Отзыв ведущей организации (Контрастные структуры для обобщённого уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова)

«УТВЕРЖДАЮ» '; "-! ", ':й"г'„.~с *,'Ф НаффбнаЛьн го иссле вательского и .универсйтета «МИЭТ» ;,. '-4(лен-корреспондент РАН, .~д;~~'.~" Чаплыгин Ю.А. МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский университет «Московский институт электронной техники» нл.Шекина„д.!, г,Зеленоград, г.москва, 124498 тел.:+7(499) 73! 44 41 Факс:~ 7(499) 710 22 33 Б. ВОек~иа,и Вр:Ф .

1 ОГРН 1027739б15584 "'гУ ез9'..~ю - 4 Ла Фб -~~ 4ЯФ-~)~ на3а ОТЗЫВ ведущей организации на диссертационную работу ШАРЛО Алены Станиславовны «Контрастные структуры для обобщенного уравнения Колмогорова- Петровского-Пискунова», представленную на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 — математическая физика. и Диссертация А.С.

Шарло посвящена исследованию некоторых классов решений уравнений типа Колмогорова-Петровского-Пискунова (КПП) с дополнительным членом, пропорциональным временной производной от пространственного лапласиана. Такое обобщение уравнения КПП (в дальнейшем — ОКПП) встречается в задачах различной физической природы, в частности в моделях теории полупроводников, в задачах астрофизики и в моделях математической биологии. Основное внимание в работе уделено решениям ОКПП, описывающим движущиеся фронты перехода между двумя состояниями равновесия. Эти существенно нелинейные объекты, называемые в зависимости от физического контекста, переходными слоями, кннками, доменными стенками, игра1от важи)чо роль при построении различных физических теорий. В частности, такие фронты описывают границы так называемых контрастных структур (КС), возникающих в приложениях различной физической природы. В работе дается развернутое описание ряда физических моделей.

в которых возникают КС с обширным обзором соответствующей литературы. Таким образом, рассматриваемая задача, безусловно, является аклгуаньной. Уравнение ОКПП является существенно нелинейным и включает производные высокого (третьего) порядка. '3то делает его достаточно трудным объектом для исследования. Основным допущением работы, позволяюпгим провести аналитическое исследование, является малость коэффициентов при всех производных уравнения ОКПП. Возникающую при этом задачу можно рассматривать как сингулярно возмущенную, и применять к ней весь арсенал методов, разработанных для задач такого типа.

Эти методы. восходящие к классическим работам А.Н.Тихонова и Л.Б.Васильевой. предполагают уверен«ос владение достаточно сложной математической техникой. На мой взгляд. в своей работе диссертантке удалось не только примспить известные методы (ис«ользование обобщенных решений, дифференциальных неравенств и т»ь). но и творчески их развить, решив поставлен«ые в диссертации задачи. Диссертация представляет собой объехшый груд (174 страницы, в списке литературы Иб источников). Работа состоит из шести глав. ((ервая (вводная) глава «редставляст собой сводку известных результатов относительно «риме«с«ия асимптотических методов к уравнению КПП, а также обзор физических моделей, в которых возникает ОК1П1. Глава содержит большой объем материала и полезна для знакомства с проблематикой в целом.

Впгарая глава «освящена исследованию уравнения ОКПП в пространственно одномерном случае, при несбалансированной плотности источников. Под нссбгшансированной «лот«остью источников здесь понимается неравенство нулю интеграла от нелинейности по промежутку между состояниями равновесия. В этой главе подробно излагается метод «остроспия асимптотической формулы и доказывается теорема об асимптотической оценке построенного разложения.

При этом асияштотическое решение строится в виде суммы трех компонент: регулярной части, функций переходного слоя, и пограничных функций. В гпрегпьей главе, также в пространственно одномерном случае, доказывакзтся утверждения об асим«тотической оцс«кс для решений ОК!П1 в случае сбалансированной нелинейности. г(еииертая глава посвящена более тонким аспектам теории, связанным с наличием особых точек. Особые гочки возникакн в случае, когда скорость фронта в нулевом приближении обращается в нуль, причем соответствующий корень является кратным. Физическим приложением задач с особой точкой является описание эффекта пробоя в полупроводниках. В такой ситуации особая точка является точкой неустойчивого равновесия. 11ри этом фронт может.

как пройти через особую точку, так и остаться в сс окрес пюсти, В работе в«ервыс систематически используется асимптотическое приближение старших (второго, третьего) порядков для исследования эволюции фронта при наличии особой точки, имеющей несколько корней разной кратности. Получены явные выражения для скорости фронта старших порядков и аналитически исследована задача с кубической функцией плотности исгоч«иков, которая является ста«дарг«ой моделью в теории галактического динамо. Сформу.шровапы достаточные условия прохожден ия и остановки фрон га особой точкой. В пятой главе рассматриваются обобщен«ыс решения уравнс«ия ОКПП. Уравнение ОК1П1 при этом предполагается пространственно неод«омерным.

")ти решения естественно рассматривать в случае, когда функция источников разрывна, и классические решения не существуют. Доказывается теорема сравнения для обобщенных решений, а построение асимптотического разложения иллюстрируется пространстве««о-одномерным частным случаем.

