Оценки точности приближенных решений и их применение в задачах математической теории волноводов (1104167), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Таким образом, в процессе приближённого решения задач математической физики большое значение имеет проблема точности полученного результата.Построение методов оценки его отклонения от точного решения, их применение к изучению свойств волноведущих систем, а также разработка метода, доставляющего значение решения в выбранных точках с нулевой погрешностью, и является целью настоящейдиссертации.Научная новизна. В диссертации предложены:• Метод вычисления гарантированных двусторонних оценок собственных значенийоператора Лапласа в выпуклой многоугольной области.• Метод прямого численного исследования ловушечных мод волноведущих систем.• Метод нахождения тех частот из заданного интервала, на которых в данном регулярном волноводе гарантирован гармонический режим колебаний (излучения).• Метод вычисления оценки погрешности приближённого решения, полученногопроекционным методом, для уравнения Гельмгольца (в L2 - и H 1 -нормах).• Способ построения для определённого класса ОДУ проекционного метода, позволяющего вычислить значение точного решения в наперёд заданных точках.Практическая ценность.
Подход, предлагаемый в работе, даёт возможность численно установить существование ловушечной моды в волноведущей системе в случаях, когда это непосредственно не следует из известных теоретических результатов. Вчастности, такой системой может быть волновод с резонатором сложной формы, длясобственного значения которого нельзя получить хорошую оценку сверху, вписав в негостандартную область с известным спектром: параллелепипед, шар и т. п. Другой пример — «изломанный» волновод с негладкой границей (поверхностью). Этот подход также позволяет найти частоты, на которых гарантируется работа волновода в режимераспространения гармонических колебаний, то есть не происходит резонанса. Полученные в работе двусторонние оценки собственных значений области (в том числе и задачи«с весом») представляют и самостоятельный интерес, а подпрограмма, написанная длявычисления параметров дискретизации задачи методом конечных элементов в пакетеPDE Toolbox, может найти широкое применение для оценки погрешности приближённых решений.Оценки погрешности для уравнения Гельмгольца позволяют охарактеризовать качество полученного приближённого решения, а также то, насколько оно больше удаленоот точного, чем ортогональная проекция последнего на пробное пространство.4Предложенный проекционный метод, который можно считать вариантом обобщённого метода конечных элементов, позволяет вычислить значение точного решения ОДУиз некоторого класса в любой наперёд заданной точке.Апробация работы.
Основные результаты диссертации докладывались на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвящённой памяти И. Г. Петровского (в 2007 г.), Международной конференции «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», посвящённой 100-летию содня рождения акад.
И. Н. Векуа (в 2007 г.), и Международной конференции студентов,аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» в 2006 и 2008 годах, на научном семинарекафедры математики физического факультета МГУ, на научном семинаре «Численныеметоды электродинамики» физического факультета МГУ под рук. проф. А. Г. Свешникова и проф. А. С. Ильинского (в 2008 г.).Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ.Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, спискалитературы (69 наименований) и 18 рисунков; изложена на 90 страницах.Содержание работыВ начале первой главы вводятся основные понятия, используемые в работе. Пусть Ω —произвольная ограниченная область в евклидовом пространстве Rn , граница которойдалее считается достаточно гладкой с тем, чтобы было возможно применять формулу Гаусса—Остроградского.
Зададимся произвольным конечным набором функций{ϕ1 , . . . , ϕN }, носитель которых лежит в Ω, и образуем натянутую на них линейную0оболочку SN. Даже если эти функции бесконечно гладкие, произвольную функцию v0из L2 (Ω) или H01 (Ω) нельзя приблизить элементом из SNотносительно норм этих про-странств, поскольку и в том, и в другом пространстве имеются элементы, ортогональные ко всем функциям {ϕ1 , .
. . , ϕN }. Поэтому имеет смысл говорить лишь о близости0SNи некоторого линейного подпространства X(Ω) пространства H01 (Ω). Очевидно, чтодля дальнейшего нужно, чтобы этому пространству принадлежали обобщенные решения основных краевых задач математической физики, рассматриваемых в Ω, а именнозадачи Дирихле(Lu ≡ −4u + b(x) · ∇u + c(x)u = f,x ≡ (x1 , . . . , xn ) ∈ Ω,u|∂Ω = 0и задачи на собственные значения для оператора Лапласа. Поэтому вполне естественновзять в качестве X(Ω) линейное пространство, образованное функциями из H01 (Ω), являющимися решениями однородных краевых задач Дирихле для уравнения Пуассона,50правые части которых принадлежат L2 (Ω).
