неизолированных корней вырожденного уравнения

Íà ïðàâàõ ðóêîïèñèÒÅÐÅÍÒÜÅ Ìèõàèë Àíàòîëüåâè÷ÑÈÍÃÓËßÐÍÎ ÂÎÇÌÓÙÅÍÍÛÅ ÇÀÄÀ×È Â ÑËÓ×ÀÅÍÅÈÇÎËÈÐÎÂÀÍÍÛÕ ÊÎÐÍÅÉ ÂÛÐÎÆÄÅÍÍÎÃÎ ÓÐÀÂÍÅÍÈßÑïåöèàëüíîñòü 01.01.03 ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôèçèêàÀÂÒÎÐÅÔÅÐÀÒäèññåðòàöèè íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÌîñêâà 2010Ðàáîòà âûïîëíåíà íà êàôåäðå ìàòåìàòèêè ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòàÌÃÓ èì. Ì.Â. Ëîìîíîñîâà.Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,ïðîôåññîð Â.Ô. ÁÓÒÓÇÎÂÎôèöèàëüíûå îïïîíåíòû: äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,ïðîôåññîð Ì.Ã. Äìèòðèåâäîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,ïðîôåññîð Ñ.À.

ÊàùåíêîÂåäóùàÿ îðãàíèçàöèÿ:Îáíèíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé òåõíè÷åñêèéóíèâåðñèòåò àòîìíîé ýíåðãåòèêèÇàùèòà äèññåðòàöèè ñîñòîèòñÿ¿2010 ã. âÀ÷à-ñîâ íà çàñåäàíèè Äèññåðòàöèîííîãî Ñîâåòà Ä 501.002.10 ïðè Ìîñêîâñêîìãîñóäàðñòâåííîì óíèâåðñèòåòå èìåíè Ì.Â. Ëîìîíîñîâà ïî àäðåñó:119991, Ìîñêâà, ÃÑÏ-1, Ëåíèíñêèå ãîðû, ÌÃÓ, ä. 1, ñòð.2, ôèçè÷åñêèéôàêóëüòåò, àóä. .Ñ äèññåðòàöèåé ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ â áèáëèîòåêå ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòàÌÃÓ.Àâòîðåôåðàò ðàçîñëàí¿À2010 ã.Ó÷åíûé ñåêðåòàðüÄèññåðòàöèîííîãî Ñîâåòà Ä 501.002.10äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÞ.Â.

ÃðàöÎáùàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðàáîòûÄèññåðòàöèÿ ïîñâÿùåíà èçó÷åíèþ ðÿäà íà÷àëüíûõ è êðàåâûõ çàäà÷ ñ óñëîâèåì Íåéìàíà äëÿ ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ñëó÷àå, êîãäà ñîîòâåòñòâóþùåå âûðîæäåííîå óðàâíåíèå èëè ñèñòåìà èìååò íåèçîëèðîâàííûå êîðíè.Àêòóàëüíîñòü òåìûÕîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêèìè ìîäåëÿìè ìíîãèõ ïðîöåññîâ â ôèçèêå, àñòðîôèçèêå, õèìèè, áèîëîãèè, ñîöèîëîãèè, òåõíèêå ñëóæàò äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå ìàëûå ïàðàìåòðû. Âõîäÿùèå â óðàâíåíèå ïàðàìåòðû ÿâëÿþòñÿ êîëè÷åñòâåííûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ðàçëè÷íûõ ôàêòîðîâ, îêàçûâàþùèõ âëèÿíèå íà õîä èçó÷àåìîãî ïðîöåññà.

Åñòåñòâåííîå æåëàíèå ïðåíåáðå÷ü ìàëûìè ôàêòîðàìè ïðèâîäèò ê áîëåå ïðîñòûì óðàâíåíèÿì, íî íå âñåãäà ðåøåíèÿ òàêèõ óðàâíåíèé ïðàâèëüíî îïèñûâàþò íàáëþäàåìûå ÿâëåíèÿ.  òàêîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî èñõîäíàÿ çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííîé áëèçîñòü ìàëîãî ïàðàìåòðà êíóëþ íå îáåñïå÷èâàåò, âîîáùå ãîâîðÿ, ðàâíîìåðíóþ áëèçîñòü å¼ ðåøåíèÿ êðåøåíèþ áîëåå ïðîñòîãî âûðîæäåííîãî óðàâíåíèÿ.Ê êëàññó ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûõ çàäà÷ îòíîñÿòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå ìàëûé ïàðàìåòð â êà÷åñòâå ìíîæèòåëÿ ïðèñòàðøåé ïðîèçâîäíîé.

