Диссертация (Исследование релятивистских и нерелятивистских квантовых систем с помощью вычисления континуальных интегралов методом Монте-Карло)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВАНа правах рукописиНовосёлов Александр Андреевич«Исследование релятивистских и нерелятивистских квантовых систем спомощью вычисления континуальных интегралов методом МонтеКарло»Специальность 01.04.02 – теоретическая физикаДИССЕРТАЦИЯна соискание учёной степеникандидата физико-математических наукФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТНаучный руководительдоктор физико-математических наукпрофессорК. А. СвешниковМосква2016 г.Содержание1 Введение41.1Актуальность темы исследования . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61.2Цель работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71.3Научная новизна исследования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72 Вычисление интеграла по траекториям методом Монте-Карло (PIMC)92.1Метод Монте-Карло для интеграла по траекториям . . . . . . . . .

. . . . .2.2Интеграл по траекториям при нулевой температуре . . . . . . . . . . . . . . 112.3Метод существенной выборки. Термализация. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Вычислительные алгоритмы9143.1Алгоритмы генерации конфигураций . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . 143.2Многоуровневый алгоритм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3Измерения. Среднее значение кинетической энергии . . . . . . . . . . . . . . 193.4Периодические граничные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . 213.5Расчётная технология: распараллеливание, CUDA, работа с памятью . . . . 254 Исследование W-потенциала и задача агрегации314.1Постановка и физический смысл задачи, связь с описанием агрегации . . . . 314.2Невозмущенный W-потенциал. Основное и первое возбужденное состояние . 324.3Исследование перекошенного W-потенциала . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 335 Водород при высоких температурах и плотностях395.1Конденсированный водород. Лабораторные и численные эксперименты . . . 395.2Конденсированный водород. Астрофизическое приложение . . . . . . . . . . 415.3Модель . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.4Вывод экранировки Дебая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.5Область применимости модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.6Численное моделирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . 476 Результаты496.1Энергия, давление, уравнение состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.2Уравнение состояния жидкой фазы металлического водорода . . . . . . . . . 606.3Фазовый переход . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637 Релятивистский гармонический осциллятор667.1Введение. Физический смысл и постановка задачи . . . .

. . . . . . . . . . . 667.2Марица плотности в вычислениях методом Монте-Карло . . . . . . . . . . . 717.3Алгоритм Метрополиса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.4Задача о релятивистском осцилляторе: теоретическое рассмотрение . . . . . 747.5Задача о релятивистском осцилляторе: результаты численных расчётов . . . 767.6Сравнение метода Монте-Карло и решения уравнения Шрёдингера . .

. . . 818 Заключение881ВведениеОсновным объектом исследования современной математической физики являются су-щественно нелинейные системы и системы со многими степенями свободы.Задачи линейные или линеаризующиеся разложением по малому параметру в большинстве своём решены. К тому же общие принципы их решения понятны и при появлении новых задач такого типа они сразу же разрешаются.

А самое главное, в поведениисоответствующих систем нельзя ожидать существенно новых и интересных эффектов.Системы с небольшим числом степеней свободы также относительно хорошо изучены. Для их исследования созданы как аналитические, так и численные методы. Причёмчисленные методы в этом случае относительно просты и эффективны.

В сочетаниии сбольшими и постоянно растущимии вычислительными ресурсами это позволяет быстро иэффективно решать большинство задач такого типа.Итак, наибольший интерес представляют системы с большим числом степеней свободыи с сильным и сложным взаимодействием. Под сильным и сложным подразумевается такоевзаимодействие, которое не позволяет ввести малый параметр и свести систему к наборуслабо взаимодействующих или не взаимодействующих частиц или квазичастиц. Такиеактивно изучаются по нескольким причинам.Во-первых, с точки зрения математики в них часто есть нетривиальное поведение,их исследование на устойчивость, разрушение, существование и единственность являетсянетривиальной задачей и может дать интересные результаты.Во-вторых, с точки зрения математической физики, для таких задач необходимо разработать методы решения.

Полностью аналитические методы как правило невозможны,но успешное применение их даже на небольшом этапе решения часто сильно упрощаети ускоряет достижение результата. В любом случае получение корректных уравнений,которые потом могут решаться и численными методами, базируется на глубокой базе теоретической и математической физики.В третьих, с точки зрения вычислительной математики и алгоритмики представляет интерес разработка и реализация численных методов решения.

