Автореферат (Контрастные структуры в задачах со сбалансированной адвекцией), страница 3

. . ,(∓)(18)(∓)Q(∓) (ξ, t, ε) = Q0 (ξ, t) + εQ1 (ξ, t) + . . . .Регулярные части асимптотических разложений — функции Uопределяются точно так же, как и в главе 2 (см. (9)).(19)(∓)Функции переходного слоя определяются из следующих уравнений15(x, ε)∂Q(∓)1 ∂ 2 Q(∓) dx∗ (t, ε) ∂Q(∓)−ε=+ε ∂ξ 2dt∂ξ∂t ∂Q(∓) 1(∓)=A U (x∗ (t, ε) + εξ, ε) + Q(∓) , x∗ (t, ε) + εξ+ε∂ξ(∓)dU+ QA(x∗ + εξ)dx+ QB(x∗ + εξ), (20)гдеQA(x∗ + εξ) =(∓)(∓)=A U(∓)(∓)(x∗ (t, ε) + εξ, ε) + Q , x∗ (t, ε) + εξ − (∓)− A U (x∗ (t, ε) + εξ, ε) , x∗ (t, ε) + εξ ,QB(x∗ + εξ) ==B U(x∗ (t, ε) + εξ, ε) + Q , x∗ (t, ε) + εξ − (∓)− B U (x∗ (t, ε) + εξ, ε) , x∗ (t, ε) + εξс граничными условиямиQ(∓) (0, t, ε) + U(∓)(x∗ (t, ε), ε) = ϕ(x∗ (t, ε)).Потребуем также выполнения стандартного для функций переходногослоя условий убывания на бесконечности:Q(∓) (∓∞, t, ε) = 0,t ∈ [0, T ].Коэффициенты разложения x∗ (t, ε) находятся из условия гладкого сшивания.Так функция x0 (t) определяется как решение задачи Коши. dx0 ϕ(−) (x ) − ϕ(+) (x ) = H(x ),000dtx0 (0) = x00 ,где функция H(x∗ ) определена в (14).16(21)Начальное условие x0 (0) = x00 задачи (21) задается следующим образом.Считаем, что x00 — это точка пересечения фронта uinit (t, ε), заданного в начальный момент времени, и кривой ϕ(x), определенной в (17):uinit (x00 ) = ϕ(x00 ).Потребуем разрешимости этой задачи Коши.Условие B4.Пусть задача (21) имеет единственное решение, которое в каждый моментвремени t ∈ [0, T ] принимает значения внутри интервала (0, 1).При условиях (A1)–(A3), (B4) построено формальное асимптотическоеразложение произвольного порядка по ε решения u(x, t, ε) в виде движущегося фронта, имеющее в каждый момент времени резкий переходныйслой в окрестности точки x0 (t) и близкое к функции ϕ(−) (x) слева от этойокрестности и к функции ϕ(+) (x) справа от нее.Положим Xn+1 (t) =Pn+1i=0εi xi (t) и ξn+1 =x − Xn+1 (t).εСоставим суммыUn(−) (x, t, ε)Un(+) (x, t, ε)==nXi=0nXi(−)U i (x)i(+)U i (x)εε,(x, t) ∈ Dn ,,(x, t) ∈ Dn ,+(−)Qi (ξn+1 , t)+(+)Qi (ξn+1 , t)(−)i=0Dn(∓)— подобласти, на которые кривая Xn+1 (t) делит D:Dn(−)= {(x, t) : 0 6 x 6 Xn+1 , t ∈ [0, T ]} ,Dn(+)= {(x, t) : Xn+1 6 x 6 1, t ∈ [0, T ]} .Положим17(+)Un(−) (x, t, ε),Un (x, t, ε) =Un(+) (x, t, ε),(x, t) ∈ Dn(−)(x, t) ∈ Dn(+),.Основным результатом главы 3 является следующая теорема.Теорема 2.