Èññëåäîâàíèå òàêèõ çàäà÷ ñôîðìèðîâàëîñü â áîëüøîå íàïðàâëåíèå íà îñíîâå ðàáîò À.Í. Òèõîíîâà è ïîëó÷èëî äàëüíåéøååðàçâèòèå â ðàáîòàõ À.Á. Âàñèëüåâîé, Â.Ô. Áóòóçîâà è èõ ó÷åíèêîâ, ãäåäëÿ øèðîêèõ êëàññîâ ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûõ çàäà÷ ñ îáûêíîâåííûìèè ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ðàçðàáîòàíû ïîãðàíñëîéíûå ìåòîäû, ïîçâîëÿþùèå ñòðîèòü è îáîñíîâûâàòü ðàâíîìåðíûå àñèìïòîòè÷åñêèå ðàçëîæåíèÿðåøåíèé â ðÿäû ïî ñòåïåíÿì ìàëîãî ïàðàìåòðà.

Àëüòåðíàòèâíûå ïîäõîäû êèññëåäîâàíèþ ðàçëè÷íûõ êëàññîâ ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûõ çàäà÷ ðàçâèòûâ èçâåñòíûõ ðàáîòàõ A.M. Èëüèíà, Ñ.Ì. Ëîìîâà, Â.Ï. Ìàñëîâà, Í.Í. Áîãîëþáîâà, Þ.À. Ìèòðîïîëüñêîãî, Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèíà, Å.Ô. Ìèùåíêî, Í.Õ. Ðî1çîâà, Â.À. Òðåíîãèíà è äðóãèõ ó÷¼íûõ.Îäíèì èç âàæíûõ óñëîâèé â êëàññè÷åñêîé òåîðèè Òèõîíîâà ÿâëÿåòñÿòðåáîâàíèå ñóùåñòâîâàíèÿ èçîëèðîâàííîãî êîðíÿ âûðîæäåííîãî óðàâíåíèÿ. Áîëåå ñëîæíàÿ ñèòóàöèÿ âîçíèêàåò òîãäà, êîãäà âûðîæäåííîå óðàâíåíèå èìååò ïåðåñåêàþùèåñÿ êîðíè èëè, â îáùåì ñëó÷àå, íåèçîëèðîâàííûéêîðåíü. Íåîáõîäèìîñòü ðàññìîòðåíèÿ òàêîé ñèòóàöèè ïîÿâèëàñü â õèìè÷åñêîé êèíåòèêå ïðè ìîäåëèðîâàíèè áûñòðûõ áèìîëåêóëÿðíûõ ðåàêöèé.Êàê âûÿñíèëîñü, ïåðåñå÷åíèå êîðíåé âûðîæäåííîãî óðàâíåíèÿ ïîçâîëÿåòîáúÿñíèòü ÿâëåíèå ñêà÷êà ñêîðîñòè õèìè÷åñêîé ðåàêöèè, íàáëþäàåìîå íàîïûòå.Àêòèâíîå èññëåäîâàíèå çàäà÷ äëÿ ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (îáûêíîâåííûõ è â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ) â ñëó÷àåïåðåñå÷åíèÿ êîðíåé âûðîæäåííîãî óðàâíåíèÿ íà÷àëîñü ëèøü íåäàâíî è âåäåòñÿ ïîñëåäíèå 10 ëåò.

Çà ýòî âðåìÿ äëÿ øèðîêèõ êëàññîâ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è ñèñòåì òèõîíîâñêîãî òèïà, êàê ñ îáûêíîâåííûìè, òàêè ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè (çàäà÷è Íåéìàíà ýëëèïòè÷åñêîãî è ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïîâ), äîêàçàíû òåîðåìû î ñóùåñòâîâàíèè è ïðåäåëüíîì ïåðåõîäåîò ðåøåíèÿ èñõîäíîé çàäà÷è ê ðåøåíèþ âûðîæäåííîé çàäà÷è ïðè ñòðåìëåíèè ìàëîãî ïàðàìåòðà ê íóëþ. Ïðîãðåññ â èññëåäîâàíèè äàííîãî òèïà çàäà÷ (îíè íàçûâàþòñÿ òàêæå çàäà÷àìè â ñëó÷àå ñìåíû óñòîé÷èâîñòè) ñâÿçàíñ ðàçðàáîòêîé Í.Í. Íåôåäîâûì è åãî ïîñëåäîâàòåëÿìè àñèìïòîòè÷åñêîãîìåòîäà äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ, êîòîðûé ïîçâîëÿåò îáîñíîâûâàòüàñèìïòîòè÷åñêèå ðàçëîæåíèÿ ðåøåíèé áîëåå ïðîñòûì ñïîñîáîì, ÷åì ýòîäåëàëîñü ðàíåå.Ïåðåä àâòîðîì áûëà ïîñòàâëåíà çàäà÷à èññëåäîâàòü ñóùåñòâîâàíèå èàñèìïòîòèêó ðåøåíèé äëÿ íåêîòîðûõ êëàññîâ ñèñòåì ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûõ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è ñèñòåì óðàâíåíèéâ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà ñ ðàçíûìè ñòåïåíÿìè ìàëîãîïàðàìåòðà ïðè ñòàðøèõ ïðîèçâîäíûõ â ñèòóàöèè, êîãäà ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé çàâèñÿò îò ìàëîãî ïàðàìåòðà.

