Сдвиговые волны в резонаторе с кубичной нелинейностью, страница 4

Пусть xi обозначает координаты частиц резонатора додеформации, ui – смещение частиц в результате деформации. В линейном12приближении деформации описываются тензором ε ij = (u i , j + u j ,i ) , где u i , j =15∂u i,∂x ji,j=1,2,3. Внутренние напряжения, возникающие при деформации, описываютсятензором σi,j. Уравнение движения запишется в виде:ρu&&i = σ i j , j + bi ,(7)где ρ – плотность материала, bi – внешняя объёмная сила. Связь междунапряжением и деформацией зададим в виде:σ i j = λε kk δ ij + 2µε ij + 2ηε&ij ,(8)где λ и µ – параметры Ламе, η – коэффициент сдвиговой вязкости. Разобьёмграницу параллелепипеда Г на два непересекающихся участка Гu и Гt. УчастокГu соответствует нижней границе, которая закреплена на пластине, а участок Гt– остальной границе.

Пусть на участке Гu заданы смещения точек u)i , а на)участке Гt задано внешнее поверхностное напряжение t i . Тогда граничныеусловия будут иметь вид:uiΓu= u)i = A sin 2πft ,σ ij n jΓt)= ti = 0 ,(9)(10)где f – частота колебаний. Модификация стандартного МКЭ заключалась вснятии ограничения на сохранение объёма отдельно взятого конечногоэлемента при его деформации. Вместо этого требовалось, чтобы объёмсохранялся у группы конечных элементов.

Это позволило обойти проблемуобъёмной блокировки. Тестирование реализованного алгоритма вычисленийпроизводилось по соответствию результатов, полученных МКЭ саналитическими результатамидля резонатораввидеслоя иэкспериментальными данными.В § 3.3 было показано, что если толщина однородного резонатора в четыреи более раз меньше его длины, то его резонансная частота отличается не болеечем на 4% от значения, рассчитанного с использованием одномерной модели,что можно условно считать границей применимости одномерной модели.В § 3.4 изложен алгоритм определения размера и положениянеоднородностей по модуля сдвига по измерению сдвига резонансной частоты.На рис.

6 показаны рассчитанные МКЭ резонансные кривые для резонатора снеоднородным включением (сплошные линии) и однородного резонатора(пунктирная линия). 1 – полость, заполненная жидкостью, 2 – пустая полость, 316– жёсткое включение с модулем сдвига,в 10 раз превышающим модуль сдвига20теларезонатора.Рассчитанные1512310зависимостипервойрезонансной5частотыврезонаторес0неоднородностямиввиде25 27 29 31 33 35 37f , Гцгоризонтального ряда пустых полостейРис.

6. Резонансные кривые для резонатораот их относительного объёма показаныс неоднородным включением.на рис. 7. Цифры у кривыхf1, Гцсоответствуютвысотеположения12.532h центров полостей h в мм. Пунктиром311030показана первая резонансная частота в7.529однородном резонаторе (31.3 Гц),282.527кружком – измеренная частота в26резонаторе с шестью полостями051015(Vп/Vо=14.28 %), расположенными наVп/Vо, %Рис.

7. Резонансные кривые для резонатора высоте h=7.5 мм. Оказалось, чтожёсткие включения повышают, ас горизонтальным рядом пустых полостей.полости,заполненныежидкостью,|W L /W 0|25снижают резонансные частоты. Пустые полости могут как снижать, так иповышать резонансную частоту в зависимости от их положения иотносительного объёма. Если полость находится в области больших сдвиговыхдеформаций, то её присутствие снижает резонансную частоту, посколькуснижается эффективная упругость резонатора. В области малых деформацийснижение упругости уже несущественно, и больше влияет снижение погонноймассы в области расположения неоднородности, что приводит к ростурезонансной частоты.В § 3.5 проводится исследование резонатора неправильной формы.Рассмотрен резонатор в форме параллелепипеда с впадиной примерноконической формы на одной из его граней.

Профиль впадины был измерен внескольких сечениях. При расчётах всем конечным элементам в областивпадины приписывались нулевые значения модуля сдвига и плотности. Пообъёму (7.1%) впадина, использованная при расчётах, примерносоответствовала реальной впадине.173640404036364014024034036440Рис.

8. Резонансные кривые для резонатора с впадиной на одной из граней.Резонансные кривые, полученные для резонатора в виде прямоугольногопараллелепипеда с впадиной на одной из граней, показаны на рис. 8. Цифры укривых соответствуют различной ориентации грани с впадиной, отмеченнойсерым цветом, по отношению к направлению колебаний, показанномустрелками.Результатырасчётапоказанысплошнымилиниями,экспериментальные данные – символами.

Числами у рёбер указаны их длины вмм.В § 3.6 отмечено, что наличие полостей в области больших деформацийприводит к локальному возрастанию деформаций резиноподобного материала впромежутках между полостями. Это, в свою очередь, может привести к ростунелинейных эффектов в таком резонатореW L, дБ40при достаточно больших колебаниях. Первыетри гармоники в измеренных профилях30ускорения верхней и нижней границ20резонаторапоказанынарис.9.10Заштрихованнымистолбикамипоказан0123гармонический состав профиля верхнейНомер гармоникиграницы, прозрачными – нижней границыРис.

9. Спектры ускорения границ резонатора с отверстиями внизу. Чёрнымирезонатора.столбиками показан гармонический состав18профиля верхней границы, серыми – нижней границы резонатора сотверстиями вверху. Видно, что уровень 3-й гармоники выше в резонаторе сотверстиями внизу. Наличие в спектре других гармоник (прежде всего, 2-й)связано с тем, что при проведении измерений возбуждение производитсямаломощным вибратором и становится нелинейным при больших амплитудахускорения нижней пластины. В § 3.7 обсуждаются основные результаты, в § 3.8сделаны выводы по Главе 3.В четвёртой главе рассмотрен частный случай неоднородной среды,важный для диагностики – слоистая структура.

