Математические модели инвестиций в условиях ожидания кризиса, страница 2

Åñëè ïðîåêò äîñòóïåí äëÿ èíâåñòèöèé, òî îí ìîæåòîñóùåñòâëÿòüñÿ ñ ïðîèçâîëüíîé èíòåíñèâíîñòüþ u ≥ 0, ÷åìó ñîîòâåòñòâóþò ôèíàíñîâûåïîòîêè u~a = {ua0 , ua1 , . . . , uar }. Ôèíàíñîâîå ñîñòîÿíèå èíâåñòîðà â ìîìåíò âðåìåíè tîïèñûâàåòñÿ îñòàòêàìè íà åãî ðàñ÷åòíîì ñ÷åòå s(t), ïåðâîíà÷àëüíûé êàïèòàë èíâåñòîðàðàâåí 1. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ãîðèçîíò ïëàíèðîâàíèÿ äåÿòåëüíîñòè èíâåñòîðà êîíå÷åí èðàâåí n, ïðè ýòîì èíâåñòèöèè ðàçðåøåíû â ïåðâûå (n − r) ìîìåíòîâ âðåìåíè (ãîðèçîíòèíâåñòèðîâàíèÿ). Èíâåñòèöèîííûé ïðîåêò ñòàöèîíàðåí, ò.å. äîñòóïåí äëÿ èíâåñòèöèé âëþáîé ìîìåíò âðåìåíè íà ãîðèçîíòå èíâåñòèðîâàíèÿ. Öåëü èíâåñòîðà ìàêñèìèçàöèÿîñòàòêà íà ðàñ÷åòíîì ñ÷åòå ê òåðìèíàëüíîìó ìîìåíòó âðåìåíè.

 ðàáîòå Êàíòîðàè Ëèïìàíà èññëåäóåòñÿ àñèìïòîòèêà ïîâåäåíèÿ êàïèòàëà èíâåñòîðà, ïðè óñëîâèèîïòèìàëüíîãî (â ñìûñëå ïîñòðîåííîé ìîäåëè) èñïîëüçîâàíèÿ èíâåñòèöèîííîãî ïðîåêòà.Àâòîðàì óäàëîñü îöåíèòü òåìï ðîñòà êàïèòàëà èíâåñòîðà g = lim (Vn )1/n , ãäå Vnn→∞ îñòàòîê íà ðàñ÷åòíîì ñ÷åòå èíâåñòîðà ê ìîìåíòó âðåìåíè n ïðè îïòèìàëüíîìèñïîëüçîâàíèè èíâåñòèöèîííîãî ïðîåêòà.Òåîðåìà (ÊàíòîðËèïìàí).

Åñëè a(1) ≤ 0, òîãäà Vn = 1 äëÿ ∀n. Åñëè a(1) > 0 è a(z)íå èìååò êîðíåé íà èíòåðâàëå (0, 1), òîãäà ñóùåñòâóåò êîíå÷íîå n : Vn = ∞. Åñëèa(1) > 0 è a(z) èìååò êîðíè íà èíòåðâàëå (0, 1), òîãäà ñóùåñòâóþò ïîëîæèòåëüíûåêîíñòàíòû λ1 < λ2 òàêèå, ÷òî:λ1 θ−n /nh ≤ Vn ≤ λ2 θ−n /nh ,5ãäå θ - ìàêñèìàëüíûé èç êîðíåé a(z), ïðèíàäëåæàùèõ èíòåðâàëó (0, 1), (h + 1) 1êðàòíîñòü θ, ò.å. g = .θÏåðâàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà îïèñàíèþ ìîäèôèöèðîâàííîé ìîäåëè ÊàíòîðàËèïìàíà,èññëåäîâàíèþ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Áåëëìàíà, âîçíèêàþùåãî â ýòîé ìîäåëè, ïîèñêàìäîñòàòî÷íûõ óñëîâèé îïòèìàëüíîñòè ¾îñòîðîæíîé¿ ñòðàòåãèè èíâåñòèðîâàíèÿ, îöåíêàìòåìïà ðîñòà êàïèòàëà èíâåñòîðà, ïðè èñïîëüçîâàíèè ¾îñòîðîæíîé¿ ñòðàòåãèè. Âìîäèôèöèðîâàííîé ìîäåëè ÊàíòîðàËèïàìàíà ôèíàíñîâîå ñîñòîÿíèå èíâåñòîðàîïèñûâàåòñÿ âåêòîðîì ~s(t) ∈ Rr+1 , i-àÿ êîìïîíåíòà êîòîðîãî ðàâíà äåíåæíûì îñòàòêàìâ ìîìåíò âðåìåíè (t + i) ïðè óñëîâèè, ÷òî íà÷èíàÿ ñ ìîìåíòà âðåìåíè t, íîâûå ïðîåêòûíå íà÷èíàëèñü.

