Диссертация (Математическая модель осморегуляции объема эритроцита с учетом механических характеристик мембраны), страница 6

B: Диаметр трубки - 6 мкм. Численные значения обозначают скорости в см/с [57].В работах [58, 59] модель движения эритроцита в капилляре в приближении теории смазки учитывает воздействие гликокаликса, представленного какпористый слой, оказывающий сопротивление скольжению эритроцитов вдоль капилляров. Результаты вычислений показали, что сопротивление потоку в микрососудах выше, чем в стеклянных трубках того же диаметра.

Установившиесяформы эритроцита были вычислены для скоростей от 1 мкм/c до 3 мм/с. Как следует из расчета, при очень низких скоростях клетка почти заполняет капилляр, а сувеличением скорости форма клетки становится более узкой и удлиненной, зазорстановится шире, что согласуется с экспериментальными наблюдениями.При однорядном движении по узким капиллярам с диаметром, меньшим,чем максимальный диаметр клетки, эритроциты принимают несимметричнуюконфигурацию за счет небольшого смещения относительно оси сосуда.

Вследствие отклонения от осесимметричного расположения, мембрана совершает медленное, наподобие гусеницы трактора, вращение вокруг содержимого клетки парашютообразной формы (рисунок 1.8) [60]. С увеличением диаметра капилляраколичество конфигураций клеток увеличивается, и переход к движению в видесуспензии происходит при большом диаметре сосуда (рисунок 1.8).Разработана модель неосесимметричного движения эритроцита в простом30Рисунок 1.8 − перемещение эритроцитов через стеклянные трубки с диаметрами: 4,5 мкм (вверху), 7 мкм (в центре) и 15 мкм (снизу); направление потока слева направо[ 61]сдвиговом потоке [60]. Теоретическая модель включает два взаимодействующихкомпонента: механику оболочки эритроцита и интегральную формулировку гидродинамики жидкости, содержащейся внутри и снаружи клетки. Для описаниядеформации оболочки эритроцита под действием потока вязкой жидкости, использовалась гранично-интегральная формулировка задачи, позволяющая рассчитывать периодические течения при малых числах Рейнольдса.

Для этого использовалось численное моделирование течений Стокса методом граничных элементов, предшественником которого является метод конечных элементов. Суть метода заключается в переходе от уравнений Стокса в частных производных, описывающих поведение искомой функции внутри и на границе области, к интегральному уравнению Стокса, связывающему только ее граничные значения, и в поиске численного решения такого уравнения.

Значения функции в произвольныхточках расчетной области определяются далее по найденному решению на границе. В работе [62] была решена задача осесимметричного движения эритроцита вкапилляре – рисунок 1.9. Поле скоростей внутри и вокруг клетки определяется спомощью интегрального уравнения дляСтоксового течения:uα ( x0 ) = uαP ( x0 ) −18πµ∫ Gαβ (x , x )∆f β (x )dl (x ) ,0Cгде u(x0) - скорость вне клетки, C −контур мембраны любой одной клеткиРисунок 1.9 − Схематическое изображение ряда движущихся эритроцитов [62]в меридиональной плоскости,l − длина31дуги вдоль С, µ − общая вязкость жидкости и Gαβ - периодическая функция Гринапотока Стокса внутри трубки, ∆f – разность векторов напряжений σ в жидкостяхвнутри − 1 и вне − 2 клетки: ∆f = ∆σ⋅n. В общем случае ∆f является полным вектором внешней нагрузки, действующей на мембрану, ∆f = р + τ, который можетбыть выражен через внутренние силовые факторы Q, M, T1 и T2 по формулам(1.2,1.4,1.5).

В случае осесимметричной задачи ∆f является х-компонентой, скорость вне клетки – пуазейлевой, и перепад давления определяется по формуле:∆p = σ2 8 µU m L 4 1 − 2 ∆f x dl . Метод граничных элементовσ+b2b 2 C∫ b хорошо описываетформы эритроцита при движении его в узких трубках, диаметр которых меньшедиаметра дискоцита (рисунок 1.10).Рисунок 1.10 − Вход и выход красных кровяных клеток из микро-канала [63]Метод граничных элементов подходит также для моделирования неосесимметричной трехмерной задачи движения эритроцитов [60].

Однако, он доступен только для бесконечного или полубесконечного потока ограниченногоплоскостью стенки.Рассмотренные методы расчета движения эритроцитов по капиллярам имеют численную нестабильность при высоких скоростях (0,1 см/с и более) движенияэритроцитов [57] и при больших деформациях мембраны [64]. Моделированиеэритроцита как тонкостенной осесимметричной оболочки вращения с учетом изгибающих моментов и поперечных сил приводит к сингулярно возмущенной (жесткой) задаче. В этом случае нелинейные дифференциальные уравнения, описывающие деформирование оболочки эритроцита, содержат малый параметр припроизводных – изгибную жесткость D. Таким образом, жесткость является свойством данных уравнений, а не численных методов расчета.