 õîäå èññëåäîâàíèÿ óäàëîñü ðåøèòü2ðÿä ïðîáëåì, êàñàþùèõñÿ ðàññìàòðèâàåìîãî êëàññà çàäà÷. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñîäåðæàò:• îáîáùåíèå èçâåñòíûõ ðåçóëüòàòîâ íà ñëó÷àè ïðîèçâîëüíîé ðàçìåðíîñòè èñêîìîãî ðåøåíèÿ è íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé• óñòàíîâëåíèå íåçàâèñèìîñòè ïîâåäåíèÿ ðåøåíèÿ îò ñòðóêòóðû ìíîæåñòâà íåèçîëèðîâàííîñòè êîðíåé âûðîæäåííîãî óðàâíåíèÿ• âûÿñíåíèå âîïðîñà î òîì, íàñêîëüêî èñïîëüçóåìûå äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ ÿâëÿþòñÿ íåîáõîäèìûìè• ïîñòðîåíèå àñèìïòîòèêè ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà äëÿ ðåøåíèÿ âîçìóùåííîé çàäà÷è• ðàçðàáîòêó ïðåäñòàâëåíèé î ïðèðîäå ÿâëåíèé â ðàññìàòðèâàåìîì êëàññå çàäà÷Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè ðàñøèðÿþò êëàññè÷åñêóþ òåîðèþ À.Í.

Òèõîíîâà è À.Á. Âàñèëüåâîé íà íîâûé êëàññ çàäà÷, â êîòîðûõ âûðîæäåííûåóðàâíåíèÿ èìåþò íåèçîëèðîâàííûå êîðíè, à òàêæå ðàñøèðÿþò ïðèìåíåíèÿ àñèìïòîòè÷åñêîãî ìåòîäà äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ.Öåëü ðàáîòûÃëàâíîé öåëüþ äèññåðòàöèîííîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì îïðåäåëüíîì ïåðåõîäå äëÿ ñèñòåì ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûõ ÎÄÓ, à òàêæåäëÿ óðàâíåíèé è ñèñòåì óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ýëëèïòè÷åñêîãîòèïà ñ ðàçíûìè ñòåïåíÿìè ìàëîãî ïàðàìåòðà â ñëó÷àå, êîãäà âûðîæäåííàÿçàäà÷à èìååò íåèçîëèðîâàííûå êîðíè.Íàó÷íàÿ íîâèçíàÊàê îñíîâíîé ðåçóëüòàò, â äèññåðòàöèè äîêàçàíû òåîðåìû î ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå è ïîëó÷åíû àñèìïòîòè÷åñêèå îöåíêè äëÿ ðåøåíèé ðÿäà ñèíãóëÿðíîâîçìóù¼ííûõ çàäà÷ ñ ðàçíûìè ñòåïåíÿìè ìàëîãî ïàðàìåòðà ïðè ñòàðøèõ3ïðîèçâîäíûõ â ñëó÷àå, êîãäà âûðîæäåííûå çàäà÷è èìåþò íåèçîëèðîâàííûåêîðíè.Ïîêàçàíî, ÷òî äîïóñòèìà ïðîèçâîëüíàÿ ñòðóêòóðà ìíîæåñòâà, ãäå íàðóøàåòñÿ èçîëèðîâàííîñòü êîðíåé, âêëþ÷àÿ åñòåñòâåííûé ñëó÷àé ïåðåñåêàþùèõñÿ êîðíåé ó âûðîæäåííîé çàäà÷è.

