Погружения графов в поверхности, страница 7

Îòðåçîê, äåëàþùèé k îáîðîòîâ â öèëèíäðå ìîæíî ðåãóëÿðíî ïðîãîìîòîïèðîâàòü â îòðåçîê,28èäóùèé ïî ðàäèóñó ìåæäó îñíîâàíèÿìè, ñ k ïåòëÿìè (ïðè ýòîé ãîìîòîïèè êîíöû îòðåçêàíè â êàêîé ìîìåíò âðåìåíè íå ñòàíîâÿòñÿ êàñàòåëüíûìè ê îñíîâàíèÿì öèëèíäðà). Åñëè îïîðíûé öèêë Ci ìåíÿåò îðèåíòàöèþ, òî ïåòëè íà ãðàíè÷íûõ îòðåçêàõ îäíîãî ðåáðàei îðèåíòèðîâàíû ïðîòèâîïîëîæíî, ïîýòîìó ìîæíî ïåòëè ñ îäíîãî êîíöà ei ïðîíåñòè íàäðóãîé êîíåö âäîëü ðåáðà.

Ïàðû ïðîòèâîïîëîæíî îðèåíòèðîâàííûõ ïåòåëü óáèðàþòñÿðåãóëÿðíîé ãîìîòîïèåé. Åñëè îïîðíûé öèêë Ci ìåíÿåò îðèåíòàöèþ, òî(5)(4)(4)(4)dωX (f1 , O1,f (4) (wi ) , f1 , f1 (wi ), f1 |0Ci (wi )) = 01îçíà÷àåò îòñóòñòâèå ïåòåëü. Ïîëó÷åííîå ïîñëå óáèðàíèÿ ïåòåëü îòîáðàæåíèå ñîâïàäàåò ñ(4)f2 . Òàêèì îáðàçîì, êóñî÷íî-ðåãóëÿðíàÿ ãîìîòîïíîñòü îòîáðàæåíèé f1 è f2 äîêàçàíà.3Êëàññèôèêàöèÿ ïîãðóæåíèé ãðàôîâ â ïîâåðõíîñòè ñòî÷íîñòüþ äî ðåãóëÿðíîé ãîìîòîïèè3.1Îïðåäåëåíèå èíâàðèàíòàÊàê è ðàíåå, M ãëàäêàÿ ñâÿçíàÿ êîìïàêòíàÿ ñâÿçíàÿ ïîâåðõíîñòü, îòëè÷íàÿ îò RP2 .Ïîâåðõíîñòü M ìîæåò áûòü îðèåíòèðóåìîé èëè íåîðèåíòèðóåìîé, çàìêíóòîé èëè ñ êðàåì.Ïðîåêöèè pM : T M → M , pM,1 : T 1 M → M è p1 : T 0 M → T 1 M îïðåäåëåíû â ðàçäåëå 1.1.Îïðåäåëåíèå ωX (ξ, Ox0 , θx0 ). Ïóñòü S ãðàô, ÿâëÿþùèéñÿ îðèåíòèðîâàííûì ïðî-ñòûì öèêëîì ñ âûäåëåííîé òî÷êîé 0. Ïóñòü íà ïîâåðõíîñòè M äàíî âåêòîðíîå ïîëå X èêóñî÷íî-ðåãóëÿðíîå îòîáðàæåíèå ξ : S → T M òàêèå, ÷òî pM (ξ(0)) = x0 è ξ(0) = X(x0 ) äëÿíåêîòîðîé òî÷êè x0 ∈ M , è îáðàç pM ◦ ξ íå ñîäåðæèò íóëè âåêòîðíîãî ïîëÿ X .

