Исследование волновых режимов течения пленки жидкости при внешних воздействиях, страница 2

При xmin = −1отличие толщины пленки от постоянной величины над неплоским участком поверхности не превышает 2%.В разделах 1.3 - 1.4 рассматривается линейная устойчивость асимптотического течения (1.1) к малым осесимметричным возмущениям инелинейные волны, которые развиваются из этих возмущений.Для применения метода Шкадова к задаче о пленке на вращающемся8диске проводится локальная аналогия между пленками, растекающейсяпо диску и стекающей по стенке. Предполагается, что профили продольной и азимутальной скоростей подобны определяемым уравнением (1.1)с нестационарными, зависящими от x параметрами:y23q(t, x)yh(t, x) −;u(t, x, y) = 3h(t, x)2b(t, x)1 433v(t, x, y) = 52yh (t, x) − y h(t, x) + y .4h (t, x)4Для расходов в продольном и азимутальном направлениях и толщиныпленки получены эволюционные уравнения:ht + q x Rξ = 0;6 q1 Rξq2Rξ −qt +h − 2 + Rξ hhxxx = 0;5 h x5δ Rξ0h √117 bq14qbbt += 0,Rξ ++3224 h x6δ h2 5 R1/22ξ0h = h exp(2∆x),q = q exp(2∆x),где Rξ , δ — слабо меняющиеся на длине волны параметры.Локальные параметры Rξ , ∆, R0 могут быть выражены через дваглобальных (p1 , p2 ) и один локальный параметр подобия (δ) следующимобразом:p1 =Q ωρσ ,p2 = Qων3σ−0.9∆ = 348.3(p1 p2 )−0.8 δ 1.4 , R0 2 = 0.01609p−0.7p1.8;2 δ1ρνДля периодических по пространству и растущих со временем малыхосесимметричных возмущений получено следующее дисперсионное уравнение:α4Rξ5 Rξ01/3− 6δRξ52Rξ01/3Rξα2 + 3i (Rξ Rξ0 ) + 12δΩRξ0 2/3RξΩi−+ 5δΩ = 0.RξRξ091/3 α−При этом частота волны Ω является действительным числом, а волновое число — комплексным α = αr + iαi .

Указано, что амплитуда волнбудет нарастать по времени, если мнимая часть волнового числа удовлетворяет неравенствуαi + 2∆ ≤ 0.Решения, полученные в разных точках диска, объединяются, исходяиз предположения о постоянстве размерной частоты волны — волновогоинвариантаf = scδ 0.3 ,√где s = αr / 15δ — нормированное волновое число, c = αr Ω — фазоваяскорость волны.На основе анализа дисперсионного уравнения построен алгоритм нахождения точки потери устойчивости для пленки на произвольной поверхности.

На плоскости параметров (p1 , p2 ) найдены области, которыесоответствуют различному качественному поведению течения на плоском и составной криволинейной поверхности, описанной в разделе 1.2(рис. 1). Выяснено, что возможны следующие ситуации: течение по криволинейной поверхности устойчиво, а на плоском диске нет ( D3 ); наплоском диске неустойчивость начинается ближе к оси вращения, чемна криволинейном (D2 ); на криволинейном диске ближе, чем на плоском(D1 ); на обеих поверхностях в одной точке (D0 ); на обеих поверхностяхтечение устойчиво (D4 ).Изучена эволюция нелинейных волн на плоском диске и на криволинейной поверхности. Получено, что в случаях, когда течение по криволинейной поверхности теряет устойчивость дальше от оси вращения,нелинейные волны обладают меньшей амплитудой и более простым спек-10Рис.

1. Области качественно различного соотношения характеристик устойчивоститечений на диске и на криволинейной поверхности.11тральным составом.Во второй главе изучается течение пленки неньютоновской жидкости по вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Исследуется стационарное течение, его устойчивость в линейной постановке, атакже нелинейная волновая динамика.В разделах 2.1 - 2.4 рассматривается течение обобщенно - ньютоновской жидкости, то есть такой, в которой связь между тензорамивязких напряжений и скоростей деформаций задается соотношениемτij = ϕ(I2 )eij ,где I2 — второй инвариант тензора скоростей деформаций.

В настоящеевремя в литературе в основном используется степенной закон вязкости:ϕ(I2 ) = µn (2I2 )(n−1)/2 .При n > 1 среды демонстрируют дилатантное поведение, а при n < 1 —псевдопластическое. Однако эта модель показывает неограниченный роствязкости при бесконечно больших (или бесконечно малых) скоростяхсдвига. Этого недостатка лишена, например, модель Эйринга (Eyring),в которой√arcsinh λI2√.ϕ(I2 ) = µ∞ + (µ0 − µ∞ )λI2Отметим, что модель Эйринга обоснована с молекулярно-кинетической точки зрения. Часто при описании течений псевдопластическихжидкостей полагается µ∞ = 0.