Îêàçàëîñü òàêæå, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì êëàññå çàäà÷ ðåçóëüòàòû íå çàâèñÿò îò ðàçìåðíîñòåé èñêîìîãîðåøåíèÿ è íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé.Èññëåäîâàíà ðîëü äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé, ãàðàíòèðóþùèõ ñóùåñòâîâàíèåðåøåíèÿ çàäà÷ ðàññìàòðèâàåìîãî òèïà. Âïåðâûå äîêàçàíû óòâåðæäåíèÿ îáîòñóòñòâèè ðåøåíèÿ ïðè íåâûïîëíåíèè ýòèõ óñëîâèé.Ñóùåñòâåííî ðàçâèòû ïðåäñòàâëåíèÿ î ïðèðîäå ÿâëåíèé â ðàññìàòðèâàåìîì êëàññå çàäà÷. Íà èõ îñíîâå ïðåäëîæåí ìåòîä ïîñòðîåíèÿ ðåãóëÿðíîé÷àñòè àñèìïòîòèêè ëþáîãî ïîðÿäêà äëÿ ðåøåíèÿ âîçìóùåííîé çàäà÷è.Ïðàêòè÷åñêàÿ öåííîñòüÏîëó÷åííûå â äèññåðòàöèè ðåçóëüòàòû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû• äëÿ èññëåäîâàíèÿ ðàçðåøèìîñòè è ïîñòðîåíèÿ àñèìïòîòèê ðåøåíèéðÿäà ìîäåëüíûõ çàäà÷ õèìè÷åñêîé êèíåòèêè• äëÿ îïèñàíèÿ ÿâëåíèÿ ñêà÷êà ñêîðîñòè õèìè÷åñêîé ðåàêöèè áèìîëåêóëÿðíîãî òèïà• ïðè èññëåäîâàíèè íîâûõ êëàññîâ ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûõ çàäà÷ âñëó÷àå íåèçîëèðîâàííîãî êîðíÿ âûðîæäåííîãî óðàâíåíèÿÏîëîæåíèÿ, âûíîñèìûå íà çàùèòóÍà çàùèòó âûíîñèòñÿ ðÿä òåîðåì î ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå äëÿ íåêîòîðûõêëàññîâ ñèñòåì ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûõ ÎÄÓ, à òàêæå ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûõ óðàâíåíèé è ñèñòåì óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ.

Êðîìåòîãî, íà çàùèòó âûíîñèòñÿ òåîðåìà îá óñëîâèÿõ îòñóòñòâèÿ ðåøåíèÿ äëÿñèíãóëÿðíî âîçìóùåííîãî óðàâíåíèÿ ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà.4Ëè÷íûé âêëàä àâòîðàÎñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè, ïðèâîäèìûå íèæå, ïîëó÷åíû àâòîðîìäèññåðòàöèè ëè÷íî.Àïðîáàöèÿ ðàáîòûÐåçóëüòàòû äèññåðòàöèè äîêëàäûâàëèñü íà X Ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè ñòóäåíòîâ è àñïèðàíòîâ ïî ôóíäàìåíòàëüíûì íàóêàì2003À (Ìîñêâà, 2003 ã.), íà II ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè¿Ëîìîíîñîâ-¿Ìàòåìàòè-÷åñêèå èäåè Ï.Ë. ×åáûøåâà è èõ ïðèëîæåíèå ê ñîâðåìåííûì ïðîáëåìàìåñòåñòâîçíàíèÿÀ (Îáíèíñê, 2004 ã.), íà Ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè ê 100ëåòèþ ñî äíÿ ðîæäåíèÿ àêàäåìèêà À.Í.

Òèõîíîâà ¿Òèõîíîâ è ñîâðåìåííàÿ ìàòåìàòèêàÀ (Ìîñêâà, 2006 ã.), íà åæåãîäíûõ Ëîìîíîñîâñêèõ ÷òåíèÿõâ ÌÃÓ (Ìîñêâà, 2007 ã.), íà åæåãîäíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ÷òåíèÿõ ÐÃÑÓ¿Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû è ïðèëîæåíèÿÀ (Ðóçà, 2003, 2008, 2009 ãã.), àòàêæå íåîäíîêðàòíî îáñóæäàëèñü íà íàó÷íîì ñåìèíàðå êàôåäðû ìàòåìàòèêè ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ (ðóêîâîäèòåëè ñåìèíàðà ïðîôåññîðàÀ.Á. Âàñèëüåâà è Â.Ô.