Ïóñòü Ox0 íåêîòîðàÿ ëîêàëüíàÿ îðèåíòàöèÿ â òî÷êå x0 . Ïóñòü θx0 : [0, 1] → T 1 M íåêîòîðûé ïóòüâ ñëîå p−1M,1 (x0 ), ñîåäèíÿþùèé íåïðåðûâíî òî÷êè θx0 (0) = p1 (X(x0 )) è θx0 (1) = p1 (ξ(0)).Îïðåäåëèì ÷èñëî âðàùåíèÿ ωX (ξ, Ox0 , θx0 ) = ωX (ξ, Ox0 , x0 , ξ(x0 ), θx0 ). Îïðåäåëåíèå áóäåòýêâèâàëåíòíî ïðèâåäåííîìó â ðàçäåëå 1.1, íî êîðî÷å è óäîáíåå äëÿ äàííîé ñòàòüè. Äëÿêðàòêîñòè ìû áóäåì îïóñêàòü x0 è ξ(x0 ) â îáîçíà÷åíèè ÷èñëà âðàùåíèÿ.Ïîñòðîèì ðåãóëÿðèçàöèþ ξθ∗ : S → T 1 M êàê â ðàçäåëå 1.1, øàã 1 îïðåäåëåíèÿ ÷èñëàωX (f, Ox0 , x0 , f (x0 ), θx0 ).

Ðàññìîòðèì ñëîé h = p−1M,1 (x0 ) åäèíè÷íîãî êàñàòåëüíîãî ðàññëîåíèÿ T 1 M íàä òî÷êîé x0 . Ëîêàëüëíàÿ îðèåíòàöèÿ Ox0 çàäàåò îðèåíòàöèþ íà h. Çàìåòèì,÷òî ξθ∗ (1) = ξθ∗ (0) = p1 (X(x0 )) = p1 (X(pM,1 (ξθ∗ (0)))) = p1 (X(pM,1 (ξθ∗ (1)))). Ñëåäîâàòåëüíî,îïðåäåëåíà çàìêíóòàÿ êðèâàÿ g = ξθ∗ · (p1 ◦ X ◦ pM,1 ◦ ξθ∗ )−1 , ãäå (p1 ◦ X ◦ pM,1 ◦ ξθ∗ )−1 îáî29çíà÷àåò ïóòü p1 ◦ X ◦ pM,1 ◦ ξθ∗ , ïðîéäåííûé â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè.

Çàìêíóòûé ïóòüpM,1 ◦ g = pM,1 ◦ ξθ∗ · (pM,1 ◦ ξθ∗ )−1 ñòÿãèâàåì îòíîñèòåëüíî íà÷àëüíîé òî÷êè, ñëåäîâàòåëüíî gãîìîòîïåí hm îòíîñèòåëüíî p1 (X(x0 )) äëÿ íåêîòîðîãî m ∈ Z. Îïðåäåëèì ÷èñëî âðà÷åíèÿωX (ξ, Ox0 , θx0 ) = m.Ïîêàæåì, ÷òî ÷èñëî âðàùåíèÿ îïðåäåëåíî îäíîçíà÷íî.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåòãîìîòîïèÿ ξt ìåæäó ñòåïåíÿìè ñëîÿ hm è hn , m, n ∈ Z, îòíîñèòåëüíî âûäåëåííîé òî÷êè. Ïóñòü M̃ óíèâåðñàëüíîå íàêðûòèå ïîâåðõíîñòè M . Òîãäà T 1 M̃ ÿâëÿåòñÿ íàêðûòèåìT 1 M , â êîòîðîì ñëîé h íàêðûâàåòñÿ íåñâÿçíûì îáúåäèíåíèåì çàìêíóòûõ êðèâûõ. Ïóñòüh̃ îäíà èç òàêèõ êðèâûõ. Ãîìîòîïèÿ ξt ïîäíèìàòåñÿ äî ãîìîòîïèè â T 1 M̃ , ïðåîáðàçóþùåé h̃m â h̃n . Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ãðóïïà π1 (T 1 M̃ , h̃(0)) ∼= Z ïîðîæäàåòñÿ ýëåìåíòîì [h̃],ñëåäîâàòåëüíî m = n.Ïîêàæåì ýêâèâàëåíòíîñòü îïðåäåëåíèþ èç ðàçäåëà 1.1 (èñïîëüçóÿ ââåäåííûå òàì îáîçíà÷åíèÿ).  ðàçäåëå 1.1 ÷èñëî âðàùåíèÿ îïðåäåëÿëîñü êàê ñòåïåíü m â ðàçëîæåíèè[Z f ] = bm [X f ], èëè [Z f ·(X f )−1 ] = bm . Çàìåòèì, ÷òî F] (b) = [h], F (Z f ) = ξθ∗ , F (X f ) = p1 ◦X ◦pM,1 ◦ ξθ∗ , ñëåäîâàòåëüíî âûïîëíÿåòñÿ [ξθ∗ · (p1 ◦ X ◦ pM,1 ◦ ξθ∗ )−1 ] = [hm ] ∈ π1 (T 1 M, p1 (X(x0 )))äëÿ òîãî æå çíà÷åíèÿ m.

