Сингулярно возмущённые задачи в случае неизолированных корней вырожденного уравнения (1104814), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Âïåðâûå èñïîëüçîâàííûå ïðè ýòîì èíòåãðàëüíûå êîíñòðóêöèè îêàçàëèñü óäîáíûìè â ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå.Äàëåå â Ãëàâå 2 èññëåäîâàíà ðîëü çàâèñèìîñòè ïðàâîé ÷àñòè f îò ε âñâÿçè ñ âîïðîñîì ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (16). À èìåííî, ïîñòàâëåíâîïðîñ î ïîñëåäñòâèÿõ çàìåíû Óñëîâèÿ 2.5 íà îáðàòíîå åìóÓñëîâèå 2.6 fε (ϕ(x0 ), x0 , 0) > 0 ïðè íåêîòîðîì x0 ∈ Γ ∩ Ω.Êàê îêàçàëîñü, îòâåò çàâèñèò îò íàëè÷èÿ äðóãèõ êîðíåé ó âûðîæäåííîãîóðàâíåíèÿ è ïîâåäåíèÿ f ïðè u → ∞.Óñëîâèå 2.7 Óðàâíåíèå f (u, x0 , 0) = 0 íå èìååò äðóãèõ êîðíåé, êðîìåu = ϕ(x0 ), íà ïðîìåæóòêå [u, u] (u < ϕ(x0 ) < u).13Óñëîâèå 2.8 Óðàâíåíèå f (u, x0 , 0) = 0 íå èìååò äðóãèõ êîðíåé, êðîìå√u = ϕ(x0 ), íà ïðîìåæóòêå −∞ < u < +∞, ïðè÷åì â íåêîòîðîé (r0 ε)îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 ñïðàâåäëèâà îöåíêàf (u,x,ε)u2≥ const > 0 äëÿ âñåõäîñòàòî÷íî áîëüøèõ |u| è ìàëûõ ε > 0.Òåîðåìà 2.3 Ïóñòü çàäà÷à (16) äëÿ p > 3/4 óäîâëåòâîðÿåò Óñëîâèÿì 2.12.4 è 2.6, à òàêæå 2.7 èëè 2.8.
Òîãäà ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ ε > 0 ýòàçàäà÷à íå ìîæåò èìåòü ðåøåíèÿ u(x, ε), òàêîãî, ÷òî u ≤ u(x, ε) ≤ u âíåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 â ñëó÷àå Óñëîâèÿ 2.7, è âîâñå íå èìååòðåøåíèÿ â ñëó÷àå Óñëîâèÿ 2.8.Òðåáîâàíèå äîñòàòî÷íîé ìàëîñòè ε ñóùåñòâåííî äëÿ îòñóòñòâèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (16), ïðè÷¼ì ðåçóëüòàò ñïðàâåäëèâ íå òîëüêî äëÿ êðàåâûõ óñëîâèé Íåéìàíà, íî è äëÿ ëþáîãî òèïà ãðàíè÷íûõ óñëîâèé. Äîêàçàòåëüñòâîòåîðåìû îñíîâàíî íà ìåòîäå ïðîáíûõ ôóíêöèé, ïðåäëîæåííîì Ñ.È. Ïîõîæàåâûì â êà÷åñòâå ìåòîäà èññëåäîâàíèÿ îòñóòñòâèÿ è ðàçðóøåíèÿ ðåøåíèéíåëèíåéíûõ óðàâíåíèé è íåðàâåíñòâ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñïåöèàëüíîãîâèäà â íåîãðàíè÷åííûõ îáëàñòÿõ.Ãëàâà 2 çàêàí÷èâàåòñÿ îáñóæäåíèåì ðåçóëüòàòîâ, ãäå ïðèâåäåíû ìíîãî÷èñëåííûå ïðèìåðû, èëëþñòðèðóþùèå òåîðèþ, ðàññìîòðåíû âîçìîæíûåîáîáùåíèÿ è äàíû ïîÿñíåíèÿ îòíîñèòåëüíî âûáîðà ïàðàìåòðà p, à òàêæåðàçâèòû ïðåäñòàâëåíèÿ î ïðèðîäå ÿâëåíèé â çàäà÷àõ ñî ñìåíîé óñòîé÷èâîñòè, â ÷àñòíîñòè, ïðåäëîæåí ìåòîä ïîñòðîåíèÿ ðåãóëÿðíîé ÷àñòè àñèìïòîòèêè ðåøåíèÿ â äàííîì êëàññå çàäà÷. Ãëàâå 3 ðàññìîòðåíà çàäà÷à Íåéìàíà äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà:ε2P ∆u = f (u, x, ε), x ∈ Ω,(18)∂u(x, ε) = 0, x ∈ ∂Ω.∂nxÇäåñü u = (u1 , .