((!естая глава целиком посвящена числе«ному исследованию уравнения ОКПП. Представлена разностная схема для моделирования эволюции и описан численный алгоритм ее реализации. Приведены результаты численных расчетов, как для случая урав«с«ия «реакция-диффузия», так и для ОК1П1. Подробно исследуется вопрос о «рохождснии или нс прохождении фронта через особую точку и явление «за«ирания» фронта. !!риводятся также результаты численных «сслсдовапий в случае, когда функция источников разрыв«и, Отмечается хорошее соответствие численного и аналитического решений. В качестве ос«овных научных достижений следует выделить следующие: и) Разработан и оооснова« метод «осгроспня асим«зогичсского разложения для решений типа ко«грастной структуры для урив«спия ОКПП. б) Разработана методика исследования прохождения и останова фронта (границы контрастной структуры) в окрестности особой точки, в которой скорость дрейфа обращается в нуль и не мсняет знак в ее окрестности.

в) Разработана методика построения формальной асимптотики для обобщенных решений сингулярно возмущсгшой начально-краевой задачи для уравнения ОКПП с разрывной функцией п:ютности источников. Указанные резульгаты, безусловно, являются значимыми для теории сингулярно возмущенных краевых задач, теории обобщенных решений и могут быль использованы при решении других начально-краевых задач параболического и псевдопараболического типов, в том числе задач с особыми точками. Предложенная методика исследования эволюции контрастных структур. в том числе в присутствии особых точек„позволяет решить ряд новых задач, описывающих эволктцшо магнитного поля в гурбулентной среде, задачу о дрейфе носителей в полупроводниках, движении токовых плазменных слоев.

Диссертация отражает результаты большой работы, сделанной аккуратно и на высоком научном уровне. Вместе с тем, хотелось бы сделать ряд замечаний. 1. При изложении матерна:ш автор использует аббревиатуры, что совершенно естественно для работы в такой области. Вместе с тем в ряде мест болыное количесгво аббревиатур затрудняет чтение. Например„аббревиатура РД !реакция-диффузия) появляегся на стр. 17, в то время как определение этой аббревиатуры вводится лишь на стр. 115. Далее, основным объектом исследований в диссертации является динамка фуюггггга — волны перехода между двумя состояниями равновесия.

В работе для него используется аббревиатура ВПС (внутреппгзй переходный слой), что, на мой взгляд, усложняег понимание. Кроме того, если я правильно понимаю, уравнение РД (реакция-диффузия) в используемом контексте вполне можно назвать уравнением КПП (Колмогорова- Петровского-Пискунова). '!'огда противопоставление; «традиционная модель, КПП» «обобщенная модель, ОКПП» - выглядело оы более естественно. тем более, что аббревиагура К1РП также введена. 2.

Диссергацня содержит большое количество достаточно слогкных формул, что совершенно естественно для работы по специальности «Математическая физика». Вместе с тем„для упрощсния восприятия, возможно. стоило бы проиллюстрировать формулы из глав 2-4 схематическими рисунками. Например, понятия «точки перехода». «переходный слой», «пограничные функции», «особая точка» воспринимались бы значительно легче при наличии соответствующих иллюстративных диаграмм. 3, Представляя результаты численного исследования в главе 6, автор достаточно скупо описывает как числешгую схему, гак и а.н оритм для ее реализации.

В частности, не указано. какой порядок аппроксимации имеет выбранная схема, нс приводятся результаты тестовых !гасчетов н;г рггзнг гх сетках. Возможно. это было бы не так сунгествсгнго, - тем более, учитывая специальность. по которой защищается работа, - по в работе указывается, что скорость дрейфа контрастной структуры находится с точностью до шести верных цифр. Это прсдполагтгет контроль ошибки численног.о счета. Кроме того, в диссертации приводятся результаты численного счета уравнения ОКПП в случае разрывной функции источников.

Пст ли необходимости при агом в модификации выбранной численной схсмыу 4. 1'абота в целом достаточно хороню вычитана, но некоторое количество опечаток все же имеется. В частности. опечатка в индексах имеется в выражении для правой части формулы (6.2), представлягощсй разностную схему. Указанные замечания не снижают уровня работы и ее значимости.

В целом. диссертация А.С. 1!!арло, представляет собой законченное исследование. В работе продемонстрировано хорошее владение методами теории асимптотических разложений, методами теории обобщенных решений, предложено решение новых, не рассмотренных ранее задач. Достоверность результатов подтверждена корректностью используемых методов и результатами численного эксперимента. Результаты„ полученные в работе, опубликованы в журналах, рекомендуемых ВАК, и изложены на конференциях и научных семинарах. Отзыв на диссертационную работу А.С.

Шарло «Контрастные структуры для обобгценного уравнения Колмогорова-Петровского-Г1искунова» рассмотрен на заседании кафедры «Высшая математика-1» 24 апреля 2015 года, протокол №10. Отзыв составил профессор кафедры ВМ-1 НИУ МИЭТ, доктор физико-математических наук, ГЛ.Алфимов Подпись Г.Л.Алфимова заверяк> Ученый секретарь НИУ МИЭТ Кандидат технических наук ~ф ' ~у Н.М.Ларионов. Автореферат корректно отражает содержание диссертации.

Тематика диссертационной работы А.С, Шарло «Контрастные структуры для обобщенного уравнения Колмогорова-Г1етровского-Пискунова», безусловно, соответствует специальности 01.01.03 — математическая физика, По моему мнению, диссертационная работа отвечает всем требованиям, предъявляемым ВАК, к диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-магематических наук. а Шарло Алана Сгпаггггсзгсгвовна засггулгсггваегп присугнсдения ей учепсги спгеггегггг кгзндиг)ата физико-лгггпгелгггпгггческггх наук по спс г1иальпосггш Ог', Ог.

03 — магггезгсггпггческггя физика. .