В результате поиска32искомых функций численными методами происходит неограниченный рост погрешности, т.е. решения жестких задач не сходятся к искомым значениям.Существуют различные подходы, позволяющие улучшить сходимость методов.

С этой целью была повышена точность метода граничных элементов, нопри этом сильно возросла его трудоемкость и время расчета: для трехмерного моделирования оно может составлять до двух дней [60,65−69]. В работах [70,71] использован метод конечных элементов. Поток плазмы моделировали как двухмерный с низким числом Рейнольдса. Двухмерная модель мембраны эритроцита аппроксимирована расположенными по периметру вязкоупругими элементами, соединенными параллельно с упругими элементами, и вязкими элементами − по радиусу (Рисунок 1.11). С помощью этой модели удалось рассчитать траекториюдвижения эритроцита в случае бифуркации микрососудов, учитывая взаимодействия эритроцита с соседними клетками и со стенкой сосуда (Рисунок 1.12).При скоростях движения эритроцита по капилляру более 0,1 см/с не удалосьполучить численных решений уравнений теории смазки [57], учитывающих изгибную упругость мембраны, так как методы расчета не сходились.

Поэтому прискоростях 0.125 см/с и больше формы эритроцита были вычислены без учета сопротивления изгибу, для чего в уравненияхравновесия (1.5) изгибающий мо-мент М и поперечную силу Q приравняли нулю, и расчет производился сучетом упругости оболочки при сдвиге. При этом результаты вычисления формсоответствовали экспериментальным результатам.Рисунок 1.11 − Конечноэле- Рисунок 1.12 − Движение эритроцитов по капиллярамментная модель эритроцита [70] [70]Можно сделать вывод, что в ненапряженном состоянии мембрана эритроцита имеет форму двояковогнутого дискоцита.

Определены полные механиче-33ские характеристики, функционально определяющие поведение материала оболочки: жесткость при сдвиге − µ, при изгибе − D, при растяжении − К. Однакомодель мембраны эритроцита как тонкостенной осесимметричной оболочки вращения с учетом изгибающих моментов и поперечных сил является численно неустойчивой при больших деформациях и натяжениях из-за малой жесткости приизгибе. Поэтому при значительных осмотических давлениях и при больших перемещениях необходимо использовать модель, основанную на безмоментной теории тонкостенных оболочек.1.2 Методы определения механических характеристик мембраныэритроцитаМеханические характеристики – жесткость при сдвиге µ, жесткость прирастяжении К, изгибная жесткость – D, значения которых необходимы длярасчетов напряженно-деформированного состояния мембраны эритроцита,определяют экспериментально [1,72−77].

Для определения этих характеристикиспользуют гидравлическую микропипетку. Микропипеточнаяизмерительнаясистема включает пневматический микроманипулятор, обеспечивающий создание необходимого отрицательного давления в капилляре, и связанную с микроскопом измерительную систему с видеорегистрацией, обеспечивающую высокоевременное (около 1/60 c) и пространственное разрешение. Жесткость при сдвигеµ определяется аспирацией ненапряженных эритроцитов (рисунок 1.13 а),жесткость при растяжении К – аспирацией осмотически набухших эритроцитов(рисунок 1 .13 б).Рисунок 1.13 − Аспирация ненапряженных а) и набухших б) эритроцитов [77]341.2.1 Определение жесткости при сдвиге µНаиболее просто и точно µ эритроцита определяют методом микропипеточной аспирации [1]: всасывание ненапряженного эритроцита микропипеткой (рисунок 1.13а).

Преимущество этого метода состоит в относительной простоте идостаточно высокой надежности полученных результатов. К отверстию микропипетки с внутренним диаметром канала 1−1.7 мкм за счет отрицательного давления (∆P) подсасывается эритроцит. При определенном значении ∆P он начинаетвтягиваться в канал микропипетки и образует «палец» (Рисунок 1.14). Измеряется∆P, длина втянутой части эритроцита – L и радиус – RР канала пипетки. Возникшиемеридиональныеи окружные натяженияповерхностиэритроцита –мембраны сосредоточены внутри пипетки и около ее устья и уменьшаются обратно пропорционально квадрату расстояния от оси пипетки. Таким образом, вданном опыте с микропипеткойизу-чают собственные свойства мембраны вблизи конца пипетки, независимо от внешней формы эритроцита.Для вычисления ∆P в работе [1] предложена формула:Рисунок 1.14 − Схема измерения длины втянутой части эритроцита, возникающая придействия всасывающего давления ∆Р∆P =µ  2 ⋅ L2⋅ L− 1 + lnRP  RPRP (1.9)Формула (1.9) применима при условии, когда L > Rp.