Пусть выполнены условия (A1)–(A3), (B4). Тогда для достаточно малого ε существует решение u(x, t, ε) нестационарной задачи,которое в каждый момент времени имеет переходный слой вблизи точкиперехода x0 (t), то естьlim u(x, t, ε) =ε→0ϕ(−) (x)при0 6 x < x0 (t),t ∈ [0, T ],ϕ(+) (x)приx0 (t) < x 6 1,t ∈ [0, T ]и удовлетворяет следующему неравенствуdef|u(x, t, ε) − Un (x, t, ε)| 6 Cn εn+1 , (x, t) ∈ D = {x ∈ [0, 1]; t ∈ [0, T ]} ,где положительная постоянная Cn не зависит от ε.Доказательство теоремы проведено с помощью асимптотического методадифференциальных неравенств, доработанного применительно к задаче (15)в предположении выполнения требования (A2) — баланса адвекции.В главе 4 рассматривается сингулярно возмущенная краевая задача Дирихле с периодическим условием по времени: ∂u∂2uε ∂x2 − ∂t = A(u, x, t) ∂∂xu + B(u, x, t),(x, t) ∈ D def= {x ∈ (0, 1); t ∈ (−∞, +∞)}(22)u(0, t, ε) = u(−) (t), u(1, t, ε) = u(+) (t),u(x, t, ε) = u(x, t + T, ε).Функции A(u, x, t), B(u, x, t), u(−) (t) и u(+) (t) достаточно гладкие вобласти D и обладают условием периодичности по t с периодом T .18В главе 4 исследуется вопрос о существовании и асимптотическом приближении решения с периодически изменяющимся внутренним переходнымслоем краевой задачи (22).Задача решается в предположении выполнения следующих условий:Условие C1.ЗадачиA(u, x, t) ∂ u + B(u, x, t) = 0,∂xu(0, t) = u(−) (t)(23)A(u, x, t) ∂ u + B(u, x, t) = 0,∂xu(0, t) = u(+) (t)(24)иимеют T –периодические по переменной t решения u(x, t) = ϕ(−) (x, t)и u(x, t)=ϕ(+) (x, t), соответственно, которые определены приdef(x, t) ∈ D = {x ∈ [0, 1]; t ∈ (−∞; +∞)} и удовлетворяют следующимнеравенствам ϕ(−) (x, t) < ϕ(+) (x, t) при (x, t) ∈ D, A ϕ(−) (x, t), x, t > 0,A ϕ(+) (x, t), x, t < 0 при (x, t) ∈ D.Условие C2.

(условие баланса адвекции)ϕ(+)R(x,t)ПустьA(u, x, t)du ≡ 0, для всех (x, t) ∈ D.ϕ(−) (x,t)Условие C3.Пусть для всех s ∈ ϕ(−) (x, t), ϕ(+) (x, t) и всех x ∈ (0, 1), t ∈ R выполнеRsно неравенствоA(u, x, t)du > 0.ϕ(−) (x,t)В главе 4 построено формальное асимптотическое разложение решениякраевой задачи (22) с внутренним переходным слоем, локализованным в каждый момент времени t ∈ R вблизи точки x = x∗ (t, ε), которая определяетсякак разложение по степеням малого параметра ε:x∗ (t, ε) = x0 (t) + εx1 (t) + . .

. ,19(25)и является Т-периодической функцией.Как и в главах 2 и 3 асимптотическое разложение решения строится от(−) def= {(x, t) : 0 6 x 6 x∗ (t, ε); t ∈ (−∞, +∞)} идельно в областях D(+) defD= {(x, t) : x∗ (t, ε) 6 x 6 1; t ∈ (−∞, +∞)}, а затем гладко сшивается в точке x∗ (t, ε) для каждого значения t.Коэффициенты разложения (25) точки перехода определяются из условийC 1 –сшивания асимптотических разложений решений задачи (22) в областях(−)(+)D иD .В частности, функция x0 (t) определяется как решение задачи Коши dx0 ϕ(−) (x , t) − ϕ(+) (x , t) = H (+) (t, x ) − H (−) (t, x ),0000dtx0 (t + T ) = x0 (t),(26)где H(t, x∗ ) = H (+) (t, x∗ ) − H (−) (t, x∗ ),H(±)∂ϕ(±) (x∗ , t)(t, x∗ ) =+∂x!Z0(±)∂ϕ∂ Ã∂ Ã+Φ(ξ, t, x∗ )(ξ, t)(x∗ , t) · ξ +(ξ, t) · ξ +∂u∂x∂x±∞∂ϕ(±)+ Ã(ξ, t)(x∗ , t) + B̃(ξ, t) dξ−∂x(±)(±)− U 1 (x∗ , t)A(x∗ , t) .