Åñëè îáîçíà÷èòü u(t) èíòåíñèâíîñòü ðåàëèçàöèè ïðîåêòà â ìîìåíòâðåìåíè t, òî äèíàìèêà ôèíàíñîâûõ ñîñòîÿíèé îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì~s(t + 1) = A(~s(t) + u(t)~b),(1)ãäå~b = {b0 , b1 , .., br },bi =iXaj ,A(r+1)×(r+1)j=00 0=. . . 0010...0001...00... 0... 0 . .

. . . ..... 1 ... 1Èíâåñòèöèîííàÿ äåÿòåëüíîñòü âåäåòñÿ â óñëîâèÿõ ñàìîôèíàíñèðîâàíèÿ (îòñóòñòâóåòâîçìîæíîñòü çàíèìàòü ñðåäñòâà). Ôîðìàëüíî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äåíåæíûå îñòàòêè óèíâåñòîðà äîëæíû áûòü íåîòðèöàòåëüíû â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè: si (t) ≥ 0, i = 0, . . . , r.Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî èíâåñòèöèîííàÿ ñðåäà íåñòàöèîíàðíà ñóùåñòâóåò ðèñêâîçíèêíîâåíèÿ êðèçèñà íà ðûíêå èíâåñòèöèé. Òî÷íîãî ìîìåíòà íàñòóïëåíèÿ êðèçèñàèíâåñòîð íå çíàåò, íî îí ìîæåò ñóáúåêòèâíî îöåíèòü âåðîÿòíîñòü èñ÷åçíîâåíèÿ ñïðîñàíà èíâåñòèöèè â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè.  ìîäåëè ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ýòà îöåíêà èíâåñòîðàïîñòîÿííà è ðàâíà ∆.Îáîçíà÷èì ÷åðåç V (~s) ôóíêöèþ Áåëëìàíà, êîòîðàÿ áóäåò îöåíèâàòü íàèëó÷øèéðåçóëüòàò èíâåñòèðîâàíèÿ ïðè îïèñàííûõ óñëîâèÿõ è íà÷àëüíîì ôèíàíñîâîì ñîñòîÿíèè~s; ÷åðåç (~s)r êîìïîíåíòó âåêòîðà ~s ñ íîìåðîì r, ñ÷èòàÿ, ÷òî íóìåðàöèÿ íà÷èíàåòñÿ ñíóëÿ. Òîãäà çàïèøåì óðàâíåíèå Áåëëìàíà:V (~s) =max{u|u≥0,~s+u~b≥0}[∆(~s + u~b)r + (1 − ∆)V (A(~s + u~b))]. ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ ñòîèò ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êàïèòàëà èíâåñòîðàïî âñåâîçìîæíûì èñõîäàì.

