Применение конформных преобразований к расчетам распределений токов, температур и магнитных полей двумерных проводников

На правах рукописиГерасименко Татьяна НиколаевнаПРИМЕНЕНИЕ КОНФОРМНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ К РАСЧЕТАМРАСПРЕДЕЛЕНИЙ ТОКОВ, ТЕМПЕРАТУР И МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙДВУМЕРНЫХ ПРОВОДНИКОВ01.04.02 — Теоретическая физикаАвторефератдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква — 2012Работа выполнена на кафедре общей физики физического факультетаМосковского государственного университета имени М.В.Ломоносова.Научный руководитель:доктор физико-математических наук,профессор П. A. ПоляковОфициальные оппоненты:А.

Н. Боголюбов,доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики физическогофакультета МГУ имени М. В. ЛомоносоваМ. Л. Акимов,кандидат физико-математических наук, доцент кафедры инновационного менеджмента института управления в промышленности, энергетике и строительстве Государственного университета управленияВедущая организация:Федеральное государственное бюджетноеучреждение науки Институт проблемуправления им.

В. А. Трапезникова Российской академии наукЗащита состоится 20 декабря 2012 г. в 16 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинскиегоры, МГУ, дом 1, стр.

2, физический факультет, СФА.С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке МГУимени М. В. Ломоносова.Автореферат разослан «»Ученый секретарьдиссертационного совета Д 501.002.10доктор физико-математических наукпрофессор20г.П. А. Поляков3ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫАктуальность темыТонкопленочные проводники и резисторы являются важными элементами современных электронных устройств. В частности, они используютсяв интегральных микросхемах, без которых немыслимо существование большинства современных приборов. Все большее распространение получаюттак называемые лаборатории на чипе (lab-on-a-chip) — миниатюрные приборы, позволяющие осуществлять несколько стадий биохимических процессов на одном чипе площадью порядка нескольких квадратных миллиметров. Все манипуляции в таких устройствах, как правило, ведутся с помощью электрических или магнитных полей, создаваемых миниатюрнымипроводами или магнитами.Обладая активным сопротивлением, проводники и резисторы неизбежно нагреваются, причем нагрев может происходить неравномерно поповерхности проводника.

Повышение температуры может приводить к размягчению поверхности проводника и нарушению его формы или к ускорению роста оксидных пленок на его поверхности и, как следствие, к изменению его свойств [Wang, Xu, 2007]. Знание распределения плотности токаи температуры по поверхности проводника крайне важно также и при работе с проводниками наноразмеров, в которых большие плотности тока ивысокие температуры могут приводить к электромиграции материала проводников и, как следствие, к их разрушению и сбоям в работе схемы [Lai,Kao, 2006].Отсюда вытекает естественная необходимость детального исследования некоторых свойств проводников, которые в силу их малой по сравнению с линейными размерами толщиной можно считать двумерными.На сегодняшний день такие задачи решаются в первую очередь численно с помощью универсальных программных пакетов.

Такой подход привсех своих несомненных преимуществах обладает и рядом недостатков. Всилу своей универсальности готовые программные пакеты не всегда даютоптимальное и, более того, верное решение поставленной задачи [Petersen,Carpenter, May, 2009]. Кроме того, решение полученное численным методом несет с собой только информацию, ограниченную набором исходныхданных, что создает трудности при его анализе. В частности, анализ иустранение сингулярностей решения при численном расчете представляетсобой целую проблему [Lai, Kao, 2006].В то же время, аналитическое решение уже в силу своей аналитичности относительно свободно от задания конкретных значений параметров4исследуемой системы и потому описывает ситуацию в целом, что делает егоболее доступным для анализа. Результат численного расчета будет сопоставим по эффективности с аналитическим решением только в том случае,если он будет произведен многократно, что может привести к существенным трудозатратам.Все это приводит к тому, что развитие аналитических методов и получение новых аналитических решений остается важной и актуальной задачей.Цель диссертационной работыЦелью диссертационной работы является развитие аналитических методов решения задач электродинамики о распределении токов в двумерныхпроводниках различной формы и применение полученных результатов красчетам температур и магнитных полей этих проводников.Научная новизнаВ диссертационной работе впервые предложен способ построения приближенных аналитических решений задачи о распределении комплексного потенциала в двумерных проводниках сложной формы с различнымирасширениями, сужениями и изгибами.

