Применение методов интегральной геометрии к задачам редукции гамильтоновых систем, страница 8

2.10 вверху слева. Посколькулокальных минимумов внутри криволинейного треугольниканет, то сепаратрисы не могут образовывать петли, лежащиевнутри треугольника. Поэтому сепаратрисы седел S2b, S2cсоединяют их с точками на сторонах треугольника с такойже энергией, причем для седла S2c это должны быть те дветочки, которые лежат по ту же сторону от сепаратрис седла S2b (рис.

2.10). Другие две соединены регулярной линией48уровня.С помощью отражений относительно координатных плоскостей получаем весь граф сепаратрис на сфере, рис. 2.10 вверху справа. Определяя по каждой его связной компонентесоответствующий плоский атом и соединяя ребрами атомы,ограничивающие одну и ту же область, получаем молекулуслоения. Результат приведен на рис.

2.10 внизу. Слева показана бифуркационная диаграмма гамильтониана в этом случае вместе с числом окружностей в прообразе для значенийэнергии из каждой камеры (цифры справа от оси). Справаизображена молекула, соответствующая слоению Лиувилля.I.2.a.ii. ES1c < ES2c .Случай аналогичен предыдущему и иллюстрируется нарис. 2.11.I.2.b ε2 = ε3 .В этом случае седловые уровни энергии совпадают: ES2b = ES2c .Нижние два уровня локальных максимумов совпадают: ES1b =ES1c .

Оба уровня локальных максимумов выше седлового уровня ES2b .Первый октант показан рис. 2.12 вверху слева. Снова из-за отсутствия локальных минимумов внутри криволинейного треугольника не может быть ни петель, ни областей, ограниченныхдвумя сепаратрисами. Поэтому одна сепаратриса соединяет седла, а другие две попадают в точки на стороне треугольника.С помощью отражений относительно координатных плоскостейполучаем весь граф сепаратрис на сфере, рис. 2.12 вверху справа.

Определяя по каждой его связной компоненте соответствующий плоский атом и соединяя ребрами атомы, ограничивающие одну и ту же область, получаем молекулу слоения. Результат приведен на рис. 2.12 внизу. Слева показана бифуркацион49ная диаграмма гамильтониана в этом случае вместе с числомокружностей в прообразе для значений энергии из каждой камеры (цифры справа от оси). Справа изображена молекула, соответствующая слоению Лиувилля.II. Один из параметров εi отрицателен.Пусть для определенности ε1 < 0. В этом случае не существуют критические точки серии S3, а из точек серии S2 существуют только точкиS2a (лемма 6).

Они являются локальными минимумами (лемма 8). Точки S1a являются локальными максимумами, S1b, S1c – седлами.Здесь снова возникают подслучаи в зависимости от совпадения седловых уровней.II.1 ε2 6= ε3 .Пусть для определенности ε2 < ε3 . Тогда седловые уровни энергиисвязаны неравенством: ES1c < ES1b .Первый октант показан рис. 2.13 вверху слева.

По симметрии от каждой седловой точки S1b, S1c в первый октант попадает по одной сепаратрисе. Каждая из них приходит в точку с такой энергией на сторонетреугольника.С помощью отражений относительно координатных плоскостей получаем весь граф сепаратрис на сфере, рис. 2.13 вверху справа. Определяя по каждой его связной компоненте соответствующий плоский атоми соединяя ребрами атомы, ограничивающие одну и ту же область, получаем молекулу слоения. Результат приведен на рис. 2.13 внизу. Слева показана бифуркационная диаграмма гамильтониана в этом случаевместе с числом окружностей в прообразе для значений энергии изкаждой камеры (цифры справа от оси).

Справа изображена молекула,соответствующая слоению Лиувилля.II.2 ε2 = ε3 .50Тогда седловые уровни энергии совпадают: ES1c = ES1b .Первый октант показан рис. 2.14 вверху слева. Седла S1b, S1c не имеютна границе треугольника других точек с такой же энергией, поэтомуони соединяются сепаратрисой друг с другом.С помощью отражений относительно координатных плоскостей получаем весь граф сепаратрис на сфере, рис.

2.14 вверху справа. Определяя по каждой его связной компоненте соответствующий плоский атоми соединяя ребрами атомы, ограничивающие одну и ту же область, получаем молекулу слоения. Результат приведен на рис. 2.14 внизу. Слева показана бифуркационная диаграмма гамильтониана в этом случаевместе с числом окружностей в прообразе для значений энергии изкаждой камеры (цифры справа от оси).

Справа изображена молекула,соответствующая слоению Лиувилля.В результате из разбора всех возможных здесь случаев получается следующая теорема.Теорема 10. Редуцированная система для алгебраической поверхности,заданной как деформация двумерной сферы четвертыми степенями (2.2),при условях (2.8) невырожденности всех критических точек, харатеризуется, в зависимости от параметров εi , одной из восьми молекул, изображенных на рис.