Мерой неньютоновского поведения длямодели Эйринга принято выбирать число Деборы De = λU∗ /2H. Вработе для описания течений дилатантных жидкостей использоваласьмодель степенной жидкости, а для псевдопластических — степенной жидкости и модель Эйринга.12Для описания линейной устойчивости стационарного плоскопараллельного течения жидкости с произвольным реологическим законом выведено обобщенное уравнение Орра - Зоммерфельда: 2 v − 2η−α v + η+(v + α2 v) =η+ v IV − 2α2 η− v + η+ α4 v + 2η+= iαRe (u0 − c)(v − α2 v) − u0 vη+ = η +η− = η −dη(I2 ) 2dI2 u0 ,dη(I2 ) 2dI2 u0 ,(2.1)штрихи означают производную по поперечной координате. Профиль невозмущенного течения задается функцией u0 (y), η = ϕ/ϕc — безразмерыйэффективный коэффициент вязкости, число Рейнольдса вычисляется похарактерной скорости, толщине пленки и ϕc — характерному значениюкоэффициента вязкости.При изучении пленочных течений для (2.1) ставятся следующие граничные условия на твердой поверхности y = 0v = v = 0(2.2)и на свободной поверхности y = 1:(u0 − c)(v + α2 v) − u0 v = 0, v − α2 (η− + 2η) + iα(u0 − c) v +η+ v + η+iα3 Re2 + α η+ + We(u0 −c) v = 0,(2.3)что соответствует условию прилипания на твердой поверхности и описывает действие поверхностного натяжения с коэффициентом σ, We = ρU∗2 H/σ.Для указанных двух соотношений решена спектральная задача линейной устойчивости.

Выяснено, что при любых значениях реологических параметров для каждого числа Рейнольдса имеется нейтральноеволновое число αn , такое, что возмущения с волновыми числами меньшими нейтрального нарастают, а больше нейтрального затухают со вре13менем. При малых и умеренных числах Рейнольдса нормированное ней√тральное волновое число αn We−1 остается постоянным при фиксированном значении числа Капицы (обобщенного числа Капицы для степен1/(n+2)4/3).ной жидкости) Ka = σρ1/3 /(g 1/3 ϕc ) (Ka = σ ρ(n−2) g −(3n−2) µ−4В предположении αRe 1 в модели степенной жидкости найденоприближенное аналитическое решение задачи на собственные значениядля уравнения (2.1) с соответствующими граничными условиями. Получено следующее дисперсионное соотношение:iαRenn−212(2n + 1)α22n + 1+−c=n(2n + 1)n−1 (3n + 2)n2 We 2n + 1Для нейтрального волнового числа получено соотношениеαn22(2n + 1)2= We.(3n + 2)n2Эти выражения использовались при тестировании численных методов.Для построения нелинейной системы уравнений был использован прямой метод.

Предполагалось, что в каждом сечении профиль скоростиподобен таковому при безволновом стационарном течении. Тогда полескоростей можно задать двумя функциями q, h двух переменных:q(t, x)yu(t, x, y) =· u0,h(t, x)h(t, x)где u0 (y) — профиль скорости стационарного течения.В этом случае эволюцию волновой структуры пленки описывает система из двух уравнений 24q1q η(q 2 u2(0)/(2h))0hhxxx − 2+h ,=qt + βh x 5δhη(u2(0)/2)0(2.4)ht + qx = 0,где β =10u20 (y)dy, δ — параметр подобия. Данная система уравненийсводится к ранее известным для ньютоновской и степенной жидкости.14В разделе 2.3 изучается линейная устойчивость тривиального решения системы (2.4) h = 1, q = 1.

Результаты сравниваются с решениемспектральной задачи для обобщенного уравнения Орра - Зоммерфельда.Вид зависимостей коэффициентов усиления и фазовых скоростей возмущений от волнового числа качественно совпадает, а при малых значениях волнового числа интегральный подход дает весьма близкие к решению полной задачи результаты.В рамках обоих подходов получается, что с ростом n рост возмущений происходит в более узком диапазоне волновых чисел.

С другой стороны, при малых n при анализе решений полной задачи обнаружен ещеодин эффект, обратный указанному: при больших значениях δ происходит стабилизация течения (рис. 2). Значение δ, при котором этот эффектпроявляется, зависит от значения Ka: чем больше Ka, тем шире диапазон δ, где длинноволновое приближение хорошо работает. Отметим, чтоинтегральные уравнения выведены в предположении больших значенийKa и не показывают этого эффекта.Стабилизация или дестабилизация течения одновременно проявляется в изменении области неустойчивости и максимального коэффициентаусиления.

В рамках интегрального подхода с уменьшением n при фиксированном δ максимальный коэффициент усиления монотонно растет,тогда как решение полной задачи предсказывает спад этой величины, начиная с некоторого значения n(δ). Таким образом, требуется специальноерассмотрение интервала значений n в окрестности n = 0.5 при выводематематической модели (2.4), применяемой для исследования нелинейных волн. При этом результаты, полученные в рамках интегральногоподхода, убеждают в правомерности этого метода при n > 0.7.Такие же расчеты были проведены и для реологической модели Эйринга.

Определяющие безразмерные параметры подбирались так, чтобы15Рис. 2. Линии уровня зависимости нейтрального числа αn от n и δ для степеннойжидкости. Сплошные линии — решение уравнения Орра - Зоммерфельда, штриховые — интегральный подход.16кривые течения η(I2 ) были бы максимально близки: значения указаннойфункции и ее производной совпадали при I2 = 1.Анализ решений задачи на собственные значения для указанных реологических моделей показал следующее. Результаты применения интегрального подхода слабо зависят от принятой реологической модели, причем это проявляется и в размере области неустойчивых волновых чисел,и в величинах коэффицентов усиления. Решения полной линеаризованной задачи в рассматриваемых случаях отличаются существеннее.