Погружения графов в поверхности

Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èìåíè Ì.Â. ËîìîíîñîâàÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÍà ïðàâàõ ðóêîïèñèÓÄÊ 515.162.6Ïåðìÿêîâ Äìèòðèé Àëåêñååâè÷Ïîãðóæåíèÿ ãðàôîâ â ïîâåðõíîñòè01.01.04 ãåîìåòðèÿ è òîïîëîãèÿÄèññåðòàöèÿíà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÍàó÷íûå ðóêîâîäèòåëè:àêàäåìèê ÐÀÍ,ïðîôåññîð À.Ò. Ôîìåíêî,ê.ô.ì.í. Å.À. ÊóäðÿâöåâàÌîñêâà 2016ÑîäåðæàíèåÂâåäåíèå31×èñëî âðàùåíèÿ: îïðåäåëåíèÿ è ïðåäâàðèòåëüíûå ðåçóëüòàòû71.1Îïðåäåëåíèÿ .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71.2Ëåììû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132345Ðåãóëÿðíàÿ ãîìîòîïíîñòü ïîãðóæåíèé ãðàôîâ â ïîâåðõíîñòè172.1Êëàññèôèêàöèÿ ïîãðóæåíèé ãðàôîâ â ïëîñêîñòü . . . . . .

. . . . . . . . .172.2Ôîðìóëèðîâêà ðåçóëüòàòà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182.3Ãîìîòîïíîñòü ãðàôîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202.4Íåîáõîäèìîñòü â Òåîðåìå 2.2 . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212.5Äîñòàòî÷íîñòü â Òåîðåìå 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25Êëàññèôèêàöèÿ ïîãðóæåíèé ãðàôîâ â ïîâåðõíîñòè ñ òî÷íîñòüþ äî ðåãóëÿðíîé ãîìîòîïèè293.1Îïðåäåëåíèå èíâàðèàíòà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .293.2Ôîðìóëèðîâêà ðåçóëüòàòîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .333.3Äîêàçàòåëüñòâî Òåîðåìû 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .353.4Äîêàçàòåëüñòâî Òåîðåìû 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .363.5Äîêàçàòåëüñòâî Òåîðåìû 3.3 . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü ñêðó÷èâàíèé Äýíà444.1Îïðåäåëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .444.2Ôîðìóëèðîâêà îñíîâíîãî ðåçóëüòàòà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .444.3Ãðàô Θ, äâîéñòâåííûé íàáîðó îêðóæíîñòåé γi. . . .

. . . . . . . . . . . .464.4Ëåììû î íåãîìîòîïíîñòè êðèâûõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .494.5Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4.1 äëÿ îðèåíòèðóåìîé ïîâåðõíîñòè M . . . . . .514.6Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4.1 äëÿ íåîðèåíòèðóåìîé ïîâåðõíîñòè M . . . . .53Çàêëþ÷åíèå53Ñïèñîê ëèòåðàòóðû552ÂâåäåíèåÎáçîð îñíîâíûõ èçâåñòíûõ ðåçóëüòàòîâÏîãðóæåíèÿ êðèâûõ âñåãäà âûçûâàëè èíòåðåñ. Ïîãðóæåíèå êðèâîé â ïëîñêîñòü åñòåñòâåííî âîçíèêàåò êàê ïðîåêöèÿ óçëà.

Ãàóññ [25], ñì. ñòð. 271-286, ðàññìàòðèâàë êîíå÷íûåïîñëåäîâàòåëüíîñòè áóêâ, êàæäàÿ èç êîòîðûõ âñòðå÷àåòñÿ äâàæäû. Îí çàäàâàëñÿ âîïðîñîì, êàêèå èç òàêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñîîòâåòñòâóþò ñàìîïåðåñå÷åíèÿì ïðîåêöèè óçëàíà ïëîñêîñòü. Çàäà÷à áûëà ðåøåíà Òðåéáèãîì [33].Óèòíè [34] îïðåäåëÿåò ÷èñëî âðàùåíèÿ êàê êîëè÷åñòâî îáîðîòîâ, êîòîðîå äåëàåò âåêòîð ñêîðîñòè êðèâîé. Îí ïðåäëîæèë ñëåäóþùóþ êëàññèôèêàöèþ ïîãðóæåíèé êðèâûõ âïëîñêîñòü.Òåîðåìà 0.1 (Whitney-Graustein, [34]).

