Решение обратных задач теории переноса частиц и излучения для исследования многослойных структур, страница 3

Результаты интерпретации приведены нарисунках 7 и 8.Рис. 7. Спектр энергетических потерьэлектронов, упруго отраженных отдвухслойной мишени C - SiРис.8. Спектр энергетических потерь электронов, упруго отраженных от двухслойной мишени Si3N4SiВосстановление послойного состава твердого тела на основе только одного спектра упруго отраженных электронов неоднозначное – существует бесконечное множество решений, удовлетворяющих условию минимизациифункционала (8). Для того, чтобы сделать задачу корректной, необходимы дополнительные условия. Этими условиями могут служить, например, теоретические функции распределения частиц в мишени при ионной бомбардировкеили диффундировавших атомов. Если же дополнительной информации нет,необходимы дополнительные спектры, измеренные при других энергиях илигеометрии.

Эффективная глубина зондирования образца lpr определяется выражением:ll probing ~ in µµ 0 ,(9)µ + µ0где µ0 ,µ - косинусы углов падения и вылета. Для повышения пространственного разрешения метода необходимо использовать несколько спектров, изме12ренных при разных геометриях или энергиях пучка. Метод энергетическогосканирования был апробирован на мишенях Au/Si для восстановления послойного профиля Au в мишени Si на основе экспериментов, выполненных вНОЦ «Нанотехнологии» МЭИ (ТУ).В работе также рассматривается вопрос о реализации спектроскопииУОЭ в условиях низкого энергетического разрешения. В этом случае функционал имеет вид:2 S1+ 2 R1+ 2 F=−(10) → min,R2  S2где S1+2 и R1+2 – суммарная площадь под пиками УОЭ и функция отражения отсистемы «слой+подложка».

Предложенный метод был апробирован на основеэкспериментов для системы «слой Au + подложка Ni» из работы [16]. Функцию R1+2 можно вычислять на основе MDOM. Результаты приведены на рисунке 9. Толщина слоя Au контролировалась методом рентгеновской фотоэлектронной эмиссии.Рис.9. Зависимость отношения функций отражения RAu+Ni и RNi от толщиныслоя AuВ диссертации также оценено влияние многократного рассеяния наформу пика упруго отраженных электронов. Расчет осуществлялся на основерешения Гаудсмита-Саундерсена [17]. Показано, что смещение на энергетической оси пика УОЭ, обусловленное многократным рассеянием порядка величины E0 ⋅ ( 2m / M ) ⋅ lin / ltr , ширина пика порядка E0 ⋅ ( 2m / M ) ⋅ lin / ltr . Оценкипоказывают, что влиянием многократных рассеяний можно пренебречь при сегодняшней точности эксперимента.Третья глава посвящена вопросу восстановления параметров неупругого рассеяния из спектров EELS/REELS.

Из элементарной теории дисперсииследуют простые формулы для описания потери энергии при неупругом рас13сеянии. Также в её рамках можно описать сдвиг максимума поверхностногоплазмона относительно основной плазменной частоты твердого тела.Для описания ХПЭ спектров формулируется граничная задача для уравнения переноса с учетом только неупругих рассеиваний.

Решение граничнойзадачи приводит нас к функции Ландау, описывающей энергетическое распределение частиц, прошедших слой с безразмерной толщиной τin , выраженной в IMFP. Функция Ландау допускает представление в виде ряда по кратностям неупругого рассеяния:∞T ( τin , ∆ ) = C0 ( τin ) δ ( ∆ ) + ∑ Ck ( τin ) I k ( ∆ ),(11)k =1где I ( ∆ ) - нормированное дифференциальное сечение неупругого рассеяния,коэффициенты Ck описывают распределение частиц по кратностям неупругого рассеяния k. На основе представления (11) формулируется численный алгоритм прямого восстановления функции I из измеренного спектра. Выпишемвид спектра без δ − слагаемого:∞∞R ( ∆ ) = ∑ Ck I k (∆) = C1I 1 ( ∆ ) + ∑ Ck I k (∆ ).k =1(12)k =2Построим расчетную сетку с шагом h по оси ∆ :∆ i = i·h,Ri = R ( ∆ i ) ,(13)Ii = I ( ∆i ) ,I = I ( ∆ i ).Следуя работам Тугарда, сделаем допущение о том, что при самых малых значениях неупругих потерь энергии вкладом многократных неупругих рассеяний можно пренебречь.