Ýêâèâàëåíòíîñòü äîêàçàíà.×èñëàN (γ1 , O1 , γ2 , O2 , x),N (γ1 , O1 , γ2 , γt (0), x),dωX (f1 , O1 , f2 , O2 ),dωX (f1 , O1 , f2 , δ, f1 (0))îïðåäåëåíû â ðàçäåëå 1.1. Áóäåì èñïîëüçîâàòü ñîêðàùåííûå îáîçíà÷åíèÿ:N (γ1 , O1 , γ2 , x) = N (γ1 , O1 , γ2 , γ1 (0), x)â ñëó÷àå ïîñòîÿííîãî ïóòè γt (0) èdωX (f1 , O1 , f2 ) = dωX (f1 , O1 , f2 , pM (f1 (0)), f1 (0))â ñëó÷àå ïîñòîÿííîãî ïóòè δ .Ïóñòü G êîíå÷íûé ñâÿçíûé ãðàô, v íåêîòîðàÿ âåðøèíà, T îñòîâíîå äåðåâî, èðåáðà âíå T íå ÿâëÿþòñÿ ïåòëÿìè è ñîåäèíÿþò ëèñòüÿ äåðåâà T . Áóäåì íàçûâàòü îðè-åíòèðîâàííûì êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûì ïîãðóæåíèåì ïàðó (f, O) êóñî÷íî-ðåãóëÿðíîãî ïîãðóæåíèÿ f : G → M è ëîêàëüíîé îðèåíòàöèè O â òî÷êå f (v).

Äâà îðèåíòèðîâàííûõêóñî÷íî-ðåãóëÿðíûõ ïîãðóæåíèÿ (f1 , O1 ) è (f2 , O2 ) áóäåì íàçûâàòü (ðåãóëÿðíî) ãîìîòîï-íûìè, åñëè ñóùåñòâóåò (ðåãóëÿðíàÿ) ãîìîòîïèÿ, ïðåîáðàçóþùàÿ f1 â f2 è O1 â O2 .30Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ëîêàëüíîé îðèåíòàöèè O îáîçíà÷èì −O ïðîòèâîïîëîæíóþ ëîêàëüíóþ îðèåíòàöèþ. Äëÿ îðèåíòèðîâàííîãî êóñî÷íî-ðåãóëÿðíîãî ïîãðóæåíèÿ (f, O) è ïðîèçâîëüíîé âåðøèíû u ∈ G îáîçíà÷èì Of,u ëîêàëüíóþ îðèåíòàöèþ â òî÷êå f (u), ïåðåíåñåííóþ èç f (v) âäîëü f |T .Äëÿ êàæäîé âåðøèíû u ãðàôà G îáîçíà÷èì Sdeg(u)−1 ìíîæåñòâî öèêëè÷åñêèõ ïåðåñòàíîâîê âûõîäÿùèõ èç âåðøèíû u ðåáåð, ñîñòîÿùåå èç (deg(u) − 1)! ýëåìåíòîâ. ÐàññìîòðèìQìíîæåñòâî u∈G Sdeg(u)−1 öèêëè÷åñêèõ ïîðÿäêîâ âî âñåõ âåðøèíàõ ãðàôà G. Äëÿ êàæäîQãî ýëåìåíòà s ìíîæåñòâà u∈G Sdeg(u)−1 îïðåäåëåí ýëåìåíò −s, ñîñòîÿùèé èç öèêëè÷åñêèõïîðÿäêîâ, îáðàòíûõ çàäàâàåìûì ýëåìåíòîì s.

