Оценки точности приближенных решений и их применение в задачах математической теории волноводов, страница 3

Более того, кизолированным ловушечным модам (не вложенным в непрерывный спектр) примени́муже упоминавшийся принцип минимакса. Применяя формулы (6)—(7) к задаче (1), можем записать:µj =sup{ψ1 ,...,ψj−1 }u∈H01 (Vinf),u⊥ψ1 ,...,ψm−1иµ̃j =sup{ψ1 ,...,ψj−1 }inf0 ,u⊥ψ ,...,ψu∈SN1m−1(∇u, ∇u)(qu, u)(∇u, ∇u),(qu, u)(8)(9)где ψ1 , . . . , ψm−1 ∈ H01 (V ). Поэтому если первые M (M = 0, 1, 2, . . .

) значений µ, доставляемые формулой (8), оказались меньше λ1 , то можно утверждать, что в волноводесуществуют ловушечные моды, квадраты частот которых равны µ. Для численногомоделирования важно, что приближённые собственные значения, вычисленные произвольным конформным проекционным методом согласно формуле (9), с необходимостьюне меньше соответствующих собственных значений непрерывной задачи: µj 6 µ̃j приµj < λ1 . Отсюда следует, что нахождение M таких приближённых собственных значений {µ̃j }Mj=1 , что µ̃j < λ1 6 λ1 , гарантирует существование в волноведущей системе не менее M ловушечных мод, лежащих ниже непрерывного спектра. Поскольку, всвою очередь, λ1 может быть оценено снизу способом главы 1, во многих конкретныхслучаях оказывается возможным численно доказать существование таких ловушечныхмод.

С целью иллюстрации этого подхода в диссертации сначала рассмотрено несколько плоских волноводов, причём для того, чтобы триангуляция не нарушала конформность дискретных подпространств, вогнутый участок границы был заменён ломаной изкасательных с достаточно большим числом звеньев. Далее метод был применён к конкретным трёхмерным волноведущим системам сложной геометрии и для них установлено существование ловушечных мод. В частности, для резонатора с присоединённойк нему полубесконечной трубой наличие ловушечной моды теоретически обоснованодля достаточно больших резонаторов.

Поэтому для конкретных систем вопрос остаётся открытым, если собственное значение ν задачи Дирихле для оператора Лапласа вполости резонатора не оказалось меньше λ1 . В работе рассмотрено два таких случая.В обоих сечением полубесконечной трубы является правильный треугольник, двусторонние оценки собственных значений которого получены в главе 1. В частности, дляпервого собственного значения имеем 50,9760 6 λ1 6 52,6382. В первом случае резонатор имеет форму прямоугольного параллелепипеда размерами 1 × 1 × 0,5, для которого59,2176 < ν1 = 6π 2 < 59,2177. Как видно, этой оценки «не хватает». В то же время, взявбо́льшую расчётную подобласть, можно получить для µ1 оценку µ1 6 47,5330.

Во втором случае резонатор имеет форму куба со стороной 1, поэтому существование первойловушечной моды тривиально: ν1 = 3π 2 ≈ 29,6088. Но ν2 = 6π 2 , поэтому для второй8ловушечной моды требуется взять собственное значение большей подобласти, откудаимеем оценку µ2 6 50,8783 < λ1 = 50,9760. Приближённо вычисленные ловушечныемоды для всех примеров изображены на рисунках, некоторые из которых приведены вданном автореферате.9Ловушечная мода.

Пример 6, симметричная мода. µ̃ = 106,262, λ1 > 106,810.Ловушечная мода. Пример 6, антисимметричная мода. µ̃2 = 106,718, λ1 > 106,810.10Ловушечная мода. Пример 9. Резонатор. µ̃ = 47,5330, λ1 > 50,9760.Ловушечная мода. Пример 10. Резонатор, вторая мода. µ̃2 = 50,8783, λ1 > 50,9760.11Подводя итог, отмечаем, что использовались двусторонние (для установления факта существования ловушечных мод — нижние) оценки (5) собственных значений поперечного сечения волновода и верхние оценки (9) собственных значений подобластейволновода.В главе 3 для краевой задачи в ограниченной области Ω(LH u ≡ −4u − k 2 (x)u = f, x ≡ (x1 , .