Åñëè íàñòóïàåò êðèçèñ, òî èíâåñòîð áîëüøå íå ìîæåò íà÷èíàòüíîâûõ ïðîåêòîâ, è ñïóñòÿ r ìîìåíòîâ âðåìåíè, ïîñëå òîãî êàê ïðîèçîéäóò îêîí÷àòåëüíûåðàñ÷åòû ïî âñåì ðàíåå íà÷àòûì ïðîåêòàì, íà åãî ðàñ÷åòíîì ñ÷åòå îêàæåòñÿ êàïèòàë(~s + u~b)r . Åñëè æå êðèçèñà íå ïðîèçîøëî, òî èíâåñòîð îêàçûâàåòñÿ â ñîñòîÿíèè A(~s +u~b) è ïðèíèìàåò íîâîå èíâåñòèöèîííîå ðåøåíèå, èñïîëüçóÿ ôóíêöèþ V~ (·). Ñòðàòåãèÿ,ñîîòâåòñòâóþùàÿ ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ Áåëëìàíà,u(~s) =argmax{u|u≥0,~s+u~b≥0}[∆(~s + u~b)r + (1 − ∆)V (A(~s + u~b))],íàçûâàåòñÿ îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèåé èíâåñòèðîâàíèÿ.6 ðàáîòå îáñóæäàåòñÿ âîïðîñ åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Áåëëìàíà. Ïîêàçàíî,÷òî â îáùåì ñëó÷àå åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Áåëëìàíà ãàðàíòèðîâàòü íåëüçÿ. ÷àñòíîñòè ïðèâåäåí ïðèìåð íå åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ äëÿ ïðîñòåéøåãî ïðîåêòàäåïîíèðîâàíèÿ ñðåäñòâ, äëÿ êîòîðîãî ~a = (−1; 1 + q), q > 0.Íàçîâåì ¾îñòîðîæíîé¿ ñòðàòåãèåé èíâåñòèðîâàíèÿ φ(~s) = argmax [~s + u~b)r ].

Ýòî{u|u≥0,~s+u~b≥0}ñòðàòåãèÿ, ïðè êîòîðîé èíâåñòîð ïðèíèìàåò ðåøåíèå, îðèåíòèðóÿñü òîëüêî íà òîò äîõîä,êîòîðûé îí ñìîæåò ïîëó÷èòü ïðè óñëîâèè, ÷òî êðèçèñ ñëó÷èòñÿ.  ðàáîòå íàéäåíûäîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè ¾îñòîðîæíîé¿ ñòðàòåãèè.Òåîðåìà 1 ([1]). Îáîçíà÷èì: B1 = max |bt |,B2 =1≤t≤rmin1≤t≤r:bt <0µu(s) = φ(~s) =min0≤i≤r:bi <0si−bi|bt |.

Åñëè ∆ > 1 −B2,4B1òî:¶.B2Òàêèì îáðàçîì, â óñëîâèÿõ, êîãäà ∆ > 1 − 4B, äèíàìèêà ðàñ÷åòíîãî ñ÷åòà èíâåñòîðà1îïèñûâàåòñÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé³´ ~s(t + 1) = A~s(t) = A ~s(t) + φ(~s(t))~b , t = 0, 1, 2, . . . ,(2) ~s(0) = ~s .0Ñèñòåìà (2) óñòðîåíà òàêèì îáðàçîì, ÷òî íà êàæäîì øàãå t = 1, 2, ...

ïðèìåíÿåòñÿ îäèíèç îïåðàòîðîâµ t¶sAi : Ai~s(t) = A(~s(t) + − i ~b), ãäå i : bi < 0.bi ðàáîòå óäàëîñü ñäåëàòü îöåíêè íà òåìï ðîñòà êàïèòàëà, ðåàëèçóåìîãî â ñèëó ñèñòåìû(2).  êà÷åñòâå îöåíîê ñâåðõó òåìïà ðîñòà êàïèòàëà â ñèñòåìå ïðèâåäåíû îöåíêè ÊàíòîðàËèïìàíà è ñîâìåñòíûé ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ.Îïðåäåëåíèå 1. Ñîâìåñòíûì ñïåêòðàëüíûì ðàäèóñîì îïåðàòîðîâ A1 , . . . , Ad ∈ L(Rr+1 )íàçûâàåòñÿ ÷èñëî1ρ̂(A1 , . . . , Ad ) = lim max(k Aσ(1) . .