Åñëè â ãðàôå G åñòü âåðøèíà ñòåïåíè íåìåíåå 3, òî ýëåìåíòû s è −s ðàçëè÷íû. Åñëè â ãðàôå G ñòåïåíè âñåõ âåðøèí íå áîëåå 2,òî s è −s ñîâïàäàþò, è F0 ñîäåðæèò åäèíñòâåííûé ýëåìåíò f0 , O0 .QÍàçîâåì áàçèñíûì íàáîðîì F0 = {(fs , Os ) | s ∈ u∈G Sdeg(u)−1 } íàáîð ïîïàðíî ãîìîòîïíûõ îðèåíòèðîâàííûõ êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûõ ïîãðóæåíèé (fs , Os ) ñî ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:1. äëÿ êàæäîãî s ∈Qu∈GSdeg(u)−1 íàáîð öèêëè÷åñêèõ ïîðÿäêîâ ðåáåð, âûõîäÿùèõ èçêàæäîé âåðøèíû u, ïðè ïîãðóæåíèè fs îòíîñèòåëüíî ëîêàëüíîé îðèåíòàöèè Osfs ,u ,ñîâïàäàåò ñ ïîðÿäêîì, îïðåäåëÿåìûì ýëåìåíòîì s,2.

îáðàçû fs íå ñîäåðæàò íóëè âåêòîðíîãî ïîëÿ X ,3. åñëè (fs , Os ) è (f−s , O−s ) ãîìîòîïíû è â ãðàôå G åñòü âåðøèíà ñòåïåíè íå ìåíåå 3,òî fs ≡ f−s è O−s = −Os .Îáîçíà÷èì [F0 ] ìíîæåñòâî îðèåíòèðîâàííûõ êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûõ ïîãðóæåíèé ãîìîòîïíûõ ýëåìåíòàì F0 .Îïðåäåëåíèå îïîðíîãî öèêëà Ci äàíî â ðàçäåëå 2.2. Îáîçíà÷èì Co è Cn ìíîæåñòâàîïîðíûõ öèêëîâ â ãðàôå G, íà êîòîðûõ ýëåìåíòû fs ñîõðàíÿþò è ìåíÿþò îðèåíòàöèþñîîòâåòñòâåííî. Îáîçíà÷èì |Co | è |Cn | ìîùíîñòè ýòèõ ìíîæåñòâ.Îïðåäåëåíèå invX,F0 . Îïðåäåëèì èíâàðèàíò ðåãóëÿðíîé ãîìîòîïèè îðèåíòèðîâàí-íûõ êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûõ ïîãðóæåíèé!invX,F0 : [F0 ] →YSdeg(u)−1× Z|Co | × Z|Cn | /2Z ,M 6= S 2 ,u∈G!invX,F0 : [F0 ] →YSdeg(u)−1u∈G31|C |× Z2 o ,M = S 2.×åðåç Z|Cn | /2Z îáîçíà÷åíî ìíîæåñòâî âåêòîðîâ èç Nn öåëûõ ÷èñåë ñ òî÷íîñòüþ äî ïðèáàâëåíèÿ îäèíàêîâîãî ÷åòíîãî ÷èñëà êî âñåì êîîðäèíàòàì.

Ïðè |Cn | > 0 èìååì Z|Cn | /2Z ∼=Z2 × Z|Cn |−1 , ïðè |Cn | = 0 ìíîæåñòâî Z|Cn | /2Z ÿâëÿåòñÿ îäíîýëåìåíòíûì.Ñîñòàâèì èíâàðèàíò êàê âåêòîð ñ òðåìÿ êîîðäèíàòíûìè îòîáðàæåíèÿìè:32(f, O)).(f, O), invX,FinvX,F0 (f, O) = (inv 1 (f, O), invX,F0023Òàêæå ïðåäñòàâèì invX,F(f, O) è invX,F(f, O) ÷åðåç èõ êîîðäèíàòû:002,i2(f, O) = {invX,F(f, O) | Ci ∈ Co },invX,F003,i3invX,F(f, O) = {invX,F(f, O) | Ci ∈ Cn }.002,iÎáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî îòîáðàæåíèÿ invX,F(f, O) èíäåêñèðóþòñÿ íîìåðàìè öèê03,iëîâ, íà êîòîðûõ ïîãðóæåíèÿ fs , (f0,s , Os ) ∈ F0 , ñîõðàíÿþò îðèåíòàöèþ, à invX,F(f, O) 0íîìåðàìè öèêëîâ, íà êîòîðûõ f0,s ìåíÿþò îðèåíòàöèþ.Ïîëîæèì inv 1 (f, O) ðàâíûì íàáîðó öèêëè÷åñêèõ ïîðÿäêîâ ðåáåð, âûõîäÿùèõ èç êàæäîé âåðøèíû u, îòíîñèòåëüíî îðèåíòàöèè Of,u .Íàçîâåì îïîðíîé âåðøèíîé wi áëèæàéøóþ ê v âåðøèíó îïîðíîãî öèêëà Ci âäîëü äåf1inv (f,O)ðåâà T . Áóäåì ñîêðàùàòü îáîçíà÷åíèå O(f,O),wi = Oinv1 (f,O),wi.