Тогда близость SNи X(Ω) будем характе-ризовать наименьшей константой C(N ), удовлетворяющей неравенствуinf k∇(v − vN )k 6 C(N )k∆vk ∀v ∈ X(Ω),0vN ∈SN(2)где k.k обозначает норму в L2 (Ω).Константа C(N ) для произвольного проекционного метода играет ту же роль, которую в проекционно-разностных методах играет шаг сетки. Например, если Ω — прямоугольник и в качестве {ϕ1 , . .
. , ϕN } используются кусочно билинейные конечные элементы на квадратной сетке шага h, то C(N ) =h.πВ диссертации приведены и дру-гие примеры конкретных пространств конечных элементов, используемых на практикеи удовлетворяющих условию (2). В частности, показано, что ему также удовлетворяют пространства, связанные с разложением по собственным функциям, которые могутбыть использованы для решения краевой задачи в том случае, если эти собственныефункции известны. Для каждого из рассмотренных конечномерных подпространствуказана оценка сверху для константы C(N ).Для удобства обозначим через PN проектор, ставящий каждой функции v ∈ H01 (Ω)функцию, реализующую точную нижнюю грань в левой части формулы (2).
Его существование легко обосновать, например с помощью теоремы Рисса. Тогда (2) принимаетвидk∇(v − PN v)k 6 C(N )k4vk.(3)Нетрудно показать, что из требования (3) следует оценкаku − PN uk 6 C(N )k∇(u − PN u)k,(4)верная для всех u ∈ H01 (Ω). В то же время, можно показать, что выполняются неравенстваk∇(v − PN v)k 6 2Cp k4vkдля любой функции v из X(Ω) иku − PN uk 6 Cp k∇(u − PN u)kдля любой u ∈ H01 (Ω), где Cp — константа в неравенстве Пуанкаре—Фридрихсаkwk 6 Cp k∇wk,0верном при всяком w ∈ H01 (Ω). Существенно, что если для некоторого пространства SNудаётся доказать (2), то отсюда автоматически следует (4) и, следовательно, для дискретизации в любом таком подпространстве выполняются полученные в диссертацииоценки.6В этой же главе поставлена и решена проблема вычисления двусторонней оценкисобственных значений задачи «с весом» 0 < ρ0 6 ρ(x) 6 ρ1(4u + λρu = 0,u|∂Ω = 0,использующая лишь свойство (4) пробного подпространства и не требующая предварительного вычисления каких-либо других величин.
Полученная оценка имеет видq√−1−12−1λm ∈ λ̄m ; λ̄m + 2C(N ) ρ1 λ̄−1m + (C(N )) ρ1 .(5)Здесь λ̄m — оценка сверху m-го собственного значения сверху проекционным методом в0пространстве SN, ρ1 = sup ρ, C(N ) — константа из (2). Основная идея метода состоит виспользовании для пробного функционального подпространства оценки (4) в сочетаниис минимаксной характеризацией собственных значений, предложенной Р. Курантом:λ−1m =infsup(ρu, u)(∇u, ∇u)(6)sup(ρu, u),(∇u, ∇u)(7){ψ1 ,...,ψm−1 } u∈H 1 (Ω),u⊥ψ ,...,ψ1m−10иλ̄−1m =inf{ψ1 ,...,ψm−1 } u∈S 0 ,u⊥ψ ,...,ψ1m−1Nгде в обеих формулах {ψ1 , . . . , ψm−1 } — наборы из (m − 1) функций, принадлежащихH01 (Ω).В процессе подготовки работы написана подпрограмма на MatLab’е, вычисляющаяоценку сверху для C(N ) в случае аппроксимации задачи в выпуклой многоугольнойобласти в пространстве кусочно линейных конечных элементов.
Именно такое пространство используется в PDE Toolbox. На вход программы поступают данные о сетке, которые могут быть непосредственно экспортированы из PDE Toolbox’а в рабочеепространство MatLab’а. Результат использовался для вычисления оценок собственныхзначений конкретных областей, что было существенно использовано ниже в главе 2.Эта подпрограмма может быть непосредственно встроена в PDE Toolbox и использована для оценки погрешности в других задачах, что представляет большой практическийинтерес.В главе 2 полученные оценки были применены к задачам математической теорииволноводов.
Как уже было сказано выше, собственные значения {λi }∞i=1 поперечного√сечения волновода определяют его основные свойства, а именно частоты отсечки λi ,на которых происходит добавление новой моды распространяющихся волн и которымиисчерпывается резонансное множество регулярного волновода, и непрерывный спектрk 2 ∈ [λ1 ; +∞), на частотах ниже которого излучение не происходит. Вычислив или7оценив эти собственные значения, можно найти диапазоны частот одно-, двух-, трёхмодового режима и т. д. как интервалы, лежащие между частотами отсечки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
