Погружения графов в поверхности, страница 11

Ïóñòüa, c ∈ G \ A, b, d ∈ H \ φ(A) è ýëåìåíòû ab è cd ñîïðÿæåíû â ãðóïïå P . Òîãäà íàéäóòñÿu1 = g m , u2 = g n , òàêèå, ÷òî â ãðóïïàõ G è H âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà a = u−11 cu2 èb = u−12 du1 ñîîòâåòñòâåííî.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå î íîðìàëüíîé ôîðìå äëÿ ñâîáîäíûõ ïðîèçâåäåíèé ñàìàëüãàìèðîâàííîé ïîäãðóïïîé [26], òåîðåìà 2.6, ãðóïïû G è H åñòåñòâåííî âëîæåíûâ P , ïîýòîìó âñå ýëåìåíòû ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ýëåìåíòû èç P . Ïî òåîðåìå 2.8èç [26] íàéäåòñÿ ýëåìåíò u ∈ A, òàêîé, ÷òî ab = u−1 cdu èëè ab = u−1 dcu.

Ñëó÷àé ab =u−1 dcu íåâîçìîæåí ïî òåîðåìå 2.6 èç [26]. Îáîçíà÷èì c̃ = u−1 c ∈ G, d˜ = du ∈ H , òîãäà(c̃−1 a) · (bd˜−1 ) = 1. Ïî òåîðåìå 2.6 èç [26] ïîëó÷àåì c̃−1 a ∈ A, bd˜−1 ∈ A. Îòñþäà a = u−11 cu2−1è b = u−12 du1 äëÿ u2 = c̃ a ∈ A.49Ëåììà 4.2. Ïóñòü ω ãðàíè÷íàÿ îêðóæíîñòü ïîâåðõíîñòè M , ïîâåðõíîñòü M̃ ÿâëÿ-åòñÿ çàìûêàíèåì êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ìíîæåñòâà M \ ∪i γi , ñîäåðæèò ω è îòëè÷íàîò öèëèíäðà. Òîãäà íàéäåòñÿ çàìêíóòàÿ êðèâàÿ ω̂ â M̃ ñ çàêðåïëåííûìè êîíöàìè íà ω ,òàêàÿ, ÷òî êðèâûå ñ çàêðåïëåííûìè êîíöàìè ω̂ è tkω ω̂ íå ãîìîòîïíû â M íè ïðè êàêîìöåëîì k 6= 0.  ÷àñòíîñòè, êðèâàÿ ω̂ íå ãîìîòîïíà ω k .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîâåðõíîñòü M̃ ÿâëÿåòñÿ ëèáî ñôåðîé áåç òðåõ îòêðûòûõ äèñêîâ,ëèáî òîðîì ñ äûðêîé. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà M̃ ÿâëÿåòñÿ ñôåðîé áåç òðåõîòêðûòûõ äèñêîâ.

Îáîçíà÷èì ÷åðåç γ1 è γ2 äâå ãðàíè÷íûå îêðóæíîñòè M̃ , îòëè÷íûå îòω . Âûáåðåì êðèâóþ ω̂ òàê, ÷òîáû êðèâûå γ1 è γ2 ëåæàëè â ðàçíûõ êîìïîíåíòàõ ñâÿçíîñòèìíîæåñòâà M̃ \ ω̂ , à êðèâàÿ ω ëåæàëà â îäíîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè ñ êðèâîé γ1 . Êðèâàÿtkω ω̂ ãîìîòîïíà ω k ω̂ω −k , ïîêàæåì, ÷òî îíà íå ãîìîòîïíà ω̂ .Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çàìûêàíèå ìíîæåñòâà M \ M̃ íåñâÿçíî, ò.å.

ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåìäâóõ ïîâåðõíîñòåé M1 è M2 , . Òîãäà ãðóïïà π1 (M ) èçîìîðôíà ñâîáîäíîìó ïðîèçâåäåíèþãðóïï π1 (M1 ) è π1 (M2 ). ×òîáû çàôèêñèðîâàòü èçîìîðôèçì π1 (M ) ∼= π1 (M1 ) ∗ π1 (M2 ),äîñòàòî÷íî äîïîëíèòü êðèâûå γ1 è γ2 îòðåçêàìè äî çàìêíóòûõ êðèâûõ γ̃1 è γ̃2 ñ êîíöàìè,ñîâïàäàþùèìè ñ êîíöîì êðèâîé ω̂ . Îòðåçêè âûáåðåì òàê, ÷òîáû γ̃1 è γ̃2 ïåðåñåêàëè ω̂òîëüêî â êîíå÷íîé òî÷êå.

Êðèâàÿ ñ çàêðåïëåííûìè êîíöàìè ω̂ ãîìîòîïíà γ̃2 ∈ π1 (M2 ), àω ãîìîòîïíà γ̃1 γ̃2 . Êðèâàÿ ω k ω̂ω −k ãîìîòîïíà (γ̃1 γ̃2 )k ω̂(γ̃1 γ̃2 )−k è íå ïðèíàäëåæèò π1 (M2 ),ïîýòîìó êðèâûå ñ çàêðåïëåííûìè êîíöàìè ω̂ è ω k ω̂ω −k íåãîìîòîïíû.Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî çàìûêàíèå ìíîæåñòâà M \ M̃ ñâÿçíî.

Òîãäà â ãðàôå Θ íàéäåòñÿ òîïîëîãè÷åñêèé ïîäãðàô Θ0 , ÿâëÿþùèéñÿ îáúåäèíåíèåì íåçàìêíóòîãî ðåáðà è ïåòëè, â êîòîðîì âåðøèíà ñòåïåíè 1 ñîîòâåòñòâóåò ω , à âåðøèíà ñòåïåíè 3 (êàê âåðøèíàãðàôà Θ) ïîâåðõíîñòè M̃ . Åñëè êðèâûå ω̂ è ω k γω −k ãîìîòîïíû, òî è èõ îáðàçû ïðèîòîáðàæåíèè λΘ0 ãîìîòîïíû â ïîâåðæíîñòè MΘ0 . Ïîâåðõíîñòü MΘ0 ÿâëÿåòñÿ òîðîì ñ äûðêîé. Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà ïîâåðõíîñòè MΘ0 ñâîáîäíà. Íåãîìîòîïíîñòü êðèâûõ λΘ0 ◦ ω̂è λΘ0 ◦ ω k ω̂ω −k äîêàçûâàåòñÿ ðàññìîòðåíèåì îáðàçóþùèõ ôóíäàìåíòàëüíîé ãðóïïû.Ñëó÷àé, êîãäà ïîâåðõíîñòü M̃ ÿâëÿåòñÿ òîðîì ñ äûðêîé, àíàëîãè÷åí ñëó÷àþ ñâÿçíîãîìíîæåñòâà M \ M̃ . Ëåììà 4.2 äîêàçàíà.Ëåììà 4.3.

Ïóñòü M1 è M2 êîìïàêòíûå ïîâåðõíîñòè ñ êðàåì, ïîâåðõíîñòü M ïî-ëó÷àåòñÿ èç M1 è M2 ñêëåèâàíèåì âäîëü îäíîé ãðàíè÷íîé îêðóæíîñòè ω . Çàìêíóòàÿ(i)(i)êðèâàÿ γ (i) = γ1 ·γ2 , i = 1, 2, ïîëó÷àåòñÿ îáúåäèíåíèåì çàìêíóòûõ êðèâûõ γ1 : S 1 → M1(1)è γ2 : S 1 → M2 . Ïóñòü êðèâûå γ1(2)è γ1íå ãîìîòîïíû êàê ïåòëè ñ ôèêñèðîâàííûìè50êîíöàìè â M1 , à êðèâûå γ2 è ω k íåãîìîòîïíû êàê ïåòëè ñ ôèêñèðîâàííûìè êîíöàìè âM2 íè ïðè êàêîì öåëîì k (â ÷àñòíîñòè, γ2 íåñòÿãèâàåìà).