Также будем считать, чтоI 01 = 0.(14)В дальнейшем индекс первой кратности свертки опускается. Это допущение позволяет учесть для R1 только первое слагаемое ряда (12):R1 = C1·I1. Откуда для I1 имеем:I1 = R1 / C1.(15)Для вычисления I 2 учтем два слагаемых в ряде (11):kiR2 = C1I 2 + C2 I 22 ,kI 22 = h·( I 0 I 2 + I1I1 ) .С учетом (14): I 22 = hI1I1. Тогда(16)I 2 = ( R2 − C2 hI1I1 ) / C1.(17)Для остальных точек получим рекуррентное соотношение:n23 2n n −1I n = Rn − C2 I n h − C3 I n h −…− Cn I n h/ C1 =  Rn − ∑ Ck I nk h k −1  / C1 ,k =2(18)hn()I nk = ∫ I nk −1 ( ∆ − ε ) I ( ε ) d ε = I1k −2 ( I n−k +1I1 + I n−k I 2 + … + I1I n−k +1 ) h k −1.014В этой схеме интеграл вычислялся по формуле центральных прямоугольников.Последняя формула допускает обобщение на произвольный численный методинтегрирования.Спектр в случае двухслойной системы имеет вид:∆∞R ( ∆ ) = C10 I b ( ∆ ) + C01I s ( ∆ ) + ∑ Cnk ∫ I bn ( ∆ − ε )·I sk ( ε )·d ε,n =1k =1(19)0где C xy = C xbC ys .

Для определения I b ( ∆ ) , I s ( ∆ ) необходимо два спектраR ( ∆ ) , Rɶ ( ∆ ) .Для нахождения искомых функций для каждой расчетной точки необходимо решить систему линейных уравнений. Дискретизуя уравнение (19) длядвух спектров с учетом (14) для первой точки имеем: R1 = C10 I b1 + C01I s1 ,(20)ɶ R1 = Cɶ10 I b1 + Cɶ 01I s1 ,Тогда искомые величины найдем методами линейной алгебры:−1C01   R1   Cɶ 01   Rɶ1  I b1   C10 = ɶ I s1   C10(21)В матричной форме для n-ой точки справедливо:Rn = C10 I bn + C01I sn +Rɶ n = Cɶ10 I bn + Cɶ 01I sn +∆∑∀m + k ≤ n∑Cmk ∫ d ε·I bm ( ∆ − ε )·I sk ( ε )0∆∀m + k ≤ n(22)Cɶ mk ∫ d ε·I bm ( ∆ − ε )·I sk ( ε )0Интегралы можно вычислить по формуле центральных прямоугольников наоснове значений, вычисленных на предыдущих итерациях.

При вычисленииинтегральных сверток неизвестные значения сечений в точке n будут умножаться на нулевые I...... ( 0 ) = 0 . В результате получаем:∆mk−1  Rn − ∑ Cmk ∫ d ε·I b ( ∆ − ε )·I s ( ε )  I bn   C10 C01  ∀m + k ≤n0(23) I  =  Cɶ∆ɶC01  sn   10 Rɶ n − ∑ Cɶ mk ∫ d ε·I bm ( ∆ − ε )·I sk ( ε ) ∀m + k ≤n0Предложенный алгоритм допускает обобщение на произвольное число слоев.Недостаток прямого численного восстановления сечений заключается втом, что плохая обусловленность задачи приводит к сильному зашумлениюполучаемых решений.

В случае трехслойной модели уровень шума в спектре5% приводит к катастрофической потери точности, что делает непригоднымдля практических расчетов трехслойный алгоритм (рисунок 10). Таким образом, прямые численные методы восстановления сечений могут использоватьсядля получения априорной информации о виде искомых функций. Для получе-15ния физически корректного ответа предлагается осуществлять регуляризациюобратной задачи, сводя решение к поиску функций определенного вида с конечным числом подгоночных параметров.Рис. 10. Обработка модельных спектров в трехслойной модели – уровень шума 1% (слева), уровень шума 5% (справа).В диссертации проведена обработка двух серий экспериментов –спектры REELS ниобия и алюминия. Эксперименты выполнялись вАвстралийском Национальном университете.