При наличии большого числа сильно и нелинейно связанных степеней свободы методы оказываются весьманетрвиальными. Как правило, это связано со стремлением избежать интегрирования побольшому количесству переменных, так как это ведёт к неприемлемо большим объёмамвычислений. Тут уместно вспомнить о том, что при разработке численного метода нужностремиться сделать его высокопроизводительным. Именно поэтому используются методыстроятся на основе различных формализмов и подходов, не всегда традиционных в аналитических вычислениях. Конкретные детали алгоритмов также крайне важны. Во многихслучаях (некоторые из которых будут описаны в данной работе) даже незначительнаямодификация алгоритма приводит к изменению быстродействия на порядок.Наконец, с точки зрения собственно физики и её практического применения именномодели с большим числом взаимодейсвующих степеней свободы позволяют достаточноточно моделировать большинство наблюдаемых в природе явлений.При численных расчетах в подобных задачах стохастические методы существенно более эффективны, чем детерминистические.

Их основным достоинством является медленное возрастание времени вычислений с ростом размерности задачи, благодаря чему ониявляются единственным практически применимым способом исследования систем многихтел, в том числе сплошной среды.В квантовой механике и квантовой теории поля основным стохастическим методом является вычисление интегралов по траекториям методом Монте-Карло (path integral MonteCarlo, PIMC), который был создан в середине XX века Нейманом, Уламом и Метрополисом.

Соответствующий алгоритм может применяться как в статистической физике, таки в квантовой теории, которая в фейнмановской интерпретации в евклидовом времениимеет аппарат, эквивалентный аппарату функций распределения. Основные идеи данногометода будут рассмотрены в первой главе данной работы.Во второй главе будут описаны алгоритмы для практической реализации вышеуказанных алгоритмов.

Большая часть первой и второй глав представляет собой литературныйобзор работ ([3],[2],[1]), в который при необходимости включены опущенные в них выкладки.Во третьей главе будет описано применение метода Монте-Карло для исследованияодномерной задачи - частицы в W-потенциале и в "перекошенном"W-потенциале. К этойзадаче математически сводится задача об агрегации частиц в аэрозолях. Надо признать,что при размерности задачи меньше двух детерминистические алгоритмы, основанные, например, на интегрировании уравнения Шредингера, более эффективны. Однако в задачеоб агрегации нужно вычисление специфических величин, для которых рассматриваемыйметод также весьма эффективен. Это достигается благодаря некоторому нетривиальномусоотношению, которое также выводится в главе 2 аналитически с использованием формализма континуального интеграла.В четвёртой и пятой главах численное интегрирование по траекториям методом МонтеКарло применяется для моделирования сплошной среды (металлического водорода в фазевигнеровского кристалла).

Рассмотрение задачи многих тел позволяет оценить вычислительную эффективность данного метода. Практический интерес к металлическому водороду связан как с перспективами его технологического использования, так и с тем, чтоон с большой вероятностью существует в природе. Согласно наиболее распространеннойгипотезе, ядра планет-гигантов состоят из водорода именно в жидкой атомарной фазе.Интерес к численному моделированию атомарного водорода при высоких давлениях связан также с произошедшим в последнее время стремительным развитием экспериментав данной области. Состояния и фазовые переходы, которые будут рассмотрены, лежатвблизи области, доступной в современном эксперименте.1.1Актуальность темы исследованияИсследование состоит фактически из двух частей: разработка численных методов и алгоритмов и исследования некоторых моделей с их помощьюРазработка методов расчёта в сложных системах в настоящее время актуальна в связи с ростом производительности вычислительных систем.

Помимо увеличения быстродействия процессоров, другим, пожалуй более важным и плодотворным направлениемявляется развитие параллельных вычислений. Это позволяет на простой, доступной и относительно недорогой элементной базе создавать суперкомпьютеры. Также значительныйпрогресс в последнее время достигнут в параллельных вычислениях на "видеокартах"(вкавычках, потому что под этим названием и по этой технологии теперь часто выпускаются модули, предназначен ные для расчётов и часто даже не имеющие видеовыходов).Создание алгоритмов, которые позволяют в полной мере использовать достоинства этихвычислительных систем (и в то же время избегать некоторых их недостатков: у всех видов систем они свои, об этом будет более подробно рассказано в работе) для расчётов вчастности в физике конденсированного состояния вещества представляет собой важнуюзадачу.Вышеуказанные методы применяются для исслеования некоторых систем, основноевнимание уделено металлическому водороду.