. . , un ), f = (f 1 , . . . , f n ), ε2P = diag(ε2p1 , . . . , ε2pn ) äèàãî-íàëüíàÿ ìàòðèöà, ïðè÷åì p1 ≥ p2 ≥ · · · ≥ pn > 3/4 íåêîòîðûå ÷èñëà,n > 1, ε > 0 ìàëûé ïàðàìåòð, Ω îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â RN , N ≥ 1.Ïîä nx ïîäðàçóìåâàåòñÿ âíóòðåííÿÿ íîðìàëü ê ∂Ω â òî÷êå x, äåéñòâèå14îïåðàòîðà Ëàïëàñà è âçÿòèå ïðîèçâîäíîé ïî íîðìàëè ïðîèçâîäÿòñÿ ïîêîìïîíåíòíî.Óñëîâèå 3.1 Ïóñòü âåêòîð-ôóíêöèÿ f (u, x, ε) îïðåäåëåíà è äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà ïðè (u, x, ε) ∈ I¯ × Ω × [0, ε0 ], ãäå I íåêîòîðûéïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä â Rn , ε0 > 0 íåêîòîðîå ÷èñëî.
Ïóñòüòàêæå â ñëó÷àå N ≥ 2 ãðàíèöà ∂Ω îáëàñòè Ω ïðèíàäëåæèò êëàññó ãëàäêîñòè C 2 .Ïî àíàëîãèè ñ Ãëàâîé 1 âûðîæäåííàÿ ñèñòåìà(19)f (u, x, 0) = 0ðåøàåòñÿ ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ â ïîðÿäêå,ñîãëàñîâàííîì ñ ïîðÿäêîì óáûâàíèÿ ñòåïåíåé ìàëîãî ïàðàìåòðà. Ïðè ýòîìïîÿâëÿþòñÿ ôóíêöèè ϕi (ui+1 , . . . , un , x), ãäå i = 1, n − 1, è un = ϕn (x). Äëÿóäîáñòâà çàïèñè ôîðìóë îïðåäåëèì ôóíêöèè ϕi,j (uj+1 , . .
. , un , x) êàê ïîëó÷àþùèåñÿ ïóòåì ïîñëåäîâàòåëüíîé ïîäñòàíîâêè ôóíêöèé ϕi+1 , . . . , ϕj âôóíêöèþ ϕi âìåñòî ïåðåìåííûõ ui+1 , . . . , uj (â óêàçàííîì ïîðÿäêå). Àíàëîãè÷íî, îïðåäåëèì ôóíêöèè f i,j (uj+1 , . . . , un , x) êàê ïîëó÷àþùèåñÿ ïóòåìïîñëåäîâàòåëüíîé ïîäñòàíîâêè ôóíêöèé ϕ1 , . . . , ϕj â ôóíêöèþ f i âìåñòîi,jïåðåìåííûõ u1 , . . . , uj (â óêàçàííîì ïîðÿäêå). Óñëîâèìñÿ, ÷òî fk îáîçíà÷àåò ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ f i,j ïî ñîîòâåòñòâóþùåìó uk , k > j .Óñëîâèå 3.2 Ïóñòü óðàâíåíèå f 1,0 (u1 , . .