Äâå çàìêíóòûå ðåãóëÿðíûå êðèâûå ìîãóò áûòüïðîäåôîðìèðîâàíû îäíà â äðóãóþ, ò.å. ìåæäó íèìè ñóùåñòâóåò ãîìîòîïèÿ â êëàññåçàìêíóòûõ ðåãóëÿðíûõ êðèâûõ, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èõ ÷èñëà âðàùåíèÿ ñîâïàäàþò.Óèòíè òàêæå ñâåë ïîäñ÷åò ÷èñëà âðàùåíèÿ ê ïîäñ÷åòó êîëè÷åñòâà òî÷åê ñàìîïåðåñå÷åíèÿ ðàçíûõ òèïîâ, ñì. [34], Òåîðåìà 2.Ñìåéë ðåøèë çàäà÷ó êëàññèôèêàöèè ïîãðóæåíèé êðèâûõ â òåðìèíàõ ôóíäàìåíòàëüíîé ãðóïïû åäèíè÷íîãî êàñàòåëüíîãî ðàññëîåíèÿ.Òåîðåìà 0.2 (Smale, [32]).

Ïóñòü x0 òî÷êà åäèíè÷íîãî êàñàòåëüíîãî ðàññëîåíèÿ T 1 Mðèìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ M . Òîãäà ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ ìåæäó π1 (T 1 M, x0 ) è ìíîæåñòâîì êëàññîâ (ñ òî÷íîñòüþ äî ðåãóëÿðíîé ãîìîòîïèè, ñîõðàíÿþùåé êîíöû è íàïðàâëåíèÿ â íèõ) ðåãóëÿðíûõ êðèâûõ íà M ñ çàêðåïëåííûìè êîíöàìè è íàïðàâëåíèÿìè â íèõ,çàäàâàåìûìè x0 .Ðåéíõàðò [29] îïðåäåëèë ÷èñëî âðàùåíèÿ íà ïîâåðõíîñòÿõ ñ íåïóñòûì êðàåì. Îí ðàññìàòðèâàë îðèåíòèðóåìóþ çàìêíóòóþ êîìïàêòíóþ ïîâåðõíîñòü è êðèâóþ ñ ôèêñèðîâàííûìè â áàçèñíîé òî÷êå x ∈ M êîíöàìè è íàïðàâëåíèåì, çàäàâàåìûì âåêòîðîì x0 ∈ Tx1 M .×èñëî âðàùåíèÿ îïðåäåëÿëîñü ïî ìîäóëþ ýéëåðîâîé õàðàêòåðèñòèêè ïîâåðõíîñòè. Òî÷íåå, Ðåéíõàðò îïðåäåëèë è äîêàçàë ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ãîìîìîðôèçìà âðàùåíèÿ ω : πR (M, x0 ) → Zχ èç ãðóïïû êëàññîâ ðåãóëÿðíîé ãîìîòîïíîñòè êðèâûõ â êîëüöîöåëûõ ÷èñåë ïî ìîäóëþ ýéëåðîâîé õàðàêòåðèñòèêè χ ïîâåðõíîñòè M , äëÿ êîòîðîãî ω = 03íà íåêîòîðîì íàáîðå îáðàçóþùèõ ïîâåðõíîñòè, è ω = 1 íà ïðîñòîé ñòÿãèâàåìîé ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííîé êðèâîé.

