Сдвиговые волны в резонаторе с кубичной нелинейностью

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВАФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТНа правах рукописиУДК 534.2КРИТ Тимофей БорисовичСДВИГОВЫЕ ВОЛНЫ В РЕЗОНАТОРЕС КУБИЧНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮСпециальность: 01.04.06 – акустикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукМОСКВА – 2011Работа выполнена на кафедре акустики физического факультетаМосковского государственного университета имени М.В.

Ломоносова.Научный руководитель:кандидат физико-математических наук,доцент Андреев Валерий ГеоргиевичОфициальные оппоненты:доктор физико-математических наук,Балакший Владимир Ивановичкандидат физико-математических наук,Дёмин Игорь ЮрьевичВедущая организация:Акустический институтимени академика Н.Н. АндрееваЗащита диссертации состоится “ 12 ” мая 2011 года в 16.00 на заседанииДиссертационного Совета Д 501.001.67 при Московском государственномуниверситете имени М.В.

Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва,Ленинские горы, МГУ, физический факультет, физическая аудитория имениакадемика Р.В.Хохлова.С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке физическогофакультета МГУ имени М.В. Ломоносова.Автореферат разослан “ 08 ” апреля2011 года.Учёный секретарьДиссертационного Совета Д 501.001.67кандидат физико-математических наук,2А.Ф. КоролёвОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫАктуальность темыВозросший в последнее время интерес к волновым процессам в кубичнонелинейных средах обусловлен возможностями применения нелинейныхэффектов для целей медицинской диагностики мягких тканей. Упругость тканив поражённой области существенно изменяется, что позволяет выявлятьпатологию по измерению локальной скорости и затухания сдвиговых волн.Предложенные в различных работах методы неинвазивного возбуждения идетектированиясдвиговыхволнпродемонстрироваливозможностьлокализации и определения неоднородностей сдвигового модуля смиллиметровым разрешением как на фантомах биологических тканей, так и вклинических условиях.

Нелинейность сдвигового модуля также являетсяинформативным параметром, позволяющим уточнить диагностическуюинформацию, получаемую в линейных измерениях. Нелинейный параметрсреды может быть получен как из статических измерений, так и приизмерениях параметров нелинейных волновых процессов. Особенностью сред сцентром инверсии, к которым с хорошим приближением можно отнести имягкие биоткани, является отсутствие квадратичной нелинейности присдвиговых деформациях.

В таких средах основной вклад в развитиенелинейных процессов вносит кубичная нелинейность.Бегущие волны конечной амплитуды в средах с кубичной нелинейностьюрассмотрены достаточно детально. Показано, что в кубично нелинейной средепрофиль гармонической на входе волны по мере распространения искажаетсясимметрично, приобретая на некотором расстоянии трапециевидную форму скрутыми фронтами. Проведено экспериментальное наблюдение динамикинелинейной трансформации профиля гармонической волны в гелеобразнойсреде. Приведены как профили волн на различных расстояниях от источникасдвиговых волн, так и их гармонический состав. Для измерения нелинейныхмодулей упругости гелеобразных сред с малым значением модуля сдвига внастоящее время используется метод, который основан на акусто-упругомэффекте, т.е.

зависимости скорости упругих волн от статической деформациисреды. Существует ряд работ, посвящённых теоретическим основамопределения ограниченного числа нелинейных констант в несжимаемыхсредах. Имеются работы, в которых приведены результаты измеренийнелинейных констант в образцах, изготовленных из желатино-агаровойкомпозиции.3Стоячие волны в кубично нелинейных средах в настоящее времяпроанализированы менее детально, хотя они представляют не меньший интереси как объект фундаментального исследования, и с точки зрения практическогоприменения.

Существует лишь несколько работ, в которых проведёнтеоретический анализ поведения стоячих волн в кубично нелинейной среде. Внастоящее время в такой среде получены решения для волн, содержащихударные фронты.Для возбуждения стоячих волн конечной амплитуды удобно использоватьрезонатор в виде плоскопараллельного слоя резиноподобного материала сжёсткой пластиной, закреплённой на его верхней границе. Толщина резонатораподбирается так, чтобы на ней укладывалось около четверти длины волны. Втаком резонаторе возникают стоячие волны с амплитудами, на порядок и болеепревышающими амплитуду смещений, приложенных к нижней границерезонатора, даже в случае использования материала с большой сдвиговойвязкостью.

Настоящая работа посвящена экспериментальному исследованиюстоячих сдвиговых волн, возбуждаемых в резонаторе, заполненном средой скубичной нелинейностью. Анализируются волны умеренной амплитуды, когдаударные фронты ещё не образуются. При этом применяется подход,основанный на модели одномерного резонатора В качестве среды с кубичнойнелинейностью используется полимерный материал пластисол (производитель– компания M-F Manufacturing, USA), нелинейный параметр в которомопределялся из статической зависимости сдвиговой деформации отнапряжения.Цели и задачи диссертационной работыОсновной целью настоящей работы стало исследование сдвиговых волнконечной амплитуды в резонаторах с кубичной нелинейностью, а такжеразвитие методик, позволяющих определять вязкоупругие и нелинейныепараметры резиноподобных сред по измеренным резонансным кривым.Объектом исследования являются как однородные по структуре резонаторы,так и резонаторы с локальными включениями, отличными по своим упругимсвойствам от материала остального резонатора.