. , un , x) = 0 èìååò âíóòðè îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ f íåïðåðûâíûé êîðåíü u1 = ϕ1 (u2 , . . . , un , x), ïðè÷åì äëÿâñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõf11,1 (u2 , . . . , un , x) = f11,0 (ϕ1 (u2 , . . . , un , x), u2 , . . . , un , x) > 0.Äàëåå, ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíî äëÿ i = 2, 3, . . . , n − 1 óðàâíåíèåf i,i−1 (ui , . . . , un , x) = f i,i−2 (ϕi−1 (ui , . . . , un , x), ui , . . . , un , x) = 0èìååò âíóòðè îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ f íåïðåðûâíûé êîðåíü ui =ϕi (ui+1 , . .
. , un , x), ïðè÷åì äëÿ âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõfii,i (ui+1 , . . . , un , x) = fii,i−1 (ϕi (ui+1 , . . . , un , x), ui+1 , . . . , un , x) > 0.15Íàêîíåö, ïóñòü óðàâíåíèå f n,n−1 (un , x) = f n,n−2 (ϕn−1 (un , x), un , x) = 0èìååò íåïðåðûâíûé ïðè x ∈ Ω êîðåíü un = ϕn (x), ïðè÷åì ∃ ìíîæåñòâîΓ ⊆ Ω òàêîå, ÷òîfnn,n (x) = fnn,n−1 (ϕn (x), x) > 0, åñëè x ∈ Ω \ Γ,fnn,n (x) = 0, åñëè x ∈ Γ.Âåêòîð-ôóíêöèÿ u = ϕ(x) ≡ (ϕ1,n (x), . . .
, ϕn,n (x)) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåìâûðîæäåííîé ñèñòåìû (19).Óñëîâèå 3.2 îçíà÷àåò, ÷òî, â îòëè÷èå îò ϕ1 , . . . , ϕn−1 , êîðåíü ϕn àïðèîðèÿâëÿåòñÿ èçîëèðîâàííûì è C 2 -ãëàäêèì ëèøü âíå íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè Γ;âíóòðè ýòîé îêðåñòíîñòè ñâîéñòâî èçîëèðîâàííîñòè è ãëàäêîñòè ϕn ìîæåòáûòü íàðóøåíî. Ðàññìàòðèâàåìàÿ ñèòóàöèÿ âîçíèêàåò, â ÷àñòíîñòè, â òåõñëó÷àÿõ, êîãäà âûðîæäåííîå óðàâíåíèå èìååò â Ω äâà íåïðåðûâíûõ êîðíÿ,ïåðåñåêàþùèõñÿ íà ìíîæåñòâå Γ.Óñëîâèå 3.3 |ϕn (x) − ϕn (ξ)| ≤ L · kx − ξkN ïðè x, ξ ∈ Ω äëÿ íåêîòîðîãîL > 0 (ëèïøèöåâîñòü ϕn ). Çäåñü k · kN åâêëèäîâà íîðìà â RN .Ïîëîæèòåëüíîñòü ïðîèçâîäíûõ â Óñëîâèè 3.2 ãîâîðèò îá óñòîé÷èâîñòèñîîòâåòñòâóþùèõ ìíîãîîáðàçèé ϕi .
