Отзыв оппонента 1 (Контрастные структуры для обобщённого уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова)

ОТЗЫВ официального оппонента о диссертационной работе А. С. Шарло «Контрастные структуры для обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова», представленной на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 — математическая физика В диссертационной работе А.С. Шарло изучается квазилинейпос псевдопараболическое уравнение, которое принято называть оообэгг)еггггы.гг )ггавггенггеэг Коллгоеорова-Петровского-Опек)нова (ОК1П!). ".)то уравнение возникает, например. при описании процессов. происходящих в полупроводниках.

Целью работы является обобщение метода асимпготического и|ггсгрирования Тихонова-Васильевой — Бутузсэва-Нефедова па новый класс сингулярно возмущенных уравнений, к которому принадлежит и рассматриваемое в диссертации уравнение ОКГ!П. В работе проведено построение асимптотнчсского ряда для решения зтого уравнения и доказана асимптотичсская сходив|ость формального решения к пэчпому (с применением метода верхних и нижних решений и теории дифференциальных неравенств). С помощью разрабо)анного алгоритма решена важная с практической точки зрения задача с особыми точками. Следует подчеркнуть, что рассматриваемая задача не исключае'1 наличие рггзрьгвгго)1 фтгкг)гггг гвгогггноетгг ггеггго«гггггкгт.

что значительно усложняет ее исследование. В зтом случае не только с грсэится асимпгспика, но и доказывается сущесгвовапис оообщснного рсшсния. Полому можно констатировать. что метод асимптотичсскпх раз|)ожени!1«развиваех|ый на слу«иЙ Обобщенных реп)сниЙ. является з)ич!Кге:!ы!ых) Вю)адом в г)симптсэги«!сск~)о теорию дифференциальных уравнений. Диссертация состоит из шести )лав,:ик;поченпя и списка литер«ггэры. В первой главс обоснована актуальность рассматриваемой темы, сформу;шровапы цели рабо)ы и приВОдигся,)остаточно полный Оозор пх|е10)цихся В 51)пер«пърс 1эезу!ИггатОВ.

полученных для уравнения "реакция-.!иффузия "(которос являегс|! частным случаем уравнения ОКП!1). Также дан обзор резульитов. полученных в области обобшеш!ых решений псевдопараболичсских уравнений, Из |ного обзора еле')уст. по в имглоп)ихся работах разрешимость обоснована только для с) слюнной функции пло пюс ги источников. В !эаботе рассмо|!эеп с;)у«)ай как соал|п)с|11эсэвгпп!Ой. гак и пс;согоипсн1эов«)иной плотное|и источников. Ссэ«зланс!1!эсэв«зпнсэй пло)'иосз ыО ис)О'п)икОВ н«)зь)вас1с51 тождественное равенство нулю инте! рала ог функции !шотпос)и источников меж;)у сс крайними корнями.

Из резуг)ь!атсэв диссертации слелуе), по при !И)строении формальной асимптотики для указанных за,ич возникас) ряд сущее п!спш |х о!личий. Во второй паве рассматривается па илыпэ-краевая зада и |ля ) равнения ОКПП с несбалансированной функцией !Квот)юс)п исгочгшков. !!о!прае!и форм|пи,пая асимптотика с помошькэ метода асиьп!То!ическо)о разложшшя в рял по с)епепям малого параметра. разработанного академиком Лкадемш! паук СССР А.!1. 1пхоповым (1948 г.) и развитого впоследствии в работах Л.Б.

Васильевой, В.Ф. Бугузова. Н.Н. Нефедова и их ученикоВ. Дается ОбосцОВапис фо!эма:ц«ИОЙ «1симп гсэгики )и Оазс метод«1 верхних и нижних решений. разрабоганного для задач с малым параметроы. Н.Н. Нефедовым, Стандартный способ обоснования формальной асимптотики для уравнения реакции-диффузии не переносится на уравнение ОКПП, так как классический принцип максимума для параболических уравнений пе может быть применен к рассматриваемому псевдопараболическому уравнению.

В этом случае развиваются идеи метода А.И. Кожанова (1999 г.), позволяющие сформулировать так называемый обобщешп,!й принцип максимума, который затем примснясгся для обоснования асимптотики решения изучасмо!о в работе псевдопараболического уравнения. Формальная асимптотика строится в виде суммы регулярной части. стационарных пограничных функций и функций внутреннего переходпо! о слоя. Положение внутреннего переходного слоя !В!!С) определяется так называемой точкой перехода, в которой реп)ение пересекает средний из трех корней ф)л<кцпи плотности источников. Для того чтобы удовлегворигь условиям примыкания решения к ) сгойчивым уровням насьпцения, рассматриваются две задачи отдельно слева и справа от точки перехода.

Функции. входящие в формальнузс) аси~пг<от<псу, и координата точки перехода представляются в виде рядов ио степеням ма;юго параметра. Формальный асимптотический ряд строп!ся нри условии гладкого спиц!а!шя в точке перехода по каждом порядке асс<>)и ! О ги~!Ссссо< О рс<зло>!<е!и!я. 11аличие мало< О параметра при старших производных привод<с< к тому. что тошишга В!1С сгрсмится к нулю при стремлении к пулю малого параметра. попому в окрестности переходного слоя и в окрестности границ вводятся растянугые иеремсннью.

