Заключение диссертационного совета (Контрастные структуры для обобщённого уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова)

Заключение диссертационного совета Д 501.002.10 при Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего образования «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова» по диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук аттестационное дело № решение диссертационного совета от 21.05.2015 Протокол № 3 О присуждении Шарло Алене Станиславовне, гражданке Российской Федерации, ученой степени кандидата физико-математических наук. Диссертация «Контрастные структуры для обобщенного уравнения Колмогорова — Петровского — Пискунова» по специальности 01.01.03 — математическая физика принята к защите 12 марта 2015 г., протокол № 1, диссертационным советом Д 501.002.10 при Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего образования «Московский государственный университет имени М.В.

Ломоносова», 119991, Москва, Ленинские горы, д.1, приказ Рособрнадзора № 2397-1804 от 07. 12.2007. Соискатель Шарло Алена Станиславовна, 1986 года рождения, в 2011 году окончила физический факультет ФГБОУ ВО «Московский государственный университет имени М,В. Ломоносова». В 2014 году Шарло А.С. окончила очную аспирантуру кафедры математики физического факультета ФГБОУ ВО «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова». В период подготовки диссертации соискатель являлась аспирантом кафедры математики физического факультета ФГБОУ ВО «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова».

Диссертация выполнена на кафедре математики физического факультета ФГБОУ ВО «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова». Научный руководитель — доктор физико-математических наук Быков Алексей Александрович, профессор кафедры математики физического факультета ФГБОУ ВО «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова». Официальные оппоненты: 1.

Бободжанов Абдухафиз Абдурасулович, гражданин РФ, доктор физикоматематических наук, профессор, профессор кафедры высшей математики Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет «МЭИ», 2. Нестеров Андрей Владимирович, гражданин РФ, профессор, доктор физико-математических наук, профессор, профессор Государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования города Москвы «Московский городской педагогический университет», дали положительные отзывы на диссертацию, Ведущая организация — Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский университет «Московский институт электронной техники» (г.

Зеленоград), в своем положительном заключении, подписанном Алфимовым Георгием Леонидовичем, доктором физико-математических наук, профессором кафедры «Высшая математика-1» ФГАОУ ВО «Национальный исследовательский университет «МИЭТ», указала, что диссертационная работа отвечает всем требованиям, предъявляемым ВАК к кандидатским диссертациям, а ее автор, Шарло Алена Станиславовна, заслуживает присуждения ей ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 — математическая физика.

Соискатель имеет 11 опубликованных работ, из них по теме диссертации опубликовано 11 работ, общим объемом 4 печатных листа, в том числе 3 статьи в научных журналах и изданиях, которые включены в перечень российских рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научных результатов диссертаций.

Наиболее значимые научные работы по теме диссертации: 1. Быков А.А., Шарло А.С. / Нестационарные контрастные структуры для обобщенного уравнения Колмогорова — Петровского — Пискунова // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика, астрономия. — 2012.— № 2. — С. 3-8. 2. Быков А.А., Нефедов Н.Н., Шарло А.С.

/ Контрастные структуры для квазилинейного уравнения Соболевского типа с несбалансированной нелинейностью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2014. — Т. 54. — № 8.— С. 1270-1280. 3. Быков А.А., Шарло А.С. / Нестационарные контрастные структуры в окрестности особой точки П Математическое моделирование, 2014. — Т. 2б. — № 8. — С. 107-125. Все работы содержат оригинальные научные результаты. В установленные сроки на диссертацию и автореферат дополнительных отзывов не поступило. Выбор официальных оппонентов обосновывается тем, что официальные оппоненты являются квалифицированными специалистами по теме рассматриваемой диссертационной работы, имеют значительное количество публикаций в ведущих российских и зарубежных журналах по темам, соответствующим теме работы соискателя, а также отсутствием совместных печатных работ с соискателем.

Выбор ведущей организации обосновывается тем, что она является одной из известных организаций, проводящей исследования в области применения в теории результатов для физических систем, в которых проявляются движущиеся внутренние переходные слои в неоднородных средах, в том числе в полупроводниках. Ведущая организация также обладает специалистами высокого уровня по применению краевых задач к описанию физических процессов в полупроводниках.