Îäíàêî äëÿ ϕn íåîáõîäèìû äîïîëíèòåëüíûå òðåáîâàíèÿ, îáåñïå÷èâàþùèå åãî óñòîé÷èâîñòü â îêðåñòíîñòè Γ,ãäå íàðóøàåòñÿ òðåáîâàíèå fnn,n > 0.n,nn,n−1Óñëîâèå 3.4 fnn(x) = fnn(ϕn (x), x) > 0 ïðè x ∈ Γ.¯¯¯¯Óñëîâèå 3.5 ¯¯¯¯f11...1fn−1···. . . ...nf1n · · · fn−1¯¯¯.. ¯¯ < 0 ïðè u = ϕ(x), x ∈ Γ, ε = 0.. ¯¯fεn ¯fε1 ñâÿçè ñ âîçìîæíîñòüþ ïîïàäàíèÿ ìíîæåñòâà Γ íà ãðàíèöó îáëàñòè Ωïîÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå îãðàíè÷åíèå íà ñòåïåíè ìàëîãî ïàðàìåòðà.Óñëîâèå 3.6 pn−1 > 1, åñëè Γ ∩ ∂Ω 6= ∅.Çàäà÷à (18) èçó÷àåòñÿ ïðè óñëîâèè êâàçèìîíîòîííîñòè âåêòîð-ôóíêöèèf , ÷òî îáåñïå÷èâàåòñÿ ñëåäóþùèì òðåáîâàíèåì.16Óñëîâèå 3.7 Ïóñòü ïðîèçâîäíûå êîìïîíåíò âåêòîð-ôóíêöèè f óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàìfji (u, x, ε) ≤ 0,j 6= i,i, j = 1, näëÿ âñåõ çíà÷åíèé u, òàêèõ, ÷òî ku − ϕ(x)kn ≤ δ0 , ãäå δ0 íåêîòîðîå÷èñëî, x ∈ Ω, 0 ≤ ε ≤ ε0 .Òåîðåìà 3.2 Ïóñòü çàäà÷à (18) äëÿ P > 3/4 óäîâëåòâîðÿåò Óñëîâèÿì 3.1-3.7.
Òîãäà ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ ε > 0 ýòà çàäà÷à èìååò ðåøåíèåu(x, ε), òàêîå, ÷òî äëÿ íåãî ñïðàâåäëèâî àñèìïòîòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå:u(x, ε) = ϕ(x) + Φ(x, ε),ãäå Φ(x, ε) èìååò ïîðÿäîê O(ε1/2 ) â íåêîòîðîé δ -îêðåñòíîñòè Γ, O(εq )ïðè q = min(pn , 1) â íåêîòîðîé δ -îêðåñòíîñòè ∂Ω, íî âíå δ -îêðåñòíîñòèΓ, è, íàêîíåö, O(ε) â îñòàëüíîé ÷àñòè Ω.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû ïðèìåíåí àñèìïòîòè÷åñêèé ìåòîä äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ. Ïðè ïîñòðîåíèè íèæíåãî è âåðõíåãî ðåøåíèéêîìáèíèðóþòñÿ ïîäõîäû, ðàçâèòûå â Ãëàâàõ 1 è 2.Ãëàâà 3 çàêàí÷èâàåòñÿ îáñóæäåíèåì ðåçóëüòàòîâ, ãäå ïðèâåäåíû ïðèìåðû, èëëþñòðèðóþùèå òåîðèþ, ðàññìîòðåíû âîçìîæíûå îáîáùåíèÿ è äàíûïîÿñíåíèÿ îòíîñèòåëüíî âûáîðà ïàðàìåòðà P .Ðàññìîòðåííûå â Ãëàâàõ 1-3 êðàåâûå çàäà÷è äëÿ ýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèé è ñèñòåì âàæíû òåì, ÷òî îíè îïðåäåëÿþò ñòàöèîíàðíûå ðåøåíèÿñîîòâåòñòâóþùèõ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà, ïîýòîìóçàäà÷åé íà ïåðñïåêòèâó ÿâëÿåòñÿ èññëåäîâàíèå àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè è îáëàñòè âëèÿíèÿ ýòèõ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé. Ïðèëîæåíèè ðàññìîòðåí îäèí èç âîçìîæíûõ ïðèìåðîâ ïðèìåíåíèÿðàçâèòîé òåîðèè ê îïèñàíèþ ÿâëåíèÿ ñêà÷êà ñêîðîñòè áèìîëåêóëÿðíîé õèìè÷åñêîé ðåàêöèè.