Ïîëîæèì2,iinvX,F(f, O) = dωX (finv1 (f,O) |Ci , O(f,O),wi , f |Ci , Of,wi ),0Ci ∈ Co .Ïóñòü îðèåíòèðîâàííûå êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûå ïîãðóæåíèÿ (f1 , O1 ) è (f2 , O2 ) ãîìîòîïíû è inv 1 (f1 , O1 ) = inv 1 (f2 , O2 ). Îáîçíà÷èì f˜f1 ,O1 ,f2 ,O2 ïðîèçâîëüíîå êóñî÷íî-ðåãóëÿðíîåïîãðóæåíèå, äëÿ êîòîðîãî• (f˜f1 ,O1 ,f2 ,O2 , O2 ) ðåãóëÿðíî ãîìîòîïíî (f1 , O1 ),• f˜f1 ,O1 ,f2 ,O2 |T = f2 |T ,• f˜f1 ,O1 ,f2 ,O2 ãîìîòîïíî f2 îòíîñèòåëüíî òî÷êè f2 (v).Îáîçíà÷èì f˜f,O,F0 = f˜f,O,finv1 (f,O) ,Oinv1 (f,O) . Ïîëîæèì3,iinvX,F(f, O) = dωX (finv1 (f,O) |Ci , O(f,O),wi , f˜f,O,F0 |Ci ),0Ci ∈ Cn .3 îïðåäåëåíèè invX,F(f, O) âûáîð f˜f,O,F0 ÿâëÿåòñÿ íåîäíîçíà÷íûì. Ïóñòü f˜1 è f˜20 äâà ïîãðóæåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèõ îïðåäåëåíèþ f˜f,O,F0 . Îðèåíòèðîâàííûå êóñî÷íîðåãóëÿðíûå ïîãðóæåíèÿ f˜1 , Oinv1 (f,O) è f˜2 , Oinv1 (f,O) ðåãóëÿðíî ãîìîòîïíû, ñëåäîâàòåëüíî,ñîãëàñíî Òåîðåìå 2.2, ÷èñëîdωX (f˜1 |Ci , O(f,O),wi , f˜2 |Ci )32îäèíàêîâî è ÷åòíî äëÿ âñåõ Ci ∈ Cn .

ÈçdωX (f˜1 |Ci , O(f,O),wi , f˜2 |Ci )= dωX (finv1 (f,O) |Ci , O(f,O),wi , f˜2 |Ci ) − dωX (finv1 (f,O) |Ci , O(f,O),wi , f˜1 |Ci )ïîëó÷àåì, ÷òî ÷èñëà dωX (finv1 (f,O) |Ci , O(f,O),wi , f˜f,O,F0 |Ci ) îïðåäåëåíû ñ òî÷íîñòüþ äî ïðè3áàâëåíèÿ îäèíàêîâîãî ÷åòíîãî ÷èñëà. Ñëåäîâàòåëüíî, invX,F(f, O) îäíîçíà÷íî çàäàåò ýëå0ìåíò Z|Cn | /2Z. Îïðåäåëåíèå èíâàðèàíòà invX,F0 çàâåðøåíî.3.2Ôîðìóëèðîâêà ðåçóëüòàòîâÒåîðåìà 3.1. Ïóñòü M êîìïàêòíàÿ ñâÿçíàÿ ïîâåðõíîñòü, îòëè÷íàÿ îò RP 2 . ÏóñòüG ñâÿçíûé ãðàô, v íåêîòîðàÿ âåðøèíà, T îñòîâíîå äåðåâî.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðåáðàâíå T íå ÿâëÿþòñÿ ïåòëÿìè è ñîåäèíÿþò ëèñòüÿ äåðåâà T . Ïóñòü X âåêòîðíîå ïîëåíà M áåç íóëåé â ñëó÷àå, êîãäà M òîð, áóòûëêà Êëåéíà èëè ïîâåðõíîñòü ñ êðàåì, è ñåäèíñòâåííûì íóëåì x ∈ M â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ. Ïóñòü äàíû áàçèñíûé íàáîð F0 îðèåíòèðîâàííûõ êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûõ ïîãðóæåíèé è îðèåíòèðîâàííûå êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûåïîãðóæåíèÿ (f1 , O1 ) è (f2 , O2 ), ãîìîòîïíûå ýëåìåíòàì F0 , äëÿ êîòîðûõ îáðàçû f1 è f2íå ñîäåðæàò x. Òîãäà (f1 , O1 ) è (f2 , O2 ) ðåãóëÿðíî ãîìîòîïíû òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà invX,F0 (f1 , O1 ) = invX,F0 (f2 , O2 ).