Рассматривается общий случайструктуры, состоящей из N плоскопараллельных слоёв. Предложенная модельтакой структуры применяется для расчёта резонаторов с непрерывнымраспределением упругого параметра вдоль одного направления. Показано, чтомодель линейной слоистой структуры может быть использована также длямоделирования некоторых нелинейных эффектов в резонаторе. Кроме того, вданной главе для двухслойной структуры решается обратная задачанахождения сдвигового модуля упругости одного из слоёв.В § 4.1 приведён обзор литературы по существующим моделям мягкихбиологических тканей с упругими неоднородностями. Отмечается, чтослоистые среды с плоскими границами раздела, в которых модуль сдвигаизменяется скачком при переходе из слоя в слой, являются простыми моделямимягких биологических тканей, где волновые процессы описываютсяодномерными уравнениями.

Например, среда с непрерывным распределениеммодуля сдвига может быть представлена набором слоёв, где модуль меняетсядискретно с достаточно малым шагом, чтобы обеспечить необходимуюточность расчётов волновых процессов.В § 4.2 излагается модель, с помощью которой описаны стоячие сдвиговыеволны в резонаторе с N-слойной структурой. В линейном приближении и безучёта релаксации упругие процессы в каждом слое описываются уравнениемдвижения и законом Гука:(n)∂ 2u xρn∂t 2=∂σ xy∂u x∂y,∂y(n )σ xy ( n ) = µ n(n)(11)(n)+ηn∂ 2u x.∂y∂t(12)Здесь ux(n) – смещение частицы вдоль оси x, σ xy ( n ) = Fx ( n ) S – компонента тензоранапряжений, Fx(n) – компонента силы вдоль оси x, n = 1, 2, ..., N – номер слоя.19nНа границах соседних слоёв с координатами y n = ∑ L j ( n = 1, 2, ..., N − 1 )j =1должны быть выполнены условия неразрывности среды и равенствамеханических напряжений:u x( n ) ( y n , t ) = u x( n +1) ( y n , t ) ,(13)∂u x( n )∂ 2 u x( n )∂u x( n +1)∂ 2 u x( n +1)µn( yn , t ) + η n( y n , t ) = µ n +1( y n , t ) + η n +1( yn , t ) .∂y∂y∂t∂y∂y∂t(14)Кроме того, на верхней и нижней границах резонатора должнывыполняться два дополнительных условия.

Первое условие – заданное значениеускорения нижней пластины, второе условие определяется из закона движенияверхней пластины:∂ 2u x∂t 2(1)= wxy =0,(15)y =0(N)∂ 2u xM∂t 2= − σ xy(N )y=L⋅S .(16)y=LВ § 4.3 в качестве примера слоистых структур с локально большимидеформациями рассмотрена структура, в которой чередуются мягкие и твёрдыеслои. Слои с нечётными номерами выполнены из резиноподобного материала,сдвиговый модуль которого на несколько порядков меньше модуля объёмногосжатия.

Слои с чётными номерами выполнены из обычного твёрдогоматериала, в котором величины сдвиговой и объёмной упругости одногопорядка. Для определения сдвиговых деформаций в различных слояхпластисола был рассчитан профиль амплитуды поперечного смещения частиц встоячей волне U(y) на первой резонансной частоте. На рис. 9,а показан профиль0.0620εmaxy, мм300.04100.020000.10.20.3|U|, мм0.40.51а357911Номер слояРис. 9. Профиль смещения частиц (а) и распределение деформации по слоям (б).20бамплитуды смещения частиц в стоячей волне на первой резонансной частоте44.5 Гц при амплитуде ускорения нижней пластины W0 = 5 м/с2 в моментy, ммвремени, соответствующий максимальному смещению верхней границырезонатора. Наклонные участки профиля соответствуют смещениям частиц вмягких слоях пластисола. Дюралюминиевые пластины смещаются целиком, бездеформации, что показано вертикальными отрезками прямых на волновомпрофиле.

Распределение относительной деформации по слоям пластисолаприведено на рис. 9,б. Деформация максимальна в нижних слоях иуменьшается при приближении к верхней границе. Значение деформации внижнем слое пластисола (n=1) составляет 0.052, что более чем в 4 разапревышает деформацию, усреднённую по всей толщине структуры.В § 4.4 модель слоистой среды используется для расчёта резонаторов, вкоторых сдвиговый модуль меняется известным образом вдоль однойкоординаты. Рассмотрены два резонатора толщиной 10 мм, в которых модульсдвига зависит от глубины по квадратичному закону и имеет минимум наполовине толщины (рис. 10). Модуль сдвига на поверхности обоих резонатороводинаковый и равен 6 кПа, минимальные значения в первом и второмрезонаторах равны соответственно 4.5 и 1.0 кПа.

Для расчёта резонансныхкривых резонаторов с указанными10образцами они разбивались на 108слоёв одинаковой толщины 1 мм с6постояннымзначениеммодуля214сдвига в каждом слое. Значение2сдвиговогомодулявслоеопределялосьизисходного00 1 2 3 4 5 6 7 распределения в середине этого слоя.μ, кПаПолученные распределения показаныРис. 10. Распределения модуля сдвига по на рис. 10 сплошными линиямитолщине резонаторов.чёрного цвета. В двух центральныхслоях около вершин парабол были заданы одинаковые значения модуля сдвига.Таблица 1.