Автореферат (Контрастные структуры в задачах со сбалансированной адвекцией)

На правах рукописиЯГРЕМЦЕВ Алексей ВикторовичКОНТРАСТНЫЕ СТРУКТУРЫ В ЗАДАЧАХ СОСБАЛАНСИРОВАННОЙ АДВЕКЦИЕЙ01.01.03 — математическая физикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико–математических наукМосква — 2015Работа выполнена на кафедре математики физического факультетаМосковского государственного университета имени М.В.ЛомоносоваНаучный руководитель: Нефедов Николай Николаевичд. ф.–м. н., профессор,ФГБОУ ВО «Московский государственныйуниверситет имени М.В.Ломоносова»Официальные оппоненты: Доброхотов Сергей Юрьевичд. ф.–м. н., профессор,ФГБУН «Институт проблем механикиим. А.Ю.

Ишлинского РАН» (ИПМех РАН)Кащенко Сергей Александровичд. ф.–м. н., профессор,ФГБОУ ВПО «Ярославский государственныйуниверситет им. П.Г. Демидова» (ЯрГУ)Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Национальныйисследовательский университет «МЭИ»Защита состоится 18 февраля 2016 г.

в 15 часов 30 минут на заседаниидиссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу:119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, дом 1, стр. 2, физическийфакультет, ЦФА.С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотекеМГУ имени М.В.Ломоносова.Автореферат разослан «»Ученый секретарьдиссертационного совета Д 501.002.10доктор физико-математических наук,профессор20г.П.А. ПоляковОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫИсследование начально-краевых задач для дифференциальных уравнений является важной составляющей математического моделированияв физике.

При разработке модели, описывающей физическое явление,определяется набор факторов, которые нужно включить в рассмотрение,чтобы учесть все его характерные особенности. В модельной задаче каждомуиз этих факторов отвечает некоторое слагаемое в уравнении или краевомусловии. При этом часть слагаемых по порядку величины может оказатьсямалой по сравнению с другими. Такие слагаемые называются возмущениемзадачи.Возмущения принято делить на два типа: регулярные и сингулярные.Регулярные возмущения — это возмущения, учет которых не оказываетзначительного изменения решения невозмущенного уравнения.

Сингулярныевозмущения, напротив, вносят существенные изменения в решение невозмущенной задачи. В этом случае задачи называют сингулярно возмущенными.В частности, сингулярно возмущенными являются дифференциальныеуравнения, в которых малый множитель стоит при старшей производной.Как было показано в ряде работ [1–6], краевые задачи с малым параметромпри старшей производной по координате допускают существование решенийвида контрастных структур типа ступеньки. Контрастной структурой типаступеньки называется функция, внутри области определения которой естьинтервал, на котором происходит резкое изменение значений этой функции.Эта область называется внутренним переходным слоем.В настоящей работе исследуются краевые и начально-краевые задачи длясингулярно возмущенных дифференциальных уравнений типа реакция-диффузия-адвекция следующего вида: 2ε ∂∂xu2 −∂u∂tdef= A(u, x) ∂∂xu + B(u, x) (x, t) ∈ D = {x ∈ (0, 1); t ∈ (0, T )};u(0, t, ε) = u(−) , u(1, t, ε) = u(+) ,u(x, 0, ε) = u (x, ε),init(1)3Здесь ε > 0 — малый параметр, T — некоторая положительная величина.Считаем, что функции A(u, x) и B(u, x) достаточно гладкие в областиdefΩ̄ = D × I(u), где I(u) — область значений функции u(x, t, ε).Задача решается в предположении, что выполнены следующие условия.Условие 1.duВырожденное уравнение A(u, x) + B(u, x) = 0 с дополнительным услоdx(−)вием u(0) = uимеет решение u = ϕ(−) (x), а с дополнительным условиемu(1) = u(+) — решение u = ϕ(+) (x).Ранее в работах [7, 8] рассматривалась задача в постановке (1) в предположении выполнения условия 1.

При этом предполагалось, что уравнениеϕ(+)R (x)defA(u, x)du = 0 имеет внутри интервала (0, 1) единственное решеI(x) =ϕ(−) (x)ние. Там же было показано, что при этих условиях рассматриваемая задачаможет иметь решение с внутренним переходным слоем, локализованнымвблизи точки, являющейся решением уравнения I(x) = 0.В настоящей работе задача (1) решалась в предположении, что выполненоследующее условие:Условие 2 (условие баланса адвекции).ϕ(+)R (x)I(x) =A(u, x)du ≡ 0 при x ∈ [0, 1].ϕ(−) (x)4Актуальность темыИспользование теории контрастных структур при математическоммоделировании уместно в том случае, если при описании физических процессов графики функций, характеризующих физические величины, имеютвнутренние переходные слои. Исследование краевых задач, допускающихрешение вида контрастных структур, позволяет детально изучить структурупереходных слоев и на основе полученного анализа конструировать математические модели, наиболее точно описывающие поведение физическихвеличин в тех областях, где они имеют большие градиенты.