. Aσ(m) k m ),m→∞ σmãäå ìàêñèìóì áåðåòñÿ ïî âñåâîçìîæíûì ôóíêöèÿì σm (x), ãäå σm : 1, . . . , m → 1, . . . , d. ðàáîòå ïðîèçâåäåíî ñðàâíåíèå âåðõíèõ îöåíîê. Ïðèâåäåíû ïðèìåðû, ãîâîðÿùèå îòîì, ÷òî çàðàíåå íåëüçÿ óòâåðæäàòü êàêîé èç ïîêàçàòåëåé ëó÷øå îöåíèâàåò òåìï ðîñòàêàïèòàëà â ñèñòåìå (2). êà÷åñòâå îöåíîê ñíèçó òåìïà ðîñòà êàïèòàëà â ðàáîòå ðàññìàòðèâàþòñÿ òåìïû ðîñòàêàïèòàëà, ðåàëèçóþùèåñÿ íà òðàåêòîðèÿõ ñáàëàíñèðîâàííîãî ðîñòà ñèñòåìû.Îïðåäåëåíèå 2.

Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ó ñèñòåìû(2) ñóùåñòâóåò òðàåêòîðèÿñáàëàíñèðîâàííîãî ðîñòà ñ òåìïîì λ íà ïåðèîäå äëèíû T , çàäàâàåìàÿ îïåðàòîðàìè Aj1 ,Aj2 , ..., AjT , åñëè ∃t0 : ~s(t + T ) = AjT AjT . . . Aj1 ~s(t) = λ~s(t), ∀t ≥ t0 .7Òåîðåìà 2 ([7]). Ñèñòåìà (2) èìååò òðàåêòîðèþ ñáàëàíñèðîâàííîãî ðîñòà ñ òåìïîì λíà ïåðèîäå äëèíû T , òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èìååò ðåøåíèå ñëåäóþùàÿ ñèñòåìà:Ajk2 Ajk1 Bjk1 p~ ≥ 0,p~ ≥ 0, Bj−1Ajk1 Bjk1 p~ ≥ 0, Bj−1k3k2 ...Bj−1AjkT −1 . . . Ajk2 Ajk1 Bjk1 p~ ≥ 0,kT −1Bjk AjkT .

. . Ajk2 Ajk1 Bjk1 p~ = λ · p~,1ãäå Bjk = [z0 , z1 , . . . , zr ]0 , zt = 0 . . . 0zjk = 0 . . . 00...0z }|k {− [bt ]−0 . . . 0 ,t 6= jk ,jz }|k {− [bjk ]−jtz}|{10 . . . 0 .Óòâåðæäåíèå òåîðåìû 2 ñâîäèò ïðîáëåìó ïîèñêà òðàåêòîðèé ñáàëàíñèðîâàííîãîðîñòà ê ðåøåíèþ ñèñòåìû (2). Ýòî ïîçâîëÿåò ýôôåêòèâíî ðåøàòü çàäà÷ó ïðîâåðêèñóùåñòâîâàíèÿ ó ñèñòåìû (2) òðàåêòîðèè ñáàëàíñèðîâàííîãî ðîñòà íà ïåðèîäå äëèíûT , çàäàâàåìîé íåêîòîðîé ôóíêöèåé j : {1, 2, . . . , T } → {i |bi < 0}. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íîðåøèòü çàäà÷ó íà ïîèñê ñîáñòâåííûõ ÷èñåë è ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ îïåðàòîðàBj−1AjkT . .