. . , xn ) ∈ Ω,(10)u|∂Ω = 0,где f ∈ L2 (Ω), 0 < k12 6 k 2 (x) ∈ L∞ (Ω), предложен способ вычисления оценок погрешности приближённого решения проекционным методом, пробное пространство которогоудовлетворяет условию (2). В диссертации сформулированы явные алгоритмы вычисления оценки погрешности.Для изложения результатов потребуется ввести некоторые обозначения. Пусть C(N )и Cp — константы, введённые выше; пусть, далее, оператор A ставит в соответствиепроизвольной функции u ∈ H01 (Ω) обобщённое решение Au ∈ H01 (Ω) краевой задачиДирихле для оператора Лапласа(4(Au) = −k 2 (x)u(x),(Au)|∂Ω = 0.Пусть матрицы G и D определяются так:G = {Gji } = {(∇ϕi , ∇ϕj )L2 − (k 2 (x)ϕi , ϕj )L2 },D = {Dji } = {(∇ϕi , ∇ϕj )L2 }.Потребуются также константы: операторная норма kPN APN |SN0 kH01 , равная наибольшему собственному значению задачи(D − G)~ν = λD~ν ,а также M = (minλ— соб.

знач.G~ν =λD~ν |λ|)−1 . Отметим, что в последних двух случаях возникли обобщённые задачи на собственные значения, в которые вошла матрица Грама D0базиса {ϕi }Ni=1 пробного пространства SN в смысле скалярного произведения (∇., ∇.),поскольку базис не является ортонормированным.Пусть ещёCc = sup k 2 (x),L(N ) =x∈Ωθ(N ) = (C(N ))2 (L2 M + Cc ),pα = 1 + (M C(N )L)2 ,12qkPN APN |SN0 kH01 Cc ,τ (N ) =1 + Cp M L,1 − θ(N )β = 1 + Cp M L.(11)Тогда можно получить следующие оценки погрешности приближённого решения(где f — правая часть, u — точное решение, v —приближённое):k∇(u − v)k 6 C(N )ατ kf k,(12)ku − vk 6 (C(N ))2 βτ kf k,где предполагается (это проверяется в процессе расчёта), что θ < 1.Более того, константа α показывает, во сколько раз приближённое решение v болееудалено от точного решения u, чем наилучшее приближение последнего в подпростран0стве SN, поскольку верна оценкаk∇(u − v)k 6 αk∇(u − PN u)k.Для построения другой оценки величины k∇(u − v)k использовалась техника усред0нения градиента.

Прежде подпространство SN⊂ H01 (Ω) было расширено до SN ⊂H 1 (Ω). Далее каждая компонента ∇v проектировалась на SN . Полученная векторфункция была обозначена ∇v. Затем, после вычисления L2 -нормvu nuXkRk = k∇v − ∇vk = tkRi k2 ,i=1kSk = kf + div (∇v) + k 2 (x)vkвычислялась оценка погрешностиk∇(u − v)k 6 C(N )βkSk + kRk + (C(N ))3 β 2 Cc τ kf k,которая в разных случаях может оказаться как более, так и менее точной, чем перваяиз оценок (12).В главе 4 описан метод построения специального проекционного метода для краевойзадачи для ОДУ 2-го порядка(Lu ≡ −u00 + b(x)u0 + c(x)u = f,x ∈ (0; 1),(13)u(0) = u(1) = 0.1где f ∈ L2 (0; 1), c ∈ L∞ (0; 1), а b(x) «кусочно-W∞», что означает, что отрезок [0; 1]можно разбить на конечное число отрезков [xk ; xk+1 ], на каждом из которых b(x) при1надлежит W∞(xk ; xk+1 ). Непрерывности b на всём [0; 1] не требуется.