 ïðîäîëæåíèè [30] Ðåéíõàðò ðàñøèðèë îïðåäåëåíèå÷èñëà âðàùåíèÿ äëÿ êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûõ êðèâûõ.×èëèíãâîðñ â ñòàòüå [20] è åå ïðîäîëæåíèè [21] äàë ãåîìåòðè÷åñêîå îïðåäåëåíèå ÷èñëà âðàùåíèÿ ωX (γ, x) îòíîñèòåëüíî âåêòîðíîãî ïîëÿ X áåç íóëåé. Íåôîðìàëüíî, ÷èñëîâðàùåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê êîëè÷åñòâî îáîðîòîâ, êîòîðîå äåëàåò âåêòîð ñêîðîñòè êðèâîé, íå ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íóëè âåêòîðíîãî ïîëÿ X , îòíîñèòåëüíî âåêòîðíîãî ïîëÿ. Äëÿíåîðèåíòèðóåìîé ïîâåðõíîñòè îïðåäåëÿåòñÿ ïî ìîäóëþ 2.Òåîðåìà 0.3 (Chillingworth, [20], òåîðåìà 3.1.).

Ïóñòü M ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü ñ íåïó-ñòûì êðàåì. Ïóñòü γ1 , γ2 äâå ñîõðàíÿþùèå îðèåíòàöèþ ðåãóëÿðíûå çàìêíóòûå êðèâûåíà ïîâåðõíîñòè M , ñ ñîâïàäàþùèì âåêòîðîì ñêîðîñòè X(x) â íà÷àëüíîé òî÷êå, ãäå X âåêòîðíîå ïîëå áåç íóëåé íà M è x ∈ M . Ïóñòü [γ1 ] = [γ2 ] ∈ π1 (M, x). Òîãäà γ1 ðåãóëÿðíîãîìîòîïíà γ2 îòíîñèòåëüíî X(x) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ωX (γ1 , x) = ωX (γ2 , x).Ïîìèìî ýòîãî, â ðàáîòàõ [20], [21] äîêàçûâàåòñÿ ýêâèâàëåíòíîñòü (äëÿ íåêîòîðîãî âåêòîðííîãî ïîëÿ) ÷èñëó âðàùåíèÿ, îïðåäåëåííîìó Ðåéíõàðòîì, à òàêæå îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëîâðàùåíèÿ äëÿ ýëåìåíòà ãðóïïû π1 (M, x0 ).  ñòàòüå åñòü îáîáùåíèÿ íåêîòîðûõ ðåçóëüòàòîâ íà ñëó÷àè çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè, ìåíÿþùåé îðèåíòàöèþ êðèâîé èëè îòñóòñòâèÿáàçèñíîé òî÷êè, íî àíàëîã òåîðåìû Óèòíè-Ãðàóøòåéíà äëÿ ýòèõ ñëó÷àåâ íå ïîëó÷åí.Áóðìàí è Ïîëÿê [19] ðàññìàòðèâàëè îðèåíòèðóåìóþ ñâÿçíóþ ïîâåðõíîñòü è çàìêíóòûåêðèâûå áåç áàçèñíîé òî÷êè.