Основным рсзуль<.атом главы 2 является построение и обоснование асияи!по<ичсскогс) ряда. вы !исление функций переходного слоя и скорости дрейфа нулевого и первого порядка асимптотики. В главе 3 рассматривается гд>алансировашэая задача для уравнения ОК!П!. В о!личис от нссбалансировашюй неоднородности скорос<ь дрейфа В! 1С нулевого порядка пе Опреде;1яется из нулсво1О 1ц)пб.п!>1<сии!1, а еи!ходитс)! Нз ус<!овия сшив<!ння первого порядка. Лиа.и)гичпо лля <г!аришх приближений зиачсинс скорости вычисляется из слсдующс<о (НО порядку) 1<сиыптоти <сс<<о!О р!гэло>ксния.

Построен 1)симптотический ряд, найдена ско)юсгь;<рей<!)<1. Ооос<<ова<<а <])ормал<,!<а51 ас!<И!по!Нка с помощью метода верхних и шгя<них рсшснш1 н мс<ода диффсрсншэальных неравенств. Глава 4 посвящена изучению повеления В!!С в Окрестное!и особой точки для уравнения ОКПП со сба.шнсированной правой пастью. Особой гс)чкой в работе названа координата, в которой скорость В! 1С пулевого порядка обращается в ноль.

Ио сохраняет знак в окрестности этой точки. При !Иом в большинс<вс рассмо<рснных ранее работ для параболи юских уравнений прсдпола< алось. ги) скорость дрейфа ВПС сохраняет знак. Для кубической правой ч!)сти решен вопрос О прохождении ВГ!С через особук) !Очку. Полученные рсзульгагы истривиалы<ы и ирсдсгавл)ИО! большой интерес к<1к для уравнений псевдоп<<рабОДИ'<ес!<О! О ти!и. Так и <5!5! !На))ИОО.1и'-!сских уравнений.

В г;иве 5 рассмотрен также ингерссньш на нр<<к<и<сс сэ!у шй ир;вой части разрывной по ирос<ранствснной координа<с . Рсшсш!с задачи с раэрывной нео,'<<юродпость)о сс<сствснно !<с<сат<~ в ю<ассс <. ООО.!свскпх г!рострси1С!в <!)Янкпий с обобщенной! производной. 1!опя<ие клас<И!чсского решеш<я прп )гом неооходимо заменить на обобщенное, так как классическое решение нс существует. Построение решения вида контрастной структуры требует наличия по крайней мере трех корней функции плотности источников. Три корня можно получить с помощью степенной функции не менее третьего порядка.

Обоснование разрешимости в этом случае представляет теоретические трудности и является слишком частным для кубической функции, так как на практике встречаются и более общие задачи. В работе рассмотрена Липшиц-непрерывная по и неоднородность, а не степенная. Это является значительным достижением данной работы, поскольку построенный класс функций позволяет изучать контрастные структуры сколь угодно высокой сложности, в том числе с числом корней больше трех. Доказывается глобальная разрешимость в обобщенном смысле для уравнения ОКПП с Липшиц-непрерывной правой частью.

В шестой главе приведены результаты численного моделирования начально- краевой задачи для уравнения ОКПП, а также для уравнения реакции-диффузии. Показано соответствие аналитических формул и резуды а гов численного моделирования, Диссертационная работа Шарло Л. С, представляет собой законченное научное исследование; полученные в ней результагы строго математически обоснованы и являются сущесгвенным вкладом в теорию дифференциальных уравнений и асимптотических методов. В качестве замечаний к диссертационной работе можно отме ппь следующие: 1.

В задаче с особой точкой расчеты скорости в старших порядках проведены только для кубической правой части. На практике было бы полезно привести формулу для скорости дрейфа в окрестности особой точки для неоднородности произвольного вида, так как это могло бы быть использовано для более широкого класса задач о пробое в полупроводниках. 2. В ссылке 70 списка литературы в слове 8спега!гиен вмесго буквы г указана буква Й. Указанные замечания не снижают ценпосзи полученных результатов. Первое из пих носит рекомендате»льный характер н мо»кег служи'гь гамой:шлыгейших исследований автора.

Автореферат полностью отражает содержание дисссрт»зшпь Диссертационная работа соответствует всем требованиям. предьявляемым ВЛК к диссертациям на соискание ученой сгспсни кандидата физико-математических наук. а ее автор, Шарло А.С., заслуживает присуждения ей ученой степени кандидата физикоматематических наук по специальности О!.0!.ОЗ -- математическая физика. Официальный оппонент: доктор физико-математических наук. профессор кафедры высшей математики ФГБОУ ВПО "Национальный исследовательский университет "М'.ЗИ", Бободжанов А.Л. 111250, г. Москва.

ул. Красноказарменная д.!7. ФГБОУ ВПО "Национальный исследовательский универс . " ЭИ". »: 'Й», ;;:»»»»:"» кафедра высшей мате тел. 8(495)362-78 74 е-ша11: ЬоЬо!апона .