Получены в аналитическом видеотображения, переводящие верхнюю комплексную полуплоскость в полосы, изогнутые под углами 30, 60 и 120 градусов и посчитаны распределения токов в соответствующих проводниках. Разработан способ скруглениявнутреннего угла проводника, позволяющий получить скругляющую дугублизкую по форме к дуге окружности.На основе полученных решений создан оптимальный алгоритм расчета распределений температур в указанных проводниках и впервые найденыкритерии физического подобия распределений температуры в геометрически подобных двумерных проводниках, нагреваемых постоянным токомравной плотности.На основе полученных аналитических формул для распределений токов разработан новый эффективный способ расчета магнитных полей рассмотренных проводников.

Это позволило рассчитать пондеромоторные силы, действующие на магнитную микрогранулу в поле прямоугольного витка с током и определить вклад, который вносит в магнитное поле проводника печатной платы дефект прямоугольной формы.Научная и практическая значимость работыПолученные в диссертации результаты могут быть использованы вразличных практических приложениях, таких как расчет сопротивлений5тонкопленочных резисторов, оценка времени работы микросхем, расчетпондеромоторных сил при работе с магнитными микро- и наногранулами,задачи о тестировании печатных плат и т.д.Полученные аналитические решения могут быть также использованыи в чистом виде, к примеру для тестирования численных алгоритмов. Онипозволяют делать выводы об общих закономерностях решения в проводниках более сложной формы, к примеру, предположить наличие сингулярностей.Кроме того, аналитические решения для распределений комплексного потенциала могут быть использованы и в задачах гидродинамики прирассмотрении плоского безвихревого течения идеальной жидкости.Апробация работыСодержание различных разделов диссертационной работы представлялось в виде докладов на международных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов–2006» (МГУ, Москва, 2006), «Ломоносов–2007» (МГУ, Москва, 2007),«Ломоносов–2009» (МГУ, Москва, 2009);на XV и XVI международных конференциях «Радиолокация и связь» (Фирсановка, Московская обл., 2007, 2008); на XVII международной конференции «Магнетизм, дальнее и ближнее спин-спиновое взаимодействие»(Фирсановка, Московская обл., 2009); на XVII, XIX и XX международныхконференциях «Электромагнитное поле и материалы» (Фирсановка, Московская обл., 2010, 2011, 2012) на российских конференциях с международным участием «Технические и программные средства систем управления, контроля и измерения» УКИ’10 и УКИ’12 (ИПУ РАН, Москва, 2010,2012): на 4-й международной научной конференции FMNS 2011 (South-WestUniversity «Neofit Rilski», Blagoevgrad, Bulgaria, 2011).ПубликацииПо материалам диссертации опубликовано 18 научных работ, списоккоторых приведен в конце автореферата.Структура и объем диссертацииДиссертационная работа состоит из введения, трех глав основноготекста, заключения, четырех приложений и списка цитируемой литературы.

Полный объем диссертации составляет 144 страницы. Диссертация содержит 76 рисунков. Список литературы включает 115 ссылок.6ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫГлава 1 (Введение) содержит обзор направлений, в рамках которыхвозникают задачи, решаемые в последующих главах.В разделе 1.1 дано обоснование актуальности темы диссертации.Раздел 1.2 посвящен обзору способов расчета сопротивлений и распределений тока в тонкопленочных проводниках и резисторах. Описанаидея метода конформных преобразований и дан обзор работ, в которыхдля решения поставленных задач используется преобразование Шварца–Кристоффеля.