Диссертационный совет отмечает, что на основании выполненных соискателем исследований: разработана методика построения асимптотического разложения решения квазилинейного псевдопараболического уравнения, позволяющая развить теорию асимптотических методов на новый класс задач, а именно на начально-краевые задачи для псевдопараболических дифференциальных уравнений, которые в настоящее время активно применяются в ряде областей физики, в том числе в теории полупроводников; предложена и строго обоснована методика исследования поведения внутренних переходных слоев в задачах с особой точкой; доказана перспективность использования полученных результатов в теории дифференциальных уравнений, а также в теории полупроводников, где применяется рассматриваемое уравнение; введено новое понятие особой точки контрастной структуры, позволяющее выделить и описать новый теоретически значимый и практически важный класс прикладных задач.

Доказана и обоснована значимость изучения особых точек в теории контрастных структур в неоднородных средах. Теоретическая значимость исследования обоснована тем, что доказаны теоремы, вносящие вклад в развитие теории асимптотических методов; применительно к проблематике диссертации результативно использован метод асимптотического разложения в ряд по степеням малого параметра, а также метод дифференциальных неравенств и метод верхних и нижних решений, метод обобщенных решений начально-краевой задачи с разрывной функцией плотности источников; изложены основные положения теории контрастных структур в применении к начально-краевым задачам для квазилинейных псевдопараболических уравнений, построено асимптотическое разложение решения в ряд по степеням малого параметра, дано доказательство корректности построенного асимптотического разложения; раскрыты новые проблемы, связанные с возможным наличием особых точек в неоднородных средах, а также изучены методы решения этих проблем, позволяющие дать ответ на вопрос о прохождении внутреннего переходного слоя через область с особой точкой; изучены различия, возникающие при рассмотрении обобщенного уравнения Колмогорова — Петровского — Пискунова и уравнения реакции-диффузии; проведена модернизация метода асимптотического разложения в ряд по сте- пеням малого параметра на задачу с разрывной неоднородностью.

Значение полученных соискателем результатов исследования для практики подтверждается тем, что: разработана методика построения асимптотического разложения решения для уравнения в частных производных, описывающего процессы, происходящие в полупроводниках, а также методика решения вопроса о прохождении и останове фронта решения для уравнения реакции-диффузии и обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова при наличии особой точки. В дальнейшем использование данной методики позволит строить асимптотические решения для других псевдопараболических уравнений, а также исследовать начально-краевые задачи с особыми точками; определены перспективы практического использования разработанных методов для решения ряда практических задач с особыми точками; представлены рекомендации по исследованию вопроса о прохождении фронтов через особую точку для параболических и псевдопараболических уравнений.

Результаты диссертации могут быть использованы в научных и учебных организациях, в которых ведутся исследования в области дифференциальных уравнений и теории полупроводников, теории галактического динамо, в математической экологии. Оценка достоверности результатов исследования выявила, что результаты исследования были многократно доложены на конференциях, на которых присутствовали крупнейшие специалисты в области используемых методов: А.Б.

Васильева, В.Ф. Бутузов, Н.Н. Нефедов; теория основана на широко используемых и хорошо зарекомендовавших себя методах построения асимптотических разложений решений для нелинейных сингулярно возмущенных задач и методах сравнения для доказательства существования решений дифференциальных уравнений; идея базируется на анализе работ известных российских ученых А.Н.

Тихонова, А.Б. Васильевой„В.Ф. Бутузова, Н,Н. Нефедова по асимптотическим методам для сингулярно возмущенных уравнений, а также работ А.Г. Свешникова, М.О. Корпусова в области обобщенных решений, работ А.И. Кожанова в области классических решений псевдопараболических уравнений. Тем самым произведено всестороннее изучение рассматриваемой задачи; установлено соответствие решений, полученных с помощью асимптотического метода и численно, а также соответствие результатов, полученных для уравнения реакции-диффузии другими авторами и результатов для обобщенного уравнения Колмогорова — Петровского-Пискунова в случае, когда характерный член для обобщенного уравнения Колмогорова — Петровского — Пискунова обращается в нуль; использованы строгие математические методы асимптотического разложения в ряд по степеням малого параметра и метод дифференциальных неравенств, применяемые для построения и обоснования асимптотического разложения, а также методы функционального анализа для обоснования существования обобщенного решения.