Òîãäà(a) êðèâûå γ (1) è γ (2) íå ãîìîòîïíû êàê ñâîáîäíûå ïåòëè â M ;(b) êðèâàÿ γ (1) íå ãîìîòîïíà íèêàêîé çàìêíóòîé êðèâîé â M1 .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî γ (1) è γ (2) ãîìîòîïíû êàê ñâîáîäíûå ïåòëè. Òîãäàîíè ñîïðÿæåíû êàê ýëåìåíòû π1 (M ). Èç óòâåðæäåíèÿ 2 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ íåêîòîðûõ öåëûõ(1)(2)m è n â π1 (M1 ) âûïîëíåíî ðàâåíñòâî γ1(1)ω −n γ2 ω m . Åñëè m = n = 0, òî γ1= ω −m γ1 ω n , à â π1 (M2 ) ðàâåíñòâî γ2 =(2)è γ1ãîìîòîïíû êàê êðèâûå ñ ôèêñèðîâàííûìèêîíöàìè, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ. Çíà÷èò, ÷èñëà m è n íå ðàâíû îäíîâðåìåííî íóëþ.Âûáåðåì â M2 îáðàçóþùèå òàê, ÷òîáû ω áûëà îäíîé èç íèõ.

Òîãäà çàïèñè êðèâûõ γ2 èω −n γ2 ω m ÷åðåç îáðàçóþùèå ãðóïïû π1 (M2 ) çàâåäîìî ðàçëè÷íû.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî γ (1) ãîìîòîïíà íåêîòîðîé êðèâîé β â M1 . Ñòÿíåì ïîâåðõíîñòü M1â òî÷êó. Ïîëó÷èì, ÷òî êðèâàÿ γ2 ñòÿãèâàåìà â ïîâåðõíîñòè M2 /ω . Ñëåäîâàòåëüíî, êðèâàÿγ2 ãîìîòîïíà ñòåïåíè ω â M2 , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ ëåììû.

Ëåììà 4.3 äîêàçàíà.Ñëåäñòâèå 4.1. Ïóñòü ðåáðî ei ãðàôà Θ ÿâëÿåòñÿ ìîñòîì. Òîãäà íàéäåòñÿ êðèâàÿ γ̂i ∈πM , íå ïåðåñåêàþùàÿ γj ïðè j 6= i, òàêàÿ, ÷òî êðèâûå γ̂i è tkγi γ̂i , k 6= 0, çàäàþò ðàçíûåýëåìåíòû â πM . Áîëåå òîãî, ëþáàÿ êðèâàÿ èç πM , íå ïåðåñåêàþùàÿ γi , çàäàåò ýëåìåíòπM , îòëè÷íûé îò γ̂i .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ðåáðî ei âåäåò â âåðøèíó ñòåïåíè 1. Òîãäà ñëåäñòâèå 4.1 ñðàçóïîëó÷àåòñÿ èç ëåììû 4.2.Ïóñòü êàæäàÿ âåðøèíà ðåáðà ei èìååò ñòåïåíü 3.

Êðèâàÿ γi ðàçáèâàåò ïîâåðõíîñòüM íà äâå ïîâåðõíîñòè M1 è M2 . Ðàññìîòðèì çàìêíóòûå êðèâûå γ̃1 è γ̃2 â ïîâåðõíîñòÿõM1 è M2 ñîîòâåòñòâåííî, ïîëó÷àåìûå ïî ëåììå 4.2, à òàêæå çàìêíóòóþ êðèâóþ γ̂i =γ̃1 · γ̃2 . Ñ÷èòàåì, ÷òî íîñèòåëü ñêðó÷èâàíèÿ Äýíà tγi ëåæèò â M1 . Ñîãëàñíî ëåììå 4.3(a),ïðèìåíåííîé ê êðèâûì γ̃1 è tkγi γ̃1 â ïîâåðõíîñòè M1 è ê êðèâîé γ̃2 â ïîâåðõíîñòè M2 ,ñâîáîäíûå ïåòëè γ̂i è tkγi γ̂i , k 6= 0, íå ãîìîòîïíû. Íåãîìîòîïíîñòü γ̂i è ëþáîé êðèâîé,íåïåðåñåêàþùåé γi , ñðàçó ñëåäóåò èç ëåììû 4.3(b). Ñëåäñòâèå 4.1 äîêàçàíî.4.5Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4.1 äëÿ îðèåíòèðóåìîé ïîâåðõíîñòèMÄîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî ðåáðà ei íàéäåòñÿ êðèâàÿ γ̂i ∈ πM , íå ïåðåñåêàþùàÿγj ïðè j 6= i, òàêàÿ ÷òî êðèâûå γ̂i è tkγi γ̂i íå ãîìîòîïíû ïðè k 6= 0. Åñëè ðåáðî ei ÿâëÿåòñÿ51ìîñòîì, òî ýòî óòâåðæäåíèå äîêàçàíî â ñëåäñòâèè 4.1.

Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ðåáðî eiíå ÿâëÿåòñÿ ìîñòîì.Ïîñòðîèì ñâÿçíîå äâóëèñòíîå íàêðûòèå Θ̄ ãðàôà Θ. Ðàññìîòðèì äâå êîïèè ãðàôà Θ.Óäàëèì îáå êîïèè v10 v20 è v100 v200 ðåáðà ei è äîáàâèì ðåáðà v10 v200 è v100 v20 . Òàê êàê ðåáðî eiíå ÿâëÿåòñÿ ìîñòîì ñâÿçíîãî ãðàôà Θ, ïîëó÷åííûé ãðàô Θ̄ òàêæå áóäåò ñâÿçíûì. Íàãðàôå Θ̄ åñòåñòâåííûì îáðàçîì îïðåäåëåíî îòîáðàæåíèå p : Θ̄ → Θ, çàäàþùåå ñòðóêòóðóäâóëèñòíîãî íàêðûòèÿ.Íåïðåðûâíàÿ ñþðúåêöèÿ ξ : MΘ → Θ èíäóöèðóåò àññîöèèðîâàííîå äâóëèñòíîå íàêðûòèå p∗ : MΘ̄ → MΘ è îòîáðàæåíèå ξΘ̄ : MΘ̄ → Θ̄.

Çäåñü ïîâåðõíîñòü MΘ̄ ÿâëÿåòñÿïîâåðõíîñòüþ, ïîñòðîåííîé ïî ãðàôó Θ̄ àíàëîãè÷íî ïîâåðõíîñòÿì MΘ0 äëÿ òîïîëîãè÷åñêèõ ïîäãðàôîâ Θ0 ⊂ Θ.(1)Ïóñòü ei(2)è ei(1) äâà ðåáðà ãðàôà Θ̄, íàêðûâàþùèå ðåáðî ei ⊂ Θ. Òîãäà ðåáðî ei(2)ÿâëÿåòñÿ ìîñòîì òîïîëîãè÷åñêîãî ïîäãðàôà Θ̄0 = Θ̄\ei (óêàçàíî ðàâåíñòâî ïîäìíîæåñòâΘ̄ êàê òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ). Ðàññìîòðèì êðèâóþ γ̂i,Θ̄0 ∈ πMΘ̄0 , ïîñòðîåííóþ ïîñëåäñòâèþ 4.1.

Ìàëîé ãîìîòîïèåé ìîæíî äîáèòüñÿ, ÷òîáû êðèâàÿ γ̂i,Θ̄0 íå ïðîõîäèëà ÷åðåç äâóõòî÷å÷íîå ìíîæåñòâî MΘ̄0 \ M̃Θ̄0 . Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ýòà êðèâàÿñîâïàäàåò ñ íåêîòîðîé êðèâîé γ̂i,Θ̄ íà ïîâåðõíîñòè M̃Θ̄0 ⊂ MΘ̄ .Îáîçíà÷èì γ̂i = p∗ ◦ γ̂i,Θ̄ ∈ πM . Ïî ïîñòðîåíèþ ýòà êðèâàÿ íå ïåðåñåêàåò îêðóæíîñòèγj ïðè j 6= i. Äîêàæåì, ÷òî êðèâûå γ̂i è tkγi γ̂i íå ãîìîòîïíû ïðè k 6= 0. Ïðåäïîëîæèìïðîòèâíîå. Èñïîëüçóÿ òåîðåìó î íàêðûâàþùåé ãîìîòîïèè, ïîäíèìåì ãîìîòîïèþ êðèâûõγ̂i è tkγi γ̂i äî ãîìîòîïèè êðèâûõ â MΘ̄ .