Îòîáðàæåíèå inv ñþðúåêòèâíî.Òåîðåìà 3.2. Ïóñòü M , G, T , X , F0 , fi , Oi , i = 1, 2, êàê â òåîðåìå 3.1. Ïóñòü f2 = f1è O2 = −O1 . Îáîçíà÷èì (f0 , O0 ) = (finv1 (f1 ,O1 ) , Oinv1 (f1 ,O1 ) ) ∈ F0 .Åñëè â ãðàôå G åñòü âåðøèíà ñòåïåíè íå ìåíåå 3, òî(3.1)inv 1 (f1 , −O1 ) = −inv 1 (f1 , O1 ),2,i2,iinvX,F(f1 , −O1 ) = −invX,F(f1 , O1 ),00Ci ∈ Co ,(3.2)3,i3,i(f1 , O1 ),invX,F(f1 , −O1 ) = −invX,F00Ci ∈ Cn .(3.3)Åñëè ãðàô G ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì öèêëîì è f1 ñîõðàíÿåò îðèåíòàöèþ, òî îáðàçû inv 13è invX,F, Ci ∈ Co òàêîå,ÿâëÿþòñÿ îäíîýëåìåíòíûìè, è ñóùåñòâóåò öåëîå ÷èñëî Kf2,i00 ,O0÷òî âûïîëíåíî2,i2,iinvX,F(f1 , −O1 ) = −invX,F(f1 , O1 ) + 2Kf20 ,O0 ,0033Ci ∈ Co .(3.4)×èñëî Kf20 ,O0 íå çàâèñèò îò (f1 , O1 ) è îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (3.5).

Ìîæíî âûáðàòüîðèåíòèðîâàííîå êóñî÷íî-ðåãóëÿðíîå ïîãðóæåíèå (f0 , O0 ) â äàííîì êëàññå ãîìîòîïíîñòè òàê, ÷òî ÷èñëî Kf20 ,O0 áóäåò ïðèíèìàòü ëþáîå íàïåðåä çàäàííîå çíà÷åíèå, â ò.÷.íóëåâîå.Åñëè ãðàô G ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì öèêëîì è f1 ìåíÿåò îðèåíòàöèþ, òî îáðàçû inv 1 è2invX,Fÿâëÿþòñÿ îäíîýëåìåíòíûìè, è âûïîëíåíî óñëîâèå (3.3).0¨ X,F0 . Îáîçíà÷èì [F0 ]] ìíîæåñòâî êóñî÷íî ðåãóëÿðíûõ ïîãðóæåíèéÎïðåäåëåíèå invãîìîòîïíûõ fs , ãäå (fs , Os ) ∈ F0 . Îïðåäåëèì èíâàðèàíò ðåãóëÿðíîé ãîìîòîïèè êóñî÷íîðåãóëÿðíûõ ïîãðóæåíèé¨ X,F0 (f1 ) = {invX,F0 (f1 , O1 ) | (f1 , O1 ) ∼ (fs , Os )},invãäå ìíîæåñòâî áåðåòñÿ äëÿ òåõ ëîêàëüíûõ îðèåíòàöèé O1 â òî÷êå f1 (v), äëÿ êîòîðûõ îðèåíòèðîâàííîå êóñî÷íî-ðåãóëÿðíîå ïîãðóæåíèå (f1 , O1 ) ãîìîòîïíî ïðîèçâîëüíîìó (fs , Os )èç F0 .Ïóñòü M 6= S 2 , RP2 .