Оценки точности приближенных решений и их применение в задачах математической теории волноводов

На правах рукописиПАНИН АЛЕКСАНДР АНАТОЛЬЕВИЧОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ ПРИБЛИЖЁННЫХ РЕШЕНИЙИ ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ЗАДАЧАХМАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ВОЛНОВОДОВСпециальность 01.01.03МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКААВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукМосква — 2009Работа выполнена на кафедре математики физического факультетаМГУ имени М.В.Ломоносова.Научный руководитель:доктор физико-математических наук,профессор А. Н. Боголюбовдоктор физико-математических наук,профессор М.

Л. Гольдман,доктор физико-математических наук,профессор А. С. ИльинскийИнститут Прикладной МатематикиРоссийской Академии НаукОфициальные оппоненты:Ведущая организация:Защита диссертации состоится «»2009 г. вчасовна заседании Диссертационного совета Д 501.002.10 при Московскомгосударственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу:119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, д. 1, стр.

2, физическийфакультет, ауд. №.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физическогофакультета МГУ.Автореферат разослан «»Учёный секретарьДиссертационного Совета Д 501.002.10доктор физико-математических наук2009 г.Ю. В. ГрацОбщая характеристика работыАктуальность. С ростом возможностей вычислительной техники, позволивших решить весьма сложные краевые задачи математической физики, все более ощущаетсяотсутствие простых алгоритмов, позволяющих получить оценки точности приближённого решения. Например, в настоящее время существуют ориентированные на широкую аудиторию коммерческие комплексы программ, такие как PDE Toolbox в MatLab’еи FEMLab, реализующие алгоритм метода конечных элементов для всех основных линейных краевых задач в ограниченных областях размерности от 1 до 3, однако в этихпрограммах не встроено вообще никакого механизма оценки точности полученного приближённого решения и пользователю не остается ничего другого, как сгустить сеткуи визуально оценить скорость сходимости, хотя достоверность такой оценки никак необоснована.

Сходимость проекционных методов для линейных задач математическойфизики была строго доказана в 1960–70-х годах, однако в теоретических работах почисленным методам обычно ограничиваются доказательством самого факта сходимости и нахождению её порядка.Большинство известных алгоритмов оценки погрешности применимо только к краевым задачам для уравнения Пуассона или, более общо, к задачам с положительноопределёнными операторами, но, к сожалению, ни один из них пока не реализован ввиде общедоступных комплексов программ. Вероятно, наиболее простым в реализациибудет алгоритм, основанный на апостериорных оценках, полученных недавно С.

И. Репиным (2000 г. и далее) и не требующих вычисления каких-либо общих констант, кромеоценки сверху константы в неравенстве Пуанкаре—Фридрихса. Однако имеются принципиальные препятствия для перенесения этого метода на задачи с незнакоопределёнными операторами и, в частности, на задачи для уравнения Гельмгольца. Известныеоценки для отклонения приближённого решения для всех основных уравнений математической физики были суммированы в работах М. Накао (2001—2007 гг.); в настоящейдиссертации на их основе получены улучшенные оценки, построен и реализован алгоритм для оценки точности вычисления собственных значений оператора Лапласа и построен значительно более сложный алгоритм оценки точности решения для уравненияГельмгольца, где коэффициент k 2 может быть переменным. Предложенные алгоритмыпригодны не только для метода конечных элементов, но и для любого проекционногометода, для которого можно ввести аналог шага сетки.Ещё одной из актуальных проблем является построение специальных проекционных методов.

Так, в работах И. Бабушки и М. Меленка предложен так называемыйобобщённый метод конечных элементов (generalized FEM), суть которого в выборе особых базисных функций (функций формы), а в работах С. Саутера показано, как такой специальный выбор позволяет улучшить сходимость. С другой стороны, интерес1но и практически ценно так называемое явление суперсходимости (superconvergencephenomenon), которое заключается в том, что в некоторых точках расчётной области(положение которых можно определить) приближённое решение сходится к точномубыстрее, чем гарантируется общей оценкой в интегральной или равномерной норме.В диссертации объединены эти два подхода и для некоторого класса ОДУ предложенпроекционный метод, гарантирующий совпадение приближённого решения с точным внаперёд заданных точках.Полученные в диссертации оценки точности вычисления собственных значений позволяют для широкого класса волноводов со сложной геометрией решить вопрос о существовании ловушечных мод прямым расчетом.