В рамках указанной целирешались следующие конкретные задачи:1. Разработка численного алгоритма, позволяющего моделировать сдвиговыеволны в резонаторах с учётом кубичной нелинейности и релаксации среды.Расчёт резонансных линий как в линейном, так и нелинейном режимах4колебаний, а также профилей волн и их гармоник в стационарном режиме и впроцессе их установления.2. Разработка метода расчёта стоячих волн в резонаторе с неоднородностямипроизвольной формы и размера. При этом сдвиговая упругостьнеоднородностей могла значительно превышать упругость материаларезонатора (твёрдые включения), быть ниже (мягкие включения) или равнятьсянулю (жидкие включения и полости).3. Создание установки и проведение экспериментальных исследованийстоячих волн в резонаторе в виде слоя резиноподобной среды, нагруженногопластиной конечной массы.

Развитие методик определения вязкоупругих инелинейных параметров резиноподобной среды по измеренным резонанснымкривым. Сравнение результатов измерений с численными расчётами.4. Разработка качественного метода локализации неоднородностей врезонаторе по виду резонансных кривых. Решение обратной задачиопределения сдвигового модуля одного из слоёв двухслойного резонатора.Научная новизна работы1.

Впервые проведено численное моделирование поведения стоячихсдвиговых волн в резонаторе, заполненном однородной резиноподобнойсредой с учётом кубичной нелинейности и релаксации. Показано, что приувеличении амплитуды колебаний в резонаторе форма резонансныхкривых становится асимметричной и происходит сдвиг резонанснойчастоты. При опредёленной амплитуде возбуждения, зависящей отдобротности резонатора, возникает область бистабильности. Времяустановления колебаний на частотах в области бистабильностиувеличивается более чем на порядок.2.

Впервые экспериментально зарегистрирован эффект увеличениярезонансной частоты с ростом амплитуды колебаний в резонаторе в видеслоя полимерного резиноподобного материала, нагруженного пластинойконечной массы. По измеренной зависимости был определён коэффициентнелинейности материала. Показано, что уровень третьей гармоники врезонаторе зависит от амплитуды первой гармоники по степенномузакону, при этом показатель степени изменяется от трёх до двух по мерероста колебаний в резонаторе.3.

Предложенныйметодопределениявязкоупругихпараметроврезиноподобных материалов в низкочастотном диапазоне колебаний (10 –400 Гц), основанный на сравнении измеренных и рассчитанных5резонансных кривых, полученных при различных массах верхней границырезонатора, является оригинальным.4. Впервые показана возможность увеличения эффективного нелинейногопараметра среды и управления эффективностью нелинейных процессовпутём изменения пространственной структуры среды. Указанный эффектэкспериментально продемонстрирован на примере резонатора сполостями, расположенными в области максимальных сдвиговыхдеформаций.Достоверность полученных в работе результатов подтверждаетсясравнением данных экспериментов, проведённых в ходе выполнения работы сданными, полученными в других работах, в том числе, с использованиемобщеизвестных методов измерения.

Кроме того, надёжность результатовподтверждается их соответствием теоретическим оценкам на основесамостоятельно разработанных и классических моделей, а также соответствиемрезультатов данным численных расчётов, полученным в работах другихавторов.Практическая ценность1. В работе создан новый метод измерения вязкоупругих модулейрезиноподобных материалов. Метод основан на сравнении измеренных ирассчитанных резонансных кривых в диапазоне частот 10 – 400 Гц.

Приэтом для увеличения точности и достоверности получаемых параметровпредложено изменять массу пластины, расположенной на верхней границерезонатора. Изменение массы пластины приводит к плавному изменениюрезонансных частот, что обеспечивает увеличение точности измерений.2. Предложен новый метод определения динамического нелинейногопараметра резиноподобных материалов, основанный на измерениизависимости сдвига резонансной частоты от амплитуды колебаний. Этотметод позволяет измерить зависимость нелинейного параметра от частоты.3. По результатам измерений в многослойной структуре предложен новыйметод создания структур с заданными вязкоупругими свойствами изкомпозиции полимера и жёсткого наполнителя.

Упругие свойствакомпозиционных структур определяются полимером, а инерционныесвойства – жёсткой фракцией. Деформации сдвига в полимере могутдостигать более 100%, что позволит моделировать экстремальныеперегрузки резиноподобного материала. При этом нелинейные6характеристики оказываются явно выраженными. Разработанные методыизмерения модулей упругости позволяют определять значения этихмодулей в структуре и управлять свойствами всей структуры.4. Влияние положения неоднородностей на резонансные свойства позволяетиспользовать разработанную методику для решения задач по локализациидефектов в материалах.