Áóòóçîâ).ÏóáëèêàöèèÏî òåìå äèññåðòàöèè îïóáëèêîâàíî 7 ïå÷àòíûõ ðàáîò, ñïèñîê êîòîðûõ ïðèâåäåí â êîíöå àâòîðåôåðàòà.Ñòðóêòóðà è îáúåì äèññåðòàöèèÄèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ, òðåõ ãëàâ, îäíîãî ïðèëîæåíèÿ, çàêëþ÷åíèÿ è ñïèñêà öèòèðîâàííîé ëèòåðàòóðû (80 íàèìåíîâàíèé). Îáùèé îáúåìäèññåðòàöèè ñîñòàâëÿåò 127 ñòðàíèö.5Ñîäåðæàíèå äèññåðòàöèèÂî Ââåäåíèè âûäåëåí êðóã âîïðîñîâ, îõâà÷åííûõ äèññåðòàöèåé, îõàðàêòåðèçîâàíû àêòóàëüíîñòü è íîâèçíà ðàáîòû, à òàêæå êðàòêî èçëîæåíî ñîäåðæàíèå ãëàâ. Ãëàâå 1 ðàññìîòðåíû íà÷àëüíàÿ è êðàåâàÿ çàäà÷è äëÿ ñèñòåì ñèíãóëÿðíî âîçìóù¼ííûõ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ñîäåðæàùèõ äâà áûñòðûõ ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèÿ ñ ðàçíûìè ñòåïåíÿìè ìàëîãîïàðàìåòðà ïðè ïðîèçâîäíûõ.Íà÷àëüíàÿ çàäà÷à èìååò âèä:ε2 u0 = g(u, v, x, ε),εp v 0 = f (u, v, x, ε),00u(0, ε) = u ,v(0, ε) = v .(1)Çäåñü x ∈ [0, 1], ε > 0 ìàëûé ïàðàìåòð, p êàêîå-òî ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâàì 1 < p < 2.Êðàåâàÿ çàäà÷à èìååò âèä:ε2 u00 = g(u, v, x, ε),ε2p v 00 = f (u, v, x, ε),u0 (0, ε) = u0 (1, ε) = 0,v 0 (0, ε) = v 0 (1, ε) = 0.(2)Çäåñü òàêæå x ∈ [0, 1], ε > 0 ìàëûé ïàðàìåòð, p êàêîå-òî ÷èñëî,óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâàì 1/2 < p ≤ 1.Óñëîâèå 1.1 Ïóñòü öåëîå ÷èñëî n òàêîâî, ÷òî n − 1 <12−p≤ n, è ïóñòüôóíêöèè g(u, v, x, ε) è f (u, v, x, ε) â çàäà÷å (1) ÿâëÿþòñÿ n + 1 ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûìè, à â çàäà÷å (2) äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûìè â îáëàñòè (u, v, x, ε) ∈ I¯1 × I¯2 × [0, 1] × [0, ε0 ], ãäå I1 è I2 íåêîòîðûå èíòåðâàëû, ε0 > 0 íåêîòîðîå ÷èñëî.Ïðè ε = 0 èç (1) è (2) ïîëó÷àåì âûðîæäåííóþ ñèñòåìóg(u, v, x, 0) = 0,f (u, v, x, 0) = 0.(3)Óñëîâèå 1.2 Ïóñòü óðàâíåíèå g(u, v, x, 0) = 0 èìååò îòíîñèòåëüíî uðåøåíèå (êîðåíü) u = ϕ(v, x), òàêîå, ÷òî ïðè (v, x) ∈ I2 × [0, 1] âûïîëíåíû6ñîîòíîøåíèÿ: ϕ ∈ I1 è < 0 â çàäà÷å (1),gu (ϕ(v, x), v, x, 0) > 0 â çàäà÷å (2).(4)Ïîäñòàâèâ u = ϕ(v, x) âî âòîðîå óðàâíåíèå (3), ïîëó÷èì óðàâíåíèåh(v, x) ≡ f (ϕ(v, x), v, x, 0) = 0.(5)Óñëîâèå 1.3 Ïóñòü óðàâíåíèå (5) èìååò îòíîñèòåëüíî v äâà êîðíÿ v =v1 (x) è v = v2 (x), òàêèõ ÷òî v1 ∈ I2 , v2 ∈ I2 ïðè x ∈ [0, 1], è, êðîìå òîãî,äëÿ íåêîòîðîãî x0 ∈ (0, 1) âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿv1 (x) > v2 (x), êîãäà 0 ≤ x < x0 ,(6)v1 (x0 ) = v2 (x0 ),v1 (x) < v2 (x), êîãäà x0 < x ≤ 1.Ñîîòíîøåíèÿ (6) ïîêàçûâàþò, ÷òî êîðíè v1 (x) è v2 (x) óðàâíåíèÿ (5)ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå x0 .