Êàê ðåçóëüòàò, ïîëó÷åíî îïèñàíèå êîíòðàñòíûõ (äèññèïàòèâíûõ) ñòðóêòóð, âîçíèêàþùèõ â ðåàêòîðå.17Çàêëþ÷åíèåÑôîðìóëèðóåì îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè:• äîêàçàíû òåîðåìû î ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå äëÿ ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûõ ñèñòåì ÎÄÓ, óðàâíåíèÿ ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà è ñèñòåì óðàâíåíèé ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà ñ ðàçíûìè ñòåïåíÿìè ìàëîãî ïàðàìåòðà ïðèïðîèçâîäíûõ â ñëó÷àå, êîãäà âûðîæäåííàÿ çàäà÷à èìååò íåèçîëèðîâàííûé êîðåíü• ïîëó÷åíû àñèìïòîòè÷åñêèå îöåíêè ðåøåíèé ðàññìîòðåííûõ çàäà÷• ïîêàçàíî, ÷òî ìíîæåñòâî, â îêðåñòíîñòè êîòîðîãî êîðåíü âûðîæäåííîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ íå èçîëèðîâàííûì, ìîæåò èìåòü ïðîèçâîëüíóþðàçìåðíîñòü (òî÷êè, êðèâûå, ïîâåðõíîñòè, òåëà)• âûÿñíåíà ðîëü äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé, ãàðàíòèðóþùèõ ñóùåñòâîâàíèåðåøåíèÿ: ñ èñïîëüçîâàíèåì òðåáîâàíèé, â íåêîòîðîì ñìûñëå îáðàòíûõýòèì äîñòàòî÷íûì óñëîâèÿì, äëÿ ýëëèïòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ äîêàçàíûóòâåðæäåíèÿ îá îòñóòñòâèè ðåøåíèÿ, âñþäó áëèçêîãî ê íåèçîëèðîâàííîìó êîðíþ, è î ïîëíîì îòñóòñòâèè ðåøåíèÿ• ðàçâèòû ïðåäñòàâëåíèÿ î ïðèðîäå ÿâëåíèé â çàäà÷àõ ñ ïåðåñå÷åíèåì êîðíåé âûðîæäåííîãî óðàâíåíèÿ, íà èõ îñíîâå ïðåäëîæåí ìåòîäïîñòðîåíèÿ ðåãóëÿðíîé ÷àñòè àñèìïòîòèêè ðåøåíèÿ äëÿ íåêîòîðûõêëàññîâ ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûõ ýëëèïòè÷åñêèõ çàäà÷• íà îñíîâå ïîñòðîåííîé òåîðèè äàíî îïèñàíèå ÿâëåíèÿ ñêà÷êà ñêîðîñòèõèìè÷åñêîé ðåàêöèè áèìîëåêóëÿðíîãî òèïàÑïèñîê ïóáëèêàöèé àâòîðà ïî òåìå äèññåðòàöèè1.
Áóòóçîâ Â.Ô., Òåðåíòüåâ Ì.À. Î ñèñòåìàõ ñèíãóëÿðíî âîçìóù¼ííûõóðàâíåíèé â ñëó÷àå ïåðåñå÷åíèÿ êîðíåé âûðîæäåííîé ñèñòåìû // Æ.âû÷èñë. ìàòåì. è ìàòåì. ôèç., 2002. Ò. 42. 11. Ñ. 1686-1699.182. Òåðåíòüåâ Ì.À. Ñèíãóëÿðíî âîçìóù¼ííàÿ ñèñòåìà ïàðàáîëè÷åñêèõóðàâíåíèé ñ ðàçíûìè ñòåïåíÿìè ìàëîãî ïàðàìåòðà ïðè îïåðàòîðàõ âñëó÷àå ïåðåñå÷åíèÿ êîðíåé âûðîæäåííîé çàäà÷è ( êí. "Òð.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