Ïîëó÷èòñÿ ãîìîòîïèÿ êðèâûõ γ̂i,Θ̄ è tkγi,Θ̄ γ̂i,Θ̄ . Ïîñëå âçÿòèÿ íåïðåðûâíîãî îòîáðàæåíèÿ λΘ̄0 : MΘ̄ → MΘ̄0 áóäåì èìåòü ãîìîòîïèþ êðèâûõγ̂i,Θ̄0 è tkγi,Θ̄ γ̂i,Θ̄0 , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò âûáîðó êðèâîé γ̂i,Θ̄0 . Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêà0çûâàåò íåãîìîòîïíîñòü êðèâûõ γ̂i è tkγi γ̂i . Òåîðåìà 4.1 äëÿ îðèåíòèðóåìîé ïîâåðõíîñòè Mäîêàçàíà.Òåïåðü äîêàæåì, ÷òî êðèâàÿ γ̂i íå ãîìîòîïíà íèêàêîé êðèâîé tkγj γ̂j , j 6= i, k ∈ Z.Ýòî ïîíàäîáèòñÿ ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû äëÿ íåîðèåíòèðóåìîé ïîâåðõíîñòè M . Ïîïîñòðîåíèþ tkγj γ̂j íå ïåðåñåêàåò γi . Åñëè ðåáðî ei ÿâëÿåòñÿ ìîñòîì, òî íåãîìîòîïíîñòü γ̂iè tkγj γ̂j ñðàçó ïîëó÷àåòñÿ èç ñëåäñòâèÿ 4.1. Ïóñòü äàëåå ei íå ìîñò. Åñëè êðèâûå γ̂i è tkγj γ̂jãîìîòîïíû, òî ãîìîòîïíû è íàêðûâàþùèå èõ êðèâûå γ̂i,Θ̄ è β , ãäå β îäíà èç äâóõ êðèâûõ,íàêðûâàþùèõ tkγj γ̂j .

Òîãäà ãîìîòîïíû êðèâûå γ̂i,Θ̄0 = λ ◦ γ̂i,Θ̄ è λ ◦ β , ÷òî íåâåðíî, ñîãëàñíîñëåäñòâèþ 4.1.524.6Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4.1 äëÿ íåîðèåíòèðóåìîé ïîâåðõíîñòèMÏóñòü M íåîðèåíòèðóåìàÿ ïîâåðõíîñòü. Êàæäàÿ êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ìíîæåñòâàM \ ∪i γi ÿâëÿåòñÿ ëèáî ñôåðîé ñ òðåìÿ äûðêàìè, ëèáî îòêðûòûì öèëèíäðîì ñ ïëåíêîé Ìåáèóñà, ëèáî îòêðûòûì äèñêîì ñ äâóìÿ ïëåíêàìè Ìåáèóñà.  êàæäîé íåîðèåíòèðóåìîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè ìíîæåñòâà M \ ∪i γi âûáåðåì îäíó èëè äâå îêðóæíîñòè ωk ,äîïîëíåíèå äî êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ñôåðîé ñ òðåìÿ äûðêàìè (îêðóæíîñòè ωk ñîîòâåòñòâóþòïëåíêàì Ìåáèóñà).Ðàññìîòðèì îðèåíòèðóåìîå äâóëèñòíîå íàêðûòèå p : M̄ → M ïîâåðõíîñòè M . Êàæäàÿ(1)îêðóæíîñòü γi ñîõðàíÿåò îðèåíòàöèþ, à çíà÷èò, íàêðûâàåòñÿ äâóìÿ îêðóæíîñòÿìè γi(2)γi .èÊàæäàÿ îêðóæíîñòü ωk ìåíÿåò îðèåíòàöèþ, à çíà÷èò, íàêðûâàåòñÿ îäíîé îêðóæíî-ñòüþ ω̄k .