Непрерывные и импульсные акустические сигналы в дважды отрицательных средах, страница 3

Она заключается в том, чтов это уравнение параметры среды входят не раздельно, а в видепроизведения, выражающего квадрат волнового числа: k 2 = ω2ρη . Приэтом теряется информация об их знаке. Для ее восстановления обычноприбегают к дополнительным соображениям. Однако, проводя подобныерассуждения, можно прийти к противоречивым результатам. Например, неρясно, почему знак импеданса среды Z ac =, также содержащийηквадратный корень, должен быть выбран положительным. Для того чтобыизбежать подобных проблем и не вводить при описании волновыхпроцессов каких-либо дополнительных соображений, предпочтительнопроводить анализ на основе уравнений гидродинамики (1).В разделе 2.2 ставится и решается прямая задача рассеяния.Исследуемую среду, имеющую произвольное по величине и знакупространственноераспределениеплотностиρ(r ) ≡ ρ 0 + ρ′(r )исжимаемости η(r ) ≡ η0 + η′(r ) , можно представить в виде суммыоднородного фона, характеризуемого значениями ρ 0 и η0 , и добавок ρ′(r )и η′(r ) , которые могут не являться малыми.

Тогда можно применитьхорошо известные методы теории рассеяния, не ограничиваясь при этомборновским приближением или близкими к нему предположениями. Дляэтого удобно представить систему (1) в операторной форме. Вводятся9( f ( vиоператорF ≡  u ≡   ,pϕ  ∇ ∇  ˆ − iωρ 0 − iωρ(r ) = A0 − Aˆ1 ,гдеиAˆ ≡ Aˆ 0 ≡ − iωη 0 − iωη(r )  ∇ ∇0  iωρ′(r ) – операторы, характеризующие фон и добавки,Aˆ1 ≡ ′()0iωηr( (соответственно. Система (1) записывается в операторном виде как Aˆ u = F .Полагая Aˆ1 ≡ 0 , что означает рассмотрение только однородной фоновой((среды, получим поле u 0 , создаваемое источниками F в ней:(((ˆ −1 (•) = Gˆ (r − r ′)(•)dr ′ – операторный аналогu = Gˆ ∗ F = Aˆ −1 F , где Aвектор-столбцы0∫00функции Грина однородной среды для системы уравнений (1).

Тогда(((((u = Aˆ −1 F = Aˆ −1 Aˆ 0 Aˆ 0−1 F = ( Aˆ 0−1 Aˆ ) −1 u 0 , т.е. для поля u справедливо выражение[(u = Eˆ − Gˆ ∗ Aˆ1]−1(u0 ,(3)где Ê – единичный оператор. Для пассивных сред все собственныезначения оператора Eˆ − Gˆ ∗ Aˆ1 являются комплексными величинами [10].Поэтому обратный оператор в (3) заведомо существует и не накладываетограничений на силу рассеивателя. Соотношение (3) является решениемуравнения Липпмана-Швингера, имеющего в матричной записи вид:((((4)u (r ) = u 0 (r ) + ∫ Gˆ (r − r ′) Aˆɒ1 (r ′)u (r ′) dr ′ ,ℜгде ℜ – область присутствия рассеивающей неоднородности.

Явноевыражение для функции Грина в виде матрицы Ĝ можно получить,представляя поле в виде совокупности плоских волн, для которыхдавление и колебательная скорость изменяются по закону ~ exp(ikr) , т.е.выполняя преобразование Фурье. Тогда выражение для оператора Â0ik  − iωρ 0 , обратная для которой имеетсводится к простой матрице −ωηiki0−1ik ik  − iωρ0 iωη01r 2  = 2 . При выполнениивид − iωη0 ω ρ0 η0 − k  ik iωρ0  ikобратного преобразование Фурье получится матричная функция Грина Ĝ ,выражающаяся через функцию Грина G (r − r ′) уравнения Гельмгольца дляпространства соответствующей размерности, аналитический вид которойхорошо известен.В разделе 2.3 описывается процедура дискретизации полученногооператорного (3) или матричного (4) соотношений с целью численногорешения.Рассматриваемая область при этом разбивается на малые участки δS n ,характеризуемые радиус-вектором их центра rn .