Èõ ôîðìóëû óñòàíàâëèâàþò ñâÿçü ìåæäó ÷èñëàìè âðàùåíèÿè ñàìîïåðåñå÷åíèÿìè êðèâûõ.Íèêêóíè [28] âû÷èñëèë èíâàðèàíò Âó äëÿ êóñî÷íî-ëèíåéíûõ ïîãðóæåíèé ãðàôîâ âïëîñêîñòü è ïîêàçàë, ÷òî äâà ïîãðóæåíèÿ ðåãóëÿðíî ãîìîòîïíû òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà èõ èíâàðèàíòû Âó ñîâïàäàþò.Ãðóïïà ãîìåîìîðôèçìîâ ïîâåðõíîñòè äåéñòâóåò íà ìíîæåñòâå ïîãðóæåíèé êðèâûõ âïîâåðõíîñòü. Èññëåäîâàíèå ýòîãî äåéñòâèÿ ÷àñòî ïîìîãàåò óñòàíîâèòü íåòðèâèàëüíîñòüãîìåîìîðôèçìà, ò.å. åãî íåèçîòîïíîñòü òîæäåñòâåííîìó. Ñêðó÷èâàíèå Äýíà ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì ïðèìåðîì íåòðèâèàëüíîãî ãîìåîìîðôèçìà è âîçíèêàåò â ðàçíîîáðàçíûõ çàäà÷àõ, àïîòîìó ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ.Áèðìàí è ñîàâòîðû [18] ðàññìàòðèâàþò îðèåíòèðóåìóþ êîìïàêòíóþ ðèìàíîâó ïîâåðõíîñòü M , êàæäàÿ êîìïîíåíòà ñâçÿçíîñòè êîòîðîé èìååò îòðèöàòåëüíóþ ýéëåðîâó õàðàêòåðèñòèêó. Îíè îïðåäåëÿþò ãðóïïó M(M ) êëàññîâ èçîòîïèé àâòîìîðôèçìîâ (ò.å.

ñîõðàíÿ4þùèõ îðèåíòàöèþ ãîìåîìîðôèçìîâ) ïîâåðõíîñòè M , ñîõðàíÿþùèõ êàæäóþ êîìïîíåíòóñâÿçíîñòè ïîâåðõíîñòè è ïåðåâîäÿùèõ êàæäóþ ãðàíè÷íóþ îêðóæíîñòü â ñåáÿ. Äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ëþáàÿ àáåëåâà ïîäãðóïïà â M(M ) êîíå÷íî ïîðîæäåíà, íå ñîäåðæèò êðó÷åíèÿ,è ðàíã îãðàíè÷åí ÷èñëîì 3g + b − 3c, ãäå g ðîä ïîâåðõíîñòè, b êîëè÷åñòâî ãðàíè÷íûõîêðóæíîñòåé, c êîëè÷åñòâî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè.  òîé æå ñòàòüå óòâåðæäàåòñÿ, ÷òîñêðó÷èâàíèÿ Äýíà âäîëü íàáîðà ïðîñòûõ ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ âëîæåííûõ îêðóæíîñòåé (ò.å. êðèâûõ) íà îðèåíòèðóåìîé ïîâåðõíîñòè ïîðîæäàþò àáåëåâó ïîäãðóïïó, ðàíãêîòîðîé äîñòèãàåò óêàçàííóþ âåðõíþþ îöåíêó. Ñîãëàñíî ðàáîòå Äýíà [22], ñêðó÷èâàíèÿÄýíà âäîëü âñåâîçìîæíûõ äâóñòîðîííèõ êðèâûõ ïîðîæäàþò ãðóïïó M(M ).Óïîìÿíóòûé âûøå ðåçóëüòàò Áèðìàí è ñîàâòîðîâ èìååò âàæíûå ïðèëîæåíèÿ.

Íàïðèìåð, ñ ïîìîùüþ ýòîãî ðåçóëüòàòà è âàæíîãî ðåçóëüòàòà Êóäðÿâöåâîé è Ïåðìÿêîâà [2]î ïðîñòðàíñòâàõ ôóíêöèé Ìîðñà íà ïðîèçâîëüíûõ (îðèåíòèðóåìûõ è íåîðèåíòèðóåìûõ)ïîâåðõíîñòÿõ, Êóäðÿâöåâà â öèêëå ðàáîò [3], [4], [5], [6], [7] áîëåå äåòàëüíî èçó÷àåò ãîìîòîïè÷åñêèé òèï ýòèõ ïðîñòðàíñòâ â ñëó÷àå îðèåíòèðóåìûõ ïîâåðõíîñòåé. Ïîä÷åðêíåì, ÷òîóïîìÿíóòûé âûøå ðåçóëüòàò Áèðìàí è ñîàâòîðîâ, à òàêæå èñïîëüçóþùèé åãî ðåçóëüòàòÊóäðÿâöåâîé, ïîëó÷åíû òîëüêî äëÿ îðèåíòèðóåìûõ ïîâåðõíîñòåé.