(27)ЗдесьU (−) (x , t) + Q(−) (ξ, t)∗00ũ0 (ξ, t, x∗ ) =(+)(+)U (x∗ , t) + Q (ξ, t)00Φ(ξ, t, x∗ ) =при ξ 6 0,t ∈ R,при ξ > 0,t ∈ R,∂ ũ0,∂ξÃ(ξ, t) = A (ũ0 (ξ, t, x∗ ), x∗ , t) , B̃(ξ, t) = B (ũ0 (ξ, t, x∗ ), x∗ , t) .Потребуем разрешимости этой задачи:20Условие C4.Пусть задача (26) имеет решение x0 (t) ∈ (0, 1) периодичное по параметруt при t ∈ R.Из условия C 1 -сшивания в (i+1)-м порядке по степеням ε получаем задачидля определения i-го коэффициента в разложении точки перехода x∗ (t) (25):− dxi − D(t)x (t) = G (t),iidtxi (t + T ) = xi (t),(28)гдеD(t) =!∂Hdx∂0×+ϕ(+) (x∗ , t) − ϕ(−) (x∗ , t) (t, x∗ )∂x∗dt ∂x∗x∗ =x0x∗ =x0−1(+)(−)ϕ (x0 , t) − ϕ (x0 , t),а функция Gi (t) известна для каждого i.Для обоснования существования у задачи (22) периодически изменяющегося во времени решения, потребуем выполнения ещё одного условия.Условие C5.Пусть функция D(t) удовлетворяет неравенствуRTD(t)dt > 0.0При условиях (С1)–(С5) построено формальное асимптотическое разложение произвольного порядка по ε решения u(x, t, ε) с внутреннимпереходным слоем, локализация которого периодически изменяется вовремени в окрестности точки x0 (t), близкого к функции ϕ(−) (x, t) слева отэтой окрестности и к функции ϕ(+) (x, t) справа от нее.Положим Xn+1 (t) =Pn+1i=0εi xi (t) и ξn+1 =Составим суммы21x − Xn+1 (t).εUn(−) (x, t, ε)Un(+) (x, t, ε)==nXi=0nXi(−)U i (x)i(+)U i (x)εε,(x, t) ∈ Dn ,,(x, t) ∈ Dn ,+(−)Qi (ξn+1 , t)+(+)Qi (ξn+1 , t)(−)(+)i=0где Dn(∓)— подобласти, на которые кривая Xn+1 (t) делит D:Dn(−)= {(x, t) : 0 6 x 6 Xn+1 , t ∈ [0, T ]} ,Dn(+)= {(x, t) : Xn+1 6 x 6 1, t ∈ [0, T ]} .ПоложимUn(−) (x, t, ε),Un (x, t, ε) =Un(+) (x, t, ε),(x, t) ∈ Dn(−)(x, t) ∈ Dn(+),.Основным результатом главы 4 является теорема.Теорема 3.

Пусть выполнены условия (C1)−(C4). Тогда для достаточно малого ε существует решение u(x, t, ε) краевой задачи с периодическимусловием по времени, которое в каждый момент времени имеет переходный слой вблизи точки перехода x0 (t), то естьϕ(−) (x, t) при 0 6 x < x (t),0lim u(x, t, ε) =ε→0ϕ(+) (x, t) при x0 (t) < x 6 1,t ∈ R,t∈Rи удовлетворяет следующему неравенству|u(x, t, ε) − Un (x, t, ε)| 6 Cn εn+1 ,def(x, t) ∈ D = {x ∈ [0, 1]; t ∈ R},где положительная постоянная Cn не зависит от ε.Доказательство теоремы проведено с помощью асимптотического методадифференциальных неравенств, доработанного применительно к задаче (22)с периодическими условиями по времени и в предположении выполнения требования (C2) баланса адвекции.22Список литературы[1] А.

Б. Васильева, В. Ф. Бутузов, “Асимптотические методы в теории сингулярныхвозмущений”, 1990, 208.[2] А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов, Н. Н. Нефедов, “Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах”, Фундамент. и прикл. матем., 4:3 (1998), 799–851.[3] В. Т. Волков, H. Н. Нефëдов, “Развитие асимптотического метода дифференциальных неравенств для исследования периодических контрастных структур в уравнениях реакция-диффузия”, Ж. вычисл.

матем. и матем. физ., 46:4 (2006), 615–623;Comput. Math. Math. Phys., 46:4 (2006), 585–593.[4] Ю. В. Божевольнов, Н. Н. Нефëдов, “Движение фронта в параболической задаче реакция-диффузия”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 50:2 (2010), 276–285;Comput.

Math. Math. Phys., 50:2 (2010), 264–273.[5] Н. Н. Нефедов, М. А. Давыдова, “Контрастные структуры в сингулярно возмущенных квазилинейных уравнениях реакция-диффузия-адвекция”, Дифференциальныеуравнения, 49:6 (2013), 715–733.[6] Volkov, V.T. and Nefedov, N.N., “Asymptotic-numerical investigation of generation andmotion of fronts in phase transition models”, Lecture Notes in Computer Science, 8236(2013), 524–531.[7] А.

Б. Васильева, “Контрастные структуры типа ступеньки для сингулярно возмущенного квазилинейного дифференциального уравнения второго порядка”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 35:4 (1995), 520–531; Comput. Math. Math. Phys., 35:4(1995), 411–419.[8] Е. А. Антипов, Н. Т. Левашова, Н. Н. Нефедов, “Асимптотика движения фронтав задаче реакция-диффузия-адвекция”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 54:10(2014), 1594–1607.[9] Н. Т. Левашова, Ю. В. Мухартова, М. А.

Давыдова, Н. Е. Шапкина, А. В. Ольчев,“Применение теории контрастных структур для описания поля скорости ветра впространственно неоднородном растительном покрове”, Вестник Московского Университета. Серия 3. Физика. Астрономия, 3 (2015), 3–10.[10] В. А. Васильев, Ю. М. Романовский, В. Г. Яхно, “Автоволновые процессы”, 1987,240.[11] В. Т. Волков, H. Е. Грачëв, Н. Н. Нефедов, А. Н. Николаев, “О формировании резкихпереходных слоев в двумерных моделях реакция-диффузия”, Ж. вычисл. матем. иматем.