В пределах участка10((параметры среды ρ и η, падающее поле u 0 и искомое поле u считаютсяпостоянными, для чего характерный размер участков должен быть многоменьше длины волны. Тогда интегрирование в правой части (4) сводится к(суммированию по участкам δS n , в каждом из которых Â1 и u являютсяпостоянными, определяемыми только номером участка n . Тогда для полявнутри m -го участка получается дискретизованное уравнение ЛиппманаШвингера:((((5)u m = u 0 m + ∑  ∫ Gˆ (rm − r ′) dr ′  Aˆ 1 u n .n  δS nПоскольку функция Грина Ĝ является гладкой, кроме случая m = n (длядвумерных и трехмерных задач), можно сильно уменьшить количествовычислений при расчете элементов матрицы Gˆ mn ≡ ∫ Gˆ (rm − r ′) dr ′ , считая[ ]δS nеё при m ≠ n постоянной в пределах участка δS n и равной её значению вцентре этого участка: Gˆ mn ≈ Gˆ (rm − rn )δS n .

При m = n такое приближениенеприменимо, и значение Ĝmn рассчитывается численно интегрированиемĜ в пределах δS n . После оценки матрицы Ĝmn уравнение (5) принимает(((вид u m = u0 m + ∑ Gˆ mn Aˆ 1 u n , откуда следует[ ]n[[ ] ]−1 ((u m = Eˆ nm − Gˆ Aˆ 1 ‫ڣ‬nm u 0 n .(6)В случае необходимости выполнять расчет только для одной(конфигурации падающего поля u 0 можно уменьшить объем вычислений,рассматривая выражение (6) как систему линейных уравнений( (Eˆ − Gˆ Aˆu = u .

Все величины, фигурирующие в выражениях (4) –[nm[ ] ]1 nmm0n(6), определены на прямом произведении пространства полевыхпеременных (давления и компонент вектора скорости) и координатногопространства вектора r , дискретизованного в терминах индексов m и n .Формулу (6) целесообразно использовать для нахождения внутреннегополя рассеивателя (т.е. внутри области ℜ ), так как в случае увеличенияразмеров анализируемой области операция обращения матрицы требуетбольшого объема оперативной памяти компьютера.

Найдя внутреннее поле((u n (а фактически, и его источники), можно найти из (5) внешнее поле u mout в(любой точке r ∉ ℜ как сумму полей от всех точек источника Aˆ u :m[ ](((u mout = u 0outm + ∑ Gˆ mn Aˆ 1 u n .[ ]1n(7)nТаким образом, удается построить аппарат, пригодный для аналитическогои численного описания волновых процессов, протекающих как в обычных,так и в дважды отрицательных средах. Основными его достоинствамиявляются: использование точных уравнений без ограничений на силурассеивателей, отсутствие дополнительных предположений при анализедважды отрицательных сред, а также аналитическая свобода, дающая11возможность постановки и решения не только прямых, но и обратныхзадач. К числу недостатков можно отнести плотный характер имеющейсяматрицы на этапе вычисления полей внутри области ℜ по формуле (6), чтотребует сравнительно много вычислительных ресурсов, если эта областьимеет значительный объем.

Второй же этап, связанный с вычислениемполей в области однородного фона (7), относительно прост и может бытьлегко распараллелен, поскольку поле в каждой точке однородного фона независит от полей в других его точках.В разделе 2.4 сформулированы основные результаты второй главы.Третья глава состоит из семи разделов и посвящена анализустационарных волновых процессов в акустических системах, содержащихэлементы из дважды отрицательных сред.В разделе 3.1 проводится анализ возможных кандидатов на рольаналога электродинамических левых сред в акустике.