Теоретические исследования волноведущих систем ведутся довольно давно. Их начало положено классическими работами А. Н. Тихонова и А. А. Самарского. Дальнейшее активное развитие этой областиматематической физики в нашей стране связано с именами Г. В. Кисунько, П. Е. Краснушкина, Е. И. Моисеева, А. Г. Свешникова, Р. В. Хохлова, В. П. Шестопалова и рядадругих учёных.

Из зарубежных специалистов можно назвать Ф. Реллиха, Д. Джонса,П. Вернера, П. Экснера.Введём некоторые термины. Полубесконечной трубой или просто трубой будем называть множество вида T = Ω×R+ , где Ω — ограниченная односвязная область в R1 илиR2 . Волноведущей системой V назовём связную область в R2 или R3 , вне некоторогошара (круга) представляющую собой объединение конечного числа непересекающихсятруб.Задача о возбуждении такой системы гармоническим током f (x)e−iωt в скалярномприближении имеет вид4u + k 2 q(x)u = f,u|∂V = 0,условия излучения,где функции f и q −1 финитны, а аргумент x обозначает вектор всех пространственныхкоординат.

Также важно исследовать наличие ловушечных мод, то есть таких функцийu 6≡ 0, чтоZZ2q|u| dx < ∞,Ω|∇u|2 dx < ∞Ωи(4u + k 2 q(x)u = 0,(1)u|∂V = 0.Значения k 2 , при которых такое ненулевое решение u существует, называются собственными значениями, а u — собственными функциями спектральной задачи (1). Эта темавосходит к работам Реллиха, который указал на возможность существования собственных значений у спектральных задач в неограниченных областях. Джонсом введено по2нятие непрерывного спектра и получен ряд результатов относительно его непустоты,а также относительно наличия собственных значений. Оказалось, что непрерывныйспектр волновода образуют частоты, для которых k 2 ∈ [λ1 ; +∞). Здесь λ1 — наименьшее собственное значение задачи Дирихле для оператора Лапласа на сечениях Ω полубесконечных труб:4 u + λu = 0, ⊥u|∂Ω = 0,u 6≡ 0.Квадратные корни из этих собственных значений, то есть числа√λ1 ,√λ2 , .

. . , получилиназвание частот отсечки, потому что при переходе частоты возбуждения регулярногои локально нерегулярного волновода через каждую из них добавляется новая модараспространяющихся в волноводе волн. Кроме того, при гармоническом возбуждениирегулярного волновода на частотах, равных частотам отсечки, за исключением случая, когда возбуждение ортогонально соответствующей собственной функции сечения,в волноводе не устанавливается режим гармонических колебаний, а происходит рост√амплитуды поля пропорционально t.

Если же частота возбуждения отлична от частоты отсечки, то устанавливается гармоническое поле, то есть распространяющиесяволны. Поскольку нормальным режимом работы волновода как передатчика энергии(информации) является не резонансный режим, а распространение волн, то именно последний случай представляет наибольший практический интерес. Чтобы гарантироватьотсутствие резонансного режима в регулярном волноводе при данной частоте возбуждения, достаточно доказать её отличие от всех частот отсечки. Таким образом, еслидля первых N собственных значений сечения {λi }Ni=1 найдены интервалы [λi ; λi ] (тоесть показано, что λi ∈ [λi ; λi ]), причём для данного k верно k 2 < λN и ни при какомi = 1, . .

. , N k 2 ∈/ [λi ; λi ], то можно гарантировать (и в этом состоит одна из целейдиссертации), что k не совпадает ни с одной из резонансных частот и, следовательно,режима резонанса в регулярном волноводе на данной частоте не будет.Резонансное множество регулярного волновода исчерпывается частотами отсечки,а в нерегулярных (деформированных или со вставкой, то есть при q 6≡ 1) волноводахмогут существовать упомянутые выше ловушечные моды. С конца 80-х — начала 90-хгодов начинается серия работ, посвящённых наличию ловушечных мод у изогнутыхволноводов постоянного сечения, само появление которых оказалось некоторой неожиданностью. Так, в статье Экснера и Шебы это показано для плоского (двумерного)волновода с достаточно гладкой границей, а в диссертации Крейцирика — для двумерной полосы, которая изогнута в пространстве.В то же время для широкого класса двумерных и трёхмерных волноводов, в томчисле с негладкой границей, а также волноведущих систем с резонатором доказать су3ществование ловушечных мод, лежащих ниже непрерывного спектра, можно конструктивно, в чём состоит одна из целей диссертации.Цель работы.