. Ajk2 Ajk1 Bjk1 (ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñèñòåìû (2)), ïîñëå ÷åãî ïðîâåðèòü,k1óäîâëåòâîðÿåò ëè õîòÿ áû îíà ïàðà λ, p~ íåðàâåíñòâàì ñèñòåìû (2). Ñðåäè òåõ ïàð,êîòîðûå áóäóò óäîâëåòâîðÿòü ýòîìó óñëîâèþ, ìîæíî âçÿòü ïàðó ñ ìàêñèìàëüíûìçíà÷åíèåì λ. Ýòî è áóäåò îöåíêà ñíèçó íà òåìï ðîñòà êàïèòàëà â ñèñòåìå (2). Îòäåëüíîåâíèìàíèå â ðàáîòå óäåëåíî òðàåêòîðèÿì ñáàëàíñèðîâàííîãî ðîñòà íà ïåðèîäå 2: íàéäåíûíåîáõîäèìûå óñëîâèÿ, êîòîðûì äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü òåìï ðîñòà λ, ñôîðìóëèðîâàíûâ âèäå ÿâíûõ òðåáîâàíèé ê ñòðóêòóðå èíâåñòèöèîííîãî ïðîåêòà äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿñóùåñòâîâàíèÿ òðàåêòîðèé.Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:b+min (t) =b−max (t) =ln (t) =minbt+2k−1 ,1≤k≤[]:bt+2k−1 >0r−t2max1≤k≤[ r−t:b≤02 ] t+2k−1max1≤k≤[ r−t:b≤02 ] t+2k−1sΛb = mint=1,3,...rln (t)+1b+max (t) =b−min (t) =|bt+2k−1 |,(k − t),fp (t) =max1≤k≤[ r−t:b>02 ] t+2k−1bt+2k−1 ,min1≤k≤[ r−t:b≤02 ] t+2k−1min1≤k≤[ r−t:b>02 ] t+2k−1|bt+2k−1 |,(k − t).b+min (t).+−bmin (t) + bmax (t) − [bt−1 ]− + 1Òåîðåìà 3 ([8]). Åñëè Λb ≥qb+max (2)b−min (0)+ 1, òî ó ñèñòåìû (2) ñóùåñòâóåò òðàåêòîðèÿñáàëàíñèðîâàííîãî ðîñòà ñ òåìïîì λ íà ïåðèîäå 2, çàäàâàåìàÿ îïåðàòîðàìè A0 è A1 ,îáåñïå÷èâàþùàÿ, ãäå λ êîðåíü óðàâíåíèÿ F (λ) = 0, ïðèíàäëåæàùèé èíòåðâàëó (1; Λb ].fp (2)Âî âòîðîé ãëàâå äèññåðòàöèè îáñóæäàþòñÿ âîïðîñû, ñâÿçàííûå ñ ìîäåëèðîâàíèåìèíâåñòèöèé â íåïðåðûâíîì âðåìåíè.

 ïåðâîì ïàðàãðàôå âòîðîé ãëàâû èññëåäóåòñÿíåïðåðûâíûé àíàëîã ìîäåëè ÊàíòîðàËèïìàíà. Ïðè îïèñàíèè èíâåñòèöèîííîéäåÿòåëüíîñòè â äèñêðåòíîì âðåìåíè âîçíèêàåò ðÿä òðóäíîñòåé, êîòîðûå óñëîæíÿþòàíàëèç ìîäåëåé. Íàïðèìåð, çà ñ÷åò ¾ãðóáîñòè¿ óïðàâëåíèÿ âûõîä íà ðåæèì ñáàëàíñèðîâàííîãî ðîñòà ìîæåò áûòü óñòðîåí äîñòàòî÷íî ñëîæíî.

Ïîýòîìó âîçíèêàåò8ïîòðåáíîñòü â ìîäåëÿõ, êîòîðûå áû ïîçâîëèëè îïèñàòü ïðîöåññ áîëåå ¾òîíêîãî¿óïðàâëåíèÿ èíâåñòèöèîííûìè ïðîåêòàìè.Ïóñòü çàäàí èíâåñòèöèîííûé ïðîåêò, êîòîðûé õàðàêòåðèçóåòñÿ ôóíêöèåé φ(t),îïðåäåëÿþùåé ïîòîê ïëàòåæåé ïðîåêòà. Îáîçíà÷èì Φ(t), ôóíêöèþ îïðåäåëÿþùóþRtñàëüäî ïëàòåæåé îò èíâåñòèöèîííîãî ïðîåêòà ê ìîìåíòó âðåìåíè t, ò.å. Φ(t) = φ(x)dx.0Ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî èíâåñòèöèîííûé ïðîåêò èìååò êîíå÷íîå âðåìÿ ðåàëèçàöèèT , ò.å. φ(t) = 0 ïðè t > T .Îáîçíà÷èì s(t) ñîñòîÿíèå ðàñ÷åòíîãî ñ÷åòà èíâåñòîðà â ìîìåíò âðåìåíè t; u(t) èíòåíñèâíîñòü ðåàëèçàöèè èíâåñòèöèîííîãî ïðîåêòà, êîòîðóþ ðåãóëèðóåò èíâåñòîð; ψ ïåðâîíà÷àëüíûé êàïèòàë èíâåñòîðà.