Автореферат (К постановке начальной задачи в классической электродинамике), страница 2

. . , в фурье-представлении δa1 (t) → δa1 exp(iωt), для спектралинейных возмущений получимN2′′X1 ω + φ (a1 )N/2 − δa1 +3αN +1|a1 − b1|b6=aNXcos(ω|a1 − b1|) + ω|a1 − b1| sin(ω|a1 − b1 |)|a1 − b1|3b6=a(7)δb1 = 0.Дальнейший анализ проведен в двух предельных ситуациях.Для двух частиц, равновесное расстояние между зарядами d ≈ 1.385определяется из кубического уравнения. Характеристическое уравнениедля (7) сводится к8 9 + d2ω1 + cos(ωd) sin(ωd)+.=+α3ω (9 − d2)2ωd3d2(8)При увеличении степени релятивизма, наблюдается появление новых парсобственнх значений (первая бифуркация при α ≈ 7.85). В пределе α → ∞,можно аппроксимировать спектрωn =v0 + πn+ O(α−1 ),d(9)где v0 > 0 является наименьшим корнем8d3 9 + d2+ 1 + cos v0 + v0 sin v0 = 0.3 (9 − d2)2(10)Число собственных значений растет ∝ α/(πd).Для N >> 1 частиц на отрезке L, уравнения равновесия дают прак-тически равномерное распределение и вклад потенциала φ играет роль8граничного эффекта, a период решетки ∆ является новым независимымпараметром задачи.Решение спектрального уравнения (7) ищем в виде стоячих волнexp(ikn), где k ∈ [0, π].

Откуда спектр решетки определится из нелинейного уравнения2ω = 4α∞X1 − cos(nk) (cos(nω) + nω sin(nω))n3n=1,(11)Аналогично характеристическому уравнению (8) для пары частиц, врелятивистском случае (α → ∞), ветви спектра ωn (k) будут определятьсянулями правой части (11); число ветвей растет линейно с α. Это соответствует линейному росту числа собственных значений (7) по α и N .Третья глава представляет ряд подходов к решению задачи N телвне рамок теории возмущений. Рассмотренные ниже алгоритмы решенияможно использовать для численного моделирования.В задаче рассеяния (φ = 0), удобно использовать метод сжимающихотображений. Уравнения движения в лучевой системе координат, при параметризации t = x−:1− √ȧ+.=Xb6=aQab(t),|a+ − b+|2(12)гдеi2 h Rt+Θab +1ḃ (τ )dτ Θab t2ea eb ǫab  +,ḃ (t) +Qab(t) =+ (t + Θ )ma ḃab(13)причем отклонение аргумента Θab (t) = ǫab |Θab | определяется как единственное решение функционального уравненияb+ (t + Θab) = a+ (t).(14)Метод решения состоит в задании пробных мировых линий частиц,определении Qab (t) из (13), (14) и решении уравнений движения (12) c заданными начальными условиями {a+(0), ȧ+(0)}.

При малых кинетическихэнергиях налетающих частиц, доказана сходимость алгоритма.9Для задачи о финитном движнении частиц в удерживающем потенциале φ 6= 0, можно воспользоваться методом редукции дифференциальногопорядка системы уравнений. Представив правую часть уравнений движения в виде формального ряда по степеням отклонения аргумента, на первой итерации решение определяется из дарвиновского приближения. В последующих итерациях алгоритма определяем производные выше второгопорядка из предыдущей итерации.Учитывая, что отклоняющиеся аргументы ∝ supt maxa |ȧ1 (t)|, сходи-мость данного алгоритма удается доказать в слаборелятивистском случае.Когда мала энергия системы (по нерелятивистской формуле) заряженныхчастиц.

В совокупности с задачей рассеяния, данное утверждение показывает, что выполнен принцип соответствия: ньютоновы начальные данныеопределяют единственное решение уравнений движения при достаточнонизких энергиях системы.Для двух частиц, как отмечено в первой главе, существует параметризация, в которой отклонения аргументов становятся постоянными. Здесьможно свести задачу к набору зацепляющихся ОДУ (решетка)s. ++−q−qq̇n−1n+ = −ea q̇n−1ma φ′ n−1−−2q̇n2−ea eb q̇n−1mbsq̇n+2q̇n−!.+ea eb q̇n−1q̇n+,−qn− − q − 2 qn+ − q + 2 q̇n−n−1n−1=−eb q̇n+φ′−qn+ − qn2++q̇n+1 − , − +− 2+ − q + 2 q̇nq−qqnnn+1n+1−ea eb q̇n+1(15)ea eb q̇n+и алгебраическим уравнениям сшивки±qn+1(0) = qn± (1),±q̇n+1(0) = q̇n± (1).(16)В задаче рассеяния и движения частиц в ограниченной области, используются различные граничные условия для обрыва цепочки.При рассеянии, движение “частиц” с |n| → ∞ является ассимптотиче-ски свободным.