Ïîýòîìó çàäà÷à ðàñïðîñòðàíåíèÿ ðåçóëüòàòà Áèðìàí è ñîàâòîðîâ íà ñëó÷àé íåîðèåíòèðóåìûõ ïîâåðõíîñòåéïðåäñòàâëÿåòñÿ âåñüìà àêòóàëüíîé.Ïîñòàíîâêà çàäà÷èÏîëó÷èòü êðèòåðèé ðåãóëÿðíîé ãîìîòîïíîñòè êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûõ ïîãðóæåíèé ãðàôàâ ñâÿçíóþ êîìïàêòíóþ ïîâåðõíîñòü M . Ïîëó÷èòü êëàññèôèêàöèþ òàêèõ ïîãðóæåíèé. Â÷àñòíîñòè, ïîëó÷èòü àíàëîã òåîðåìû Óèòíè-Ãðàóøòåéíà äëÿ çàìêíóòîé êðèâîé íà íåîðèåíòèðóåìîé ïîâåðõíîñòè áåç áàçèñíîé òî÷êè. Âû÷èñëèòü ðàíã àáåëåâîé ïîäãðóïïû ãðóïïû êëàññîâ îòîáðàæåíèé ïîâåðõíîñòè, ïîðîæäåííîé ñêðó÷èâàíèÿìè Äýíà âîêðóã ïîïàðíîíåïåðåñåêàþùèõñÿ îêðóæíîñòåé íà ïîâåðõíîñòè.Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè1.

Ïîñòðîåí èíâàðèàíò invX,F0 ðåãóëÿðíîé ãîìîòîïíîñòè êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûõ ïîãðó-æåíèé ãðàôîâ â êîìïàêòíûå ïîâåðõíîñòè (îðèåíòèðóåìûå èëè íåîðèåíòèðóåìûå, ñ êðàåìèëè áåç êðàÿ), îáîáùàþùèé èíâàðèàíò Á.Ë. Ðåéíõàðòà ÷èñëî âðàùåíèÿ ðåãóëÿðíûõïîãðóæåíèé îêðóæíîñòè â ïîâåðõíîñòü ñ íåïóñòûì êðàåì, ñì. ðàçäåë 3.1.52. Ïîëó÷åíà êëàññèôèêàöèÿ êóñî÷íî-ðåãóëÿðíûõ ïîãðóæåíèé ëþáîãî êîíå÷íîãî ãðàôàâ ïðîèçâîëüíóþ êîìïàêòíóþ ïîâåðõíîñòü ñ òî÷íîñòüþ äî ðåãóëÿðíîé ãîìîòîïíîñòè.

Â÷àñòíîñòè, ïîëó÷åí êðèòåðèé ðåãóëÿðíîé ãîìîòîïíîñòè äâóõ ïîãðóæåíèé, ñì. òåîðåìû 2.2,3.1, 3.2, 3.3 èëè ðàáîòû àâòîðà [12], [14].3. Âû÷èñëåí ðàíã àáåëåâîé ïîäãðóïïû ãðóïïû êëàññîâ îòîáðàæåíèé ïîâåðõíîñòè, ïî-ðîæäåííîé ñêðó÷èâàíèÿìè Äýíà âîêðóã ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ äâóñòîðîííèõ îêðóæíîñòåé íà íåîðèåíòèðóåìîé ïîâåðõíîñòè, ñì. òåîðåìó 4.1 èëè ðàáîòó àâòîðà [13].Àïðîáàöèÿ ðåçóëüòàòîâ ðàáîòûÐåçóëüòàòû äèññåðòàöèè äîêëàäûâàëèñü:(1) íà ñåìèíàðå Ñîâðåìåííûå ãåîìåòðè÷åñêèå ìåòîäû (ðóêîâîäèòåëè àêàä.