В частности, теория контрастных структур используется при разработке моделей,описывающих процессы переноса в приповерхностном слое атмосферы приналичии пространственной неоднородности [9], фазовые переходы на границераздела различных сред, а также в химической кинетике, в биофизике [10], взадачах нефтедобычи [11–14], в физике полупроводников [15, 16] и в физикесверхпроводников [17–20].Актуальность работы как математического исследования заключаетсяв развитии алгоритма построения асимптотического разложения решений задач типа реакция-диффузия-адвекция.

Этот алгоритм предложенА. Б. Васильевой в работе [7] и получил развитие в работах [5, 6, 8, 21]. Внастоящей работе этот алгоритм обобщен на задачи вида (1) при условиибаланса адвекции. Для доказательства существования решений с внутренними переходными слоями у краевых и начально-краевых задач весьмаэффективно примененяется асимптотический метод дифференциальныхнеравенств [21–23]. В настоящей работе проведено обобщение этого методана задачи реакция-диффузия-адвекция при условии баланса адвекции.Диссертационная работа представляется к защите по специальности01.01.03 и содержит исследование математическими методами математических проблем, возникающих в механике жидкостей и газов, и разработкуматематического аппарата для описания пространственных областей, вкоторых наблюдаются большие градиенты физических характеристикжидкостей и газов.

Тем самым работа удовлетворяет критериям, указанным5в паспорте специальности.Цель работыИсследовать следующие задачи для сингулярно возмущенного уравненияреакция-диффузия-адвекция в случае баланса адвекции:– Краевая задача– Начально-краевая задача– Краевая задача с условием периодичности по времени1. Для некоторых указанных задач определить условия, при которых врассматриваемых задачах существуют решения с внутренним переходным слоем (КСТС).2. Разработать алгоритм построения асимптотических разложений решений типа КСТС для рассматриваемых типов задач.3. Доказать существование решений, обладающих построенной асимптотикой.Научная новизна1. На основе метода пограничных функций построены асимптотическиеразложения решений с внутренними слоями для новых типов сингулярно возмущенных задач, содержащих малый параметр при старшейпроизводной:– краевая задача реакция-диффузия-адвекция в случае баланса адвекции,– начально-краевая задача реакция-диффузия-адвекция в случае баланса адвекции,– краевая задача реакция-диффузия-адвекция с условием периодичности по времени в случае баланса адвекции.62.

Для каждой задачи доказаны теоремы существования решения с построенной асимптотикой. Результаты по обоснованию асимптотическихразложений получены путем развития метода дифференциальных неравенств на задачи исследуемого типа.Практическая ценность1. В работе проведено развитие математического аппарата, предложенного А.

Б. Васильевой, В. Ф. Бутузовым и Н. Н. Нефедовым на новыйкласс задач типа реакция-диффузия-адвекция, допускающих решенияс внутренними переходными слоями, при условии баланса адвекции.Исследование задач с решениями вида контрастных структур являетсяпрактически необходимым, поскольку в дальнейшем они могут быть использованы для построения математических моделей, в частности, относящихся к механике жидкости и газа. Результаты диссертации представляют интерес для ученых, занимающихся математическим моделированием физических явлений в областях с пространственными неоднородностями, вблизи которых наблюдаются большие градиенты характеристик среды.2. Проведено обобщение асимптотического метода дифференциальныхнеравенств на задачи типа реакция-диффузия-адвекция при условиибаланса адвекции. В дальнейшем идеи, содержащиеся в диссертации,могут быть использованы при доказательстве существования решенийу более широкого класса задач.Положения, выносимые на защиту1.

Исследование новых классов сингулярно возмущенных задач типареакция-диффузия-адвекция, решения которых обладают внутреннимипереходными слоями при условии баланса адвекции.2. Разработка алгоритма построения асимптотических разложений с внутренними переходными слоями, дающего возможность определять локализацию переходного слоя для стационарных задач и уравнение движения фронта в параболическом случае.73. Строгое математическое обоснование результатов. Доказательство существования и устойчивости решений задач указанных типов, имеющихпостроенные асимптотические разложения.ПубликацииПо материалам диссертации опубликовано 11 научных работ, из которых3 статьи в рецензируемых журналах по перечню ВАК.

Список публикацийприведен в конце автореферата.Структура и объем диссертацииДиссертационная работа состоит из введения, четырех глав и списка цитируемой литературы. Полный объем диссертации составляет 141 страницу.Диссертация содержит 1 рисунок. Список литературы включает 68 наименований.ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫВо введении освещен круг вопросов, охваченных диссертацией, охарактеризованы актуальность и новизна работы, указана ее практическаяценность и изложено ее краткое содержание.В главе 1 приводится обзор научных работ, близких к теме диссертации— исследованию решений типа контрастных структур в сингулярно возмущенных задачах.