Что позволяет ограничить индекс n конечным интервалом.10Начальные значения {qn (0), q̇n(0)} при n 6= 0, определяются из условийсшивки (16): размерность пространства начальных данных (q0± (0) и q̇0± (0))остается такой же, как и в нерелятивистском случае. Отметим, что алгебраические уравнения сшивки могут иметь конечное число решений относительно начальных данных: единственное в нерелятивистской областирешение может распадаться при высоких энергиях на несколько ветвей,соответствущих одинаковым параметрам рассеяния.В случае финитного движения выбираются граничные условияБорна–Кармана и задача сводится к поиску решений типа бегущей волны.При слабом отклонении от равновесного распределения (рассмотренного вовторой главе), ветви спектра соответствуют действительным собственнымзначениям уравнения (8).ВыводыВ заключении сформулируем основные результаты, полученные вдиссертации:1.

Исследована модель электродинамики Уиллера–Фейнмана в двухмерном пространстве Минковского (движение частиц вдоль прямой).Установлено, что уравнения движения сводятся к системе N ДРУвторого порядка.2. Рассмотрен спектр линейных возмущений точного решения для равновесного состояния системы N зарядов на однородном противоположно заряженном фоне (одномерный атом Томпсона). Показано, чтопри увеличении плотности системы в спектре появляются новые собственные значения, отвечающие ограниченным решениям.3. Доказано (принцип соответствия), что ньютоновы начальные данные позволяют выделить единственное решение релятивистской задачи рассеяния или задачи о финитном движении частиц при достаточно низких энергиях системы.4.

В релятивистском случае, задача о движении двух заряженных частиц во внешнем поле сведена (лестничная параметризация) к счет-11ному набору зацепляющихся ОДУ (решетка) и алгебраических уравнений сшивки (механика со связями).5. В задаче рассеяния можно воспользоваться условием асимптотической свободы для обрыва полученной цепочки ОДУ.

Это показывает,что размерность задачи остается той же, что и в механике.6. При финитном движении, использование граничного условия Борна–Кармана позволило строго подтвердить вывод о повышении размерности системы и возникновении новых коллективных “степеней свободы”, сделанный на основе анализа спектра линейных возмущений.Основное содержание диссертационной работы изложено вследующих публикациях:[1] Kirpichev S.

B., Polyakov P. A. On the formulation of initial-value problems for systems consisting of relativistic particles // Journal of Mathematical Sciences. — 2007. — Feb. — Vol. 141. — Pp. 1051–1061. .[2] Релятивистские особенности электромагнитного отклика плазменнойсреды / Ю. В. Болтасова, С.

Б. Кирпичев, П. А. Поляков, А. Е. Русаков // Радиотехника и электроника. — 2003. — Т. 48, № 6.[3] Кирпичёв С. Б., Поляков П. А. Постановка начальной задачи длясистемы релятивистских заряженных частиц // Электромагнитныеволны и электронные системы. — 2004. — Т. 9, № 6.[4] Кирпичёв С. Б., Поляков П. А. О постановке начальной задачи длясистемы релятивистских частиц // Фундаментальная и прикладнаяматематика. — 2005.

— Т. 11, № 1. — С. 211–226.[5] Кирпичев С. Б., Поляков О. П., Поляков П. А. Ленгмюровские волныв тонкой плазменной нити // Труды X Всероссийской школы-семинара“Волновые явления в неоднородных средах”. —М.: Физическийфакультет МГУ, 2006. — Pp. 30–32.[6] Кирпичев С. Б., Поляков П. А. Возмущения точного решенияпроблемы n тел в классической релятивистской электродинамике //12Сборник статей по материалам XIV Международной конференции поспиновой электронике и гировекторной электродинамике. — М.: Издво МЭИ, 2006. — Pp. 173––175.[7] Can electrodynamic system have a finite number of degrees of freedom /S.

B. Kirpichev, P. Polyakov, I. Giudjenov, M. Tasev // Mathematics andnatural sciences. Proceedings of the international scientific conference 811.06.2005. South-West University “Neofit Rilsky”. — Vol. 1. — Blagoevgrad: 2005. — Pp. 297–305.[8] Неволновые особенности релятивистской магнитоактивной плазмы /Н. Е.