Этот вопрос сложен,поскольку в акустике, по крайней мере, жидких сред волны являютсяпродольными, и невозможно выделять тройки векторов, поэтомуневозможно характеризовать среду как «левую» в исходном смысле.Показано, что таковыми могут являться дважды отрицательные среды – те,где эффективная плотность и сжимаемость являются отрицательными(такая возможность обсуждалась в литературе).

Для того чтобыподтвердить это предположение, необходимо указать среду, обладающуютакими параметрами, а также сравнить волновые процессы в акустическихсредах с электродинамикой.‫ک‬В разделе 3.2 приведен пример 䔠одномернойсистемы, описывающейсяв монохроматическом режиме уравнениями гидродинамики, куда входятэффективные плотность и сжимаемость среды. Система представляетсобой трубу, разделенную упругими перегородками на секции. К каждойсекции прикреплен резонатор Гельмгольца. Перегородки и резонаторыГельмгольца обеспечивают, соответственно, резонансы дипольного имонопольного типа. Это делает возможным при определенной связи междуих параметрами добиться на выбранной частоте заданных эффективныхзначений плотности и сжимаемости системы, в том числе – одновременноотрицательных.В разделе 3.3 проводится моделирование и сравнение характеранормального падения плоской волны на пластину в случаях использованиядважды отрицательных или обычных сред.

Результаты расчета для дваждыотрицательной среды ( ρ ≡ −ρ0 и η ≡ −η0 ) при толщине пластины 2 λ 0 / 3 ,где λ 0 – длина волны в фоновой среде, представлены на рис. 1. Полеакустического давления падающей плоской волны p 0 , которое врассматриваемом одномерном случае нормального падения на слойописывается одной компонентой, будучи изображенным на графике, повертикальной оси которого отложена единственная координата, а по двумгоризонтальным, соответственно, действительная и мнимая компонентыполя, имеет вид спирали.

Эта спираль закручена в одну или другуюсторону в зависимости от того, куда направлена фазовая скорость волны.12Изменения направления спирали на рис. 1 говорит о том, что фазоваяскорость в дважды отрицательной среде отрицательна. Сохранениепостоянного радиуса спирали свидетельствует об отсутствии отраженнойот пластины волны, что подтверждает равенство импедансов пластины ифоновой среды.Рис. 1.

Результаты расчета полногополя акустического давления p впластине из отрицательного вещества.Сплошной линией показаны поля вфоновойположительнойсреде,пунктирной – в пластине. Стрелкойобозначенонаправлениеволновоговектора k 0 падающей волны.В разделе 3.4 рассматриваются процессы преломления волн награнице отрицательных и обычных сред и связанные с ними явления.

Нарис. 2а представлены результаты моделирования преломления волны наплоскопараллельной пластине. Был использован плоский пучок шириной5λ 0 , амплитуда которого принималась равной 1. Пластина имела толщинуo1.4λ 0 и длину 5λ 0 . Пучок падал под углом 18 к нормали пластины. Припадении пучка наблюдается явлениеῠ‫ڤ‬отрицательного преломления. Четкоеравенство углов падения и преломления проявляется в симметрии картиныволновых фронтов относительно границ пластины (длина волны внутрипластины остается равной λ 0 ).

При этом нормали к фронтам падающей ипреломленной волн, сонаправленные векторам S в пластине и в фоновойсреде, лежат по одну и ту же сторону от нормали к пластине. Отраженнаяволна отсутствует в силу равенства импедансов. В фоновой среде вектор kсонаправлен с S , а в отрицательной направлен противоположно S , и законСнеллиуса четко выполняется: волновые векторы падающей ипреломленной волн имеют одинаковые (не только по величине, но и познаку) проекции на границу раздела.Другой пример, свидетельствующий об отрицательном преломлении,изображен на рис. 2б. Стрелками показан рассчитанный на основе законаСнеллиуса ход лучей (соответствующий характеру распространенияэнергии, т.е. вектору S ) и их фокусировка в цилиндре радиуса R изотрицательной среды. Например, при ρ ≡ −1 и η ≡ −1 плоская волна впараксиальном приближении фокусируется цилиндром на расстоянии R / 2от его центра.