2.15.Как было отмечено выше, для изображения областей в трехмерном пространстве параметров εi , i = 1, 2, 3, соответствующим различным молекулам, достаточно, ввиду однородности гамильтониана по εi , ограничитьсяполусферой, заданной условием ε3 > 0, которую мы будем изображать впроекции на плоскость ε1 , ε2 .На рис. 2.16 изображены области на этой полусфере, соответствующиемолекулам W1 −W8 .

Области, соответствующие молекулам W1 и W5 , разде-51L2L26S1b 434S2c2S2a1S3L1345S1c43S2b47S1aL1Рис. 2.1: Случай I.1.a.i. Вверху слева: часть графа сепаратрис слоения Лиувилля, расположенная в первом октанте. Вверху справа: граф сепаратрис слоения Лиувилля на сфере (показанаполусфера L3 > 0). Внизу слева: бифуркационная диаграмма и числа окружностей с даннымзначением гамильтониана. Внизу справа: молекула W1 , соответствующая слоению Лиувилля.52Рис. 2.2: Атом I сложности 4.HES1aAA2ES1bAA4ES2cI2ES1cAA4ES2bC2C24ES2aBBBB8ES3AAAAAAAAРис.

2.3: Случай I.1.a.ii. Слева: бифуркационная диаграмма и числа окружностей с даннымзначением гамильтониана. Справа: молекула W1 , соответствующая слоению Лиувилля.53L2L26S1b442S2cS2a1L1S345S1c42S2b46S1aL1Рис. 2.4: Случай I.1.b.i. Вверху слева: часть графа сепаратрис слоения Лиувилля, расположенная в первом октанте. Вверху справа: граф сепаратрис слоения Лиувилля на сфере (показанаполусфера L3 > 0). Внизу слева: бифуркационная диаграмма и числа окружностей с даннымзначением гамильтониана.

Внизу справа: молекула W2 , соответствующая слоению Лиувилля.54HES1a =ES1bAAAA4ES2cI2ES1cAA4ES2a =ES2bII8ES3AAAAAAAAРис. 2.5: Случай I.1.b.ii. Слева: бифуркационная диаграмма и числа окружностей с даннымзначением гамильтониана. Справа: молекула W2 , соответствующая слоению Лиувилля.ляются линиями, заданными однородными уравнениями второго порядка:1.ε1 ε2 − ε2 ε3 + ε3 ε1 = 02.ε1 ε2 + ε2 ε3 − ε3 ε1 = 03.−ε1 ε2 + ε2 ε3 + ε3 ε1 = 0(2.9)Итак, в случае двумерных деформированных сфер построенная асимптотическая гамильтонова редукция позволяет провести полный топологический анализ редуцированной системы посредством построения топологических инвариантов А.Т. Фоменко.

В зависимости от параметров деформациипроисходят топологические перестройки слоений Лиувилля редуцированных систем.2.4Трехмерные деформированные сферыРассмотрим случай n = 4, т.е. геодезические на трехмерных деформированных сферах в четырехмерном евклидовом пространстве. Угловой момент в четырехмерном пространстве имеет шесть существенных компонент:55L2L25S1b 332S2a1S2cS3L135S1c3S2b7S1aL1Рис. 2.6: Случай I.1.c. Вверху слева: часть графа сепаратрис слоения Лиувилля, расположенная в первом октанте.

Вверху справа: граф сепаратрис слоения Лиувилля на сфере (показанаполусфера L3 > 0). Внизу слева: бифуркационная диаграмма и числа окружностей с даннымзначением гамильтониана. Внизу справа: молекула W3 , соответствующая слоению Лиувилля.56Рис. 2.7: Атом K сложности 8.l12 , l13 , l14 , l23 , l24 , l34 . Они связаны одним соотношением Плюккера:C ≡ l12 l34 − l13 l24 + l14 l23 = 0.(2.10)Алгебра Пуассона углового момента имеет две функции Казимира: приведенную выше левую часть C соотношения Плюккера, а также сумму квадP 22ратов компонент момента: l2 =ij lij . Зафиксировав C = 0 и l = 1, атакже отождествляя точки, отличающиеся заменой знака у всех lij , полу-чаем четырехмерное многообразие Грассмана G(2, 4) в качестве фазовогопространства (следовательно, имеется две степени свободы).57L2L25S1b22S2aS2c1S3L15S1c2S2b5S1aL1Рис.

2.8: Случай I.1.d. Вверху слева: часть графа сепаратрис слоения Лиувилля, расположенная в первом октанте. Вверху справа: граф сепаратрис слоения Лиувилля на сфере (показанаполусфера L3 > 0). Внизу слева: бифуркационная диаграмма и числа окружностей с даннымзначением гамильтониана. Внизу справа: молекула W4 , соответствующая слоению Лиувилля.58Рис. 2.9: Атом L сложности 12 – максимально симметричный атом, соответствующий кубу иоктаэдру.59L25L23S1b 23S2c1S2aL1234S1c32S2b36S1aL1Рис. 2.10: Случай I.2.a.i. Вверху слева: часть графа сепаратрис слоения Лиувилля, расположенная в первом октанте.