Отзыв оппонента 2 (Контрастные структуры для обобщённого уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова)

отзыв официального оппонента на диссертационную работу Шарло Алены Станиславовны «Контрастные структуры для обобщенного уравнения Колмогорова — Петровского — Пискунова», представленной на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 — математическая физика Диссертация Шарло Алены Станиславовны посвящена исследованию решений типа контрастных структур обобщенного уравнения Колмогорова— Петровского-Пискунова (ОКПП), которое отличается наличием дополнительного слагаемого с производными третьего порядка и малыми параметрами при производных. Подобные уравнения возникают при моделировании многих физических процессов. Сингулярные возмущения (наличие малых параметров при старших производных) возникают всегда, когда в моделируемом явлении есть процессы с существенно различными пространственно временными масштабами.

Решения типа контрастных структур — это решения с областями больших градиентов, имеющие вид бегущей волны. Как для теоретических, так и для прикладных зада~ важно уметь рассчитывать скорость движения такой волны и форму фронта. Исследование асимптотик решений позволяет найти аналитические общие закономерности, присущее задаче, в отличие от получения решения только численными методами. Поэтому актуальность выбранной темы и соответствие ее специальности 01.01.03 — математическая физика — сомнений не вызывает. Диссертация Шарло Алены Станиславовны состоит из 6 глав, заключения, списка литературы из 86 наименований, объемом 174 стр. Первая глава является введением, в котором изложена общая характеристика работы, актуальность темы диссертации, методы исследования, положения, выносимые на защиту.

В первой же главе содержится обзор литературных источников по теме диссертации (86 работ). Во второй главе строится асимптотическое разложение решения начально- краевой задачи для сингулярно возмущенного уравнения ОКПП с так называемой несбалансированной нелинейностью. Рассматривается уравнение с тремя корнями вырожденного уравнения — двумя устойчивыми и одним неустойчивым. Решение строится в виде суммы асимптотических рядов, отвечающих различным членам разложения — регулярной части, пограничным функциям, сосредоточенным у краев области, и функциям переходного слоя, описывающих движущийся переходный слой (фронт волны).

Получены уравнения, определяющие скорость движения фронта, и все члены асимптотического разложения решения по степеням малого параметра. Равномерные оценки остаточного члена получены методом дифференциальных неравенств ( построением верхнего и нижнего решения). Для получения оценок автором доказывается принцип сравнения для уравнения ОКПП. Верхнее и нижнее решение строятся с использованием построенной асимптотики. В третьей главе строится асимптотическое разложение решения начально-краевой задачи для сингулярно возмущенного уравнения ОКПП с так называемой сбалансированной нелинейностью.

Это приводит к тому, что скорость движения фронта в нулевом приближении определяется из уравнений для определения членов асимптотики первого порядка. Так же, как и во второй главе, приведены задачи для определения всех членов асимптотики, обоснование (оценка остаточного члена) проводится методом дифференциальных неравенств. В четвертой главе исследуется поведение решения в виде контрастной структуры в окрестности т. н. особой точки, т. е.

точки, в которой скорость движения фронта может обращаться в ноль. Выделяются типы особых точек : проходные и останавливающие. Построены асимптотики решений как в окрестности проходных ( п. 4.3.2), так и останавливающих точек ( п, 4.3.1.). Более подробно рассмотрен случай с кубической нелинейностью. Так же, как и ранее, приведены задачи для определения всех членов асимптотики, обоснование (оценка остаточного члена) проводится методом дифференциальных неравенств.

В пятой главе вводится понятие обобщенного решения и строится асимптотика обобщенного решения начально — краевой задачи для уравнения ОКПП с нелинейностью, разрывной по пространственной координате. Обоснование построенной асимптотики так же проводится с помощью метода дифференциальных неравенств. В шестой главе приводятся результаты численных расчетов, которые сравниваются с расчетом по полученным ранее асимптотическим формулам. В Заключении подводятся итоги и намечаются направления дальнейших исследований.

Полученные асимптотические формулы применены для анализа поведения КС для нелинейности конкретного вида — кубической. Получено выражение для скорости дрейфа внутреннего переходного слоя в случае разрывной правой части. Среди важнейших результатов работы следует отметить: 1. Построены и обоснованы асимптотические разложения решений начально-краевых задач для сингулярно возмущенного уравнения ОКПП. 2. Получены асимптотические формулы, описывающие решения типа КС, определяющие форму и скорость движения фронта КС для уравнения ОКПП с несбалансированной и сбалансированной нелинейностью, 3. Исследовано поведение КС в окрестности особых точек. 4. Метод дифференциальных неравенств развит на новый класс дифференциальных уравнений в частных производных — уравнения ОКПП. 5.

Построено и обосновано асимптотическое разложение по малому параметру обобщенного решения начально - краевой задачи для уравнения ОКПП. Все полученные в диссертации результаты достоверны и обоснованы. Полученные в работе результаты могут быть использованы в высших учебных заведениях (например, МГУ, МИФИ, МВТУ, НИУ МАИ, НИУ МЭИ, и др.), в научных центрах, занимающихся исследованием в области теории дифференциальных уравнений, а также математическим моделированием процессов типа реакция-диффузия, полупроводниковьгх структур, астрофизических процессов и многих других.

К недостаткам представленной работы можно отнести ряд редакционных недочетов. Кроме того, остались не раскрытыми вопросы: 1. Асимптотика решений типа КС уравнения ОКПП в многомерном случае. 2. Асимптотика решений типа КС в случае наличия пяти и большего количества корней. 3. Динамика возникновения КС из общих начальных условий. Однако наличие некоторых недочетов не снижает общей положительной оценки представленной диссертационной работы. Доктор физико-математических наук, профессор, профессор ГБОУ ВО «Московский городской педагогический университет» А.В.Нестеров ГБОУ ВО «Московский городской педагогический университет», Адрес: 2-й Сельскохозяйственный проезд, д. 4, корп. 1, г. Москва, 12922б Телефон: +7 (499) 181-24-б2 Подпись д.ф.-м.н., проф удостоверяю: имировича « -'-У» ~~ 2015г.

Диссертация Шарло Алены Станиславовны «Контрастные структуры для обобщенного уравнения Колмогорова — Петровского — Пискунова» является самостоятельно выполненной, завершенной научно-исследовательской работой, выполненной на высоком уровне. Результаты, представленные в данной работе, имеют большое теоретическое и важное прикладное значение при изучении процессов, описывающихся уравнением ОКПП. Автореферат полностью отражает содержание диссертации. Считаю, что диссертация Шарло Алены Станиславовны «Контрастные структуры для обобщенного уравнения Колмогорова — Петровского Пискунова» удовлетворяет всем требованием ВАК РФ, предъявляемым к диссертациям на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук, а ее автор, Шарло Алена Станиславовна, заслуживает присуждения ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 — математическая физика.

.