Ограничений назнаки коэффициентов тоже нет.К задаче (13) применяется метод Галёркина—Петрова, т. е. решение ищется в виделинейной комбинации пробных функций {ϕn }Mn=1 , а условие ортогональности невязкиповерочным функциям {ψm }Mm=1 записывается в видеZ 1Z0 00(v ψm + b(x)v ψm + c(x)vψm )dx =00131f ψm dx,где m = 1, . .

. , M , v =PMn=1vn ϕn — приближённое решение.Основная идея состоит в использовании в качестве поверочных функций проекционного метода функций, удовлетворяющих однородному сопряжённому уравнению.Точнее, пусть дано множество точек 0 = x0 < x1 < . . .

< xN −1 < xN = 1, в которых мы хотим знать решение без погрешности. В это множество необходимо включитьточки разрыва коэффициента b(x). Предположим, что на каждом интервале (xn−1 ; xn ),i = 1, . . . , N , однородная краевая задача Дирихле для оператора L∗( ∗L ψ(x) = 0,(14)ψ(xn−1 ) = ψ(xn ) = 0имеет только тривиальное решение, т.

е. число 0 не является собственным значениемэтих операторов ни на одном из этих отрезков. (Это равносильно однозначной разрешимости задачи для оператора L. Если это условие не выполняется, можно добиться еговыполнения, разбив отрезки, где оно нарушается, новыми точками.) Тогда однозначноразрешимы и краевые задачиL∗ ψn(1) (x) = 0,ψn(1) (xn−1 ) = 1,иψn(1) (xn ) = 0L∗ ψn(2) (x) = 0,ψn(2) (xn−1 ) = 0,ψn(2) (xn ) = 1.Поверочные функции выбирались следующим образом, обобщающим обычные длятрадиционного метода конечных элементов кусочно аффинные функции. Пусть дляn = 1, . . .

, N − 1ψn (x) =ψ (2) (x) при x ∈ [xn−1 ; xn ], n(1)ψn+1 (x) при x ∈ [xn ; xn+1 ],(15)0 при остальных x.Доказана следующая теорема:Пусть:1. дифференциальная задача (13) в обобщённой постановке однозначно разрешима;2. задачи (14) для всех отрезков [xn−1 ; xn ], n = 1, . . . , N , имеют только тривиальноерешение;3. пробные функции принадлежат H01 [0; 1] (отметим, что поверочные принадлежатэтому пространству по построению);144.

существуют линейные комбинации ϕfm (x) =PN −1n=1(m)αn ϕn (x) пробных функций,удовлетворяющие условиям ϕfm (xn ) = δmn , m, n = 1, . . . , N − 1 (отсюда, в частности, следует линейная независимость как системы указанных линейных комбинаций, так и исходной системы функций {ϕn (x)});−1N −15. СЛАУ метода Галёркина с выбранными функциями {ϕn (x)}Nn=1 и {ψm (x)}m=1 ,построенными по формуле (15), однозначно разрешима.Тогда верны равенстваv(xn ) = u(xn ),n = 0, .

. . , N,то есть приближённое решение совпадает с точным в выбранных точках.Более того, согласно другой доказанной в главе теореме, если к рассмотренной вышесистеме пробных и поверочных функций добавить ещё по равному количеству новыхфункций, то указанные равенства не нарушатся (конечно, при условии, что системалинейных уравнений метода Галёркина останется однозначно разрешимой).В качестве иллюстрации приведены графики решений одномерного уравнения Гельмгольца стандартным методом конечных элементов и предлагаемым методом. Видно, чтоуже при использовании грубой сетки этот проекционный метод, в отличие от стандартного, правильно передает амплитуду и длину волны решения.Для сравнения приведены фрагменты графиков решений при одном и том же числеузлов N = 1000. Задача решалась на отрезке [0; 1], для наглядности на графиках представлен отрезок [0,1; 0,2]. График с кружочками представляет приближённое решение,без них — точное; кружочками отмечены значения приближённого решения в узлахсетки.