Для получения априорнойинформации о виде неупругого сечения ниобия была применена процедуравосстановления сечения для однослойной модели для спектров на прострел изработы [18]. Результат восстановления был представлен в виде суммы трехсечений (рисунок 10). Каждое сечение описано на основе дисперсионнойтеории функцией вида:∆ 0.5I p (∆, ε, b) = A 2 2 2,(24)(∆ − ε ) + ∆1.5b 2.5где A – нормировочный множитель. Подгоночные параметры подбирались так,чтобы одновременно описать всю серию экспериментов для Nb (рисунок 11).Распределение по кратностям неупругого рассеяния рассчитывалось на основеформулы∞Ck = ∫ A ( u ) exp(−uin )(uink / k !)du(25)0где A – распределение электронов по длинам пробега u, uin = u/lin.

Функция Aрассчитывалась по феменологической формуле А.В.Лубенченко.Для совпадения расчетных спектров с экспериментальными спектрамипотери энергии на ионизацию описывались не только как локальный процесс,но и как коллективный (как коллективное возбуждение электронной системытвердого тела по аналогии с плазмонным возбуждением). При описании потерь энергии в двухслойной модели форма сечения сильно зависит от энергии.Трехслойная модель, в которой при изменении энергии форма сечения остается неизменной, а меняется только толщины слоев, в которых происходят данные возбуждения, представляется более удобной и физически корректной.16Рис.11.

Разложение восстановленного эффективного сечения Nb из спектра на прострел на три сеченияРис. 12. Спектр потерь энергии электронов, отраженных мишенью Nb:точки – эксперимент, линии – восстановленные спектры – 10 кэВОбработка спектров Al производилась в двухслойной модели с помощью предложенного численного алгоритма восстановления. Результат восстановления для 5 кэВ удовлетворительно совпал с расчетом по соотношениямэлементарной теории дисперсии (рисунок 13). Однако для описания спектра вшироком энергетическом интервале необходимо добавить дополнительныйплазмонный пик, приходящийся на энергию ионизации M оболочки (рисунок14). Применение прямого алгоритма к спектрам при 40 кэВ привело к большойошибке в решении из-за плохой обусловленности задачи.Рис.13.

Восстановление сеченийнеупругого рассеяния прямымчисленным методом – Al (5 кэВ)Рис.14. Сечения неупругого рассеянияAl, восстановленные с помощьюфитинга17ЗаключениеПроведенные в рамках диссертационной работы исследования позволяют сформулировать следующие основные результаты и выводы:1. Создана физическая модель явления упругого рассеяния электронов в многослойных многокомпонентных твердых телах. Данная модель была реализована в виде пакета программ. Разработана методика интерпретацииэнергетических спектров упруго отраженных электронов для послойногоанализа.2. Показана возможность описания угловых распределений упруго отраженных электронов с помощью методов, развитых в теории переноса излучения. Установлено, что погрешность малоугловой квазиоднократной модели при расчете функции отражения электронов равна 5 % при энергии 5кэВ для Cu, 8 кэВ для Ag, 20 кэВ для Au.

С ростом энергии ошибкауменьшается. Предложена процедура минимизации погрешности в малоугловой квазиоднократной модели за счет выбора соответствующей геометрии эксперимента. Например, для системы Au/Si при энергии 8 кэВ принормальном угле падения оптимальный угол рассеяния равен 135º.3. Предложено описание неупругих процессов потерь энергии в приповерхностных слоях твердого тела в рамках трехслойной модели (с учетом поверхностных мод колебаний).

В отличие от принятой двухслойной модели,развитая в диссертации модель позволяет использовать единый вид дифференциальных сечений неупругого рассеяния для набора энергий зондирующего пучка.4. В рамках предложенных физических моделей процессов потерь энергииэлектронов в твердом теле созданы алгоритмы восстановления дифференциального сечения неупругого рассеяния из спектров характеристическихпотерь энергии. Восстановлены дифференциальные сечения для Nb и Al.Зависимость сечения имеет два пика. Первый пик, соответствующий потерям энергии 15-20 эВ, связан с возбуждением поверхностных или объемных плазменных колебаний. Второй пик также описывается в рамках теории коллективных возбуждений, но соответствует энергии 4s1/2, 4p1/2, 4p3/2электронных оболочек Nb и 2s1/2, 2p1/2, 2p3/2 электронных оболочек Al.Список основных публикаций по теме диссертации1.