Исследование активных сред методами теории динамических систем

На правах рукописиЖучкова Екатерина АркадьевнаИсследование активных средметодами теории динамических системСпециальность: 01.04.02 – теоретическая физикаАвторефератдиссертации на соискание ученой степени кандидатафизико-математических наукМосква – 2006Работавыполненанафизическомфакультетегосударственного университета им. М.В. Ломоносова.МосковскогоНаучный руководитель:доктор физико-математических наук,профессор Александр Юрьевич ЛоскутовОфициальные оппоненты:доктор физико-математических наук,профессор Василий Андреевич Давыдовдоктор физико-математических наук,профессор Галина Юрьевна РизниченкоВедущая организация:Институт космических исследований РАНЗащита состоится «16» ноября 2006 года в 16 часов на заседанииДиссертационного Совета К 501.001.17 физического факультета МГУим. М.В.

Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ,физический факультет, ауд. _________.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультетаМГУ им. М.В. Ломоносова.Автореферат разослан «___» ________ 2006 года.Ученый секретарьДиссертационного Совета,доктор физико-математических наукП.А. ПоляковОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫАктуальность темыВ настоящее время активные среды образуют весьма перспективнуюобласть исследований, поскольку к ним относятся самые разнообразныефизические,химические,биологическиеидр.объекты:электронныетвердотельные системы, ряд химических растворов и гелей (в том числереакция Белоусова-Жаботинского), нервные и мышечные ткани, колониимикроорганизмов, экологические системы и т.п. Представление активных средпосредством ансамблей сцепленных возбудимых или автоколебательныхэлементов является достаточно полезным методом анализа, т.к.

позволяетглубоко понять основные динамические процессы, протекающие в такихсредах. Как известно, данный подход восходит к модели Винера и Розенблюта,согласнокоторойвозбудимаясредасостоитизсовокупностивзаимодействующих элементов, находящихся в одном из трех возможныхсостояний: возбуждения, рефрактерности или покоя. Позднее такие модели, какосцилляторы с предельным циклом и хаотические отображения, также сталииграть важную роль не только в довольно реалистичном описании активныхсред, но и в понимании возможного поведения систем, далеких от равновесия.Множество полезных понятий, например, захваты фаз, синхронизация ипространственно-временной хаос стали популярными благодаря детальнымизучениям сходных нелинейных моделей.Анализ систем взаимодействующих элементов позволяет определить рядзакономерностей поведения активных сред, зачастую скрытых и неявных.Например, становится возможным на качественно ином уровне описатьсложные (в том числе хаотические) динамические режимы, рассчитать рядинвариантныххарактеристикдинамикипроцессаидатьнаглядноепредставление полученного решения.Развитие теории динамических систем и компьютерных методов позволилопо-новому подойти к исследованию такой сложной активной среды, как1сердечная ткань.

Совокупное использование этих двух подходов, а такжерассмотрение сердечной ткани как состоящей из автоколебательных ивозбудимых элементов, дает возможность глубоко понять процессы, лежащие воснове функционирования сердца, и описать различные сердечные патологии(аритмии). Одним из очень актуальных и практически важных направленийздесь является задача стабилизации работы сердечной мышцы при некоторыхвидах глубоких аритмий.Подстабилизациейнеустойчивогоилихаотическогоповедениядинамических систем обычно подразумевается искусственное создание визучаемой системе устойчивых (как правило, периодических) колебанийпосредством внешних мультипликативных или аддитивных воздействий.Иными словами, для стабилизации необходимо найти такие внешниевозмущения, которые вывели бы систему из хаотического режима нарегулярный.

Решение этой задачи, несмотря на простоту формулировки,оказывается достаточно сложной современной научной проблемой.Актуальность данной проблемы в применении к активным средамочевидна. Например, для сердечной ткани выведение системы на требуемыйдинамический режим дает возможность управлять ритмом и, таким образом,восстановить требуемую динамику. Такой подход к стабилизации опасныхаритмий позволяет надеяться на создание новых эффективных водителейритма. При этом немаловажной оказывается минимизация энергетическихзатрат, поскольку приложение импульсов большой амплитуды к биологическимтканям недопустимо.Цели работыXПостроение математической модели активной среды, состоящей изавтоколебательных элементов.XИсследование динамики системы двух взаимодействующих источниковвозбуждения в целях прогнозирования некоторых видов сердечных патологий.XАнализ сложного поведения возбудимой среды на примере ионноймодели.2XПодавление хаотического режима системы с помощью локализованногопериодического воздействия.Научная новизна результатов1.Построена и исследована достаточно универсальная математическаямодель произвольного числа взаимодействующих источников возбуждения,позволяющая описать активную среду в приближении дискретной системыавтоколебательных элементов.2.Наосноветеориидинамическихсистемпоказанавозможностьуправления динамикой представленной модели.3.Предложены и апробированы различные критерии сложности спирально-волновой турбулентной динамики распределенных возбудимых сред.4.Впервыепримененнизкоэнергетическийподходкподавлениюпространственно-временного хаоса в ионной модели реальной среды.Практическая значимость1.Наосновемоделинелинейноговзаимодействияколебательныхимпульсных систем можно предсказывать некоторые виды сердечныхпатологий.2.Найдено соответствие данной модели реальной активной среде (вчастности сердечной ткани) с любым количеством источников возбуждения.3.Новыйнизкоэнергетическийметодподавленияпространственно-временного хаоса в распределенных системах является альтернативным ксуществующим высокоэнергетическим методам дефибрилляции сердечнойткани и в дальнейшем может широко применяться в кардиологии.Апробация работыРезультатыработыбылидоложенынамногихмеждународныхконференциях, основные из которых: 1.

Польша, Бендлево: the Int. Conf. onMathematical Modeling of Population Dynamics, June 24-28, 2002; 2. Франция,Париж: the Int. Conf. on Theoretical Physics, UNESCO, July 22-27, 2002; 3.Россия, Саратов: the Int. Conf. on Synchronization of Chaotic and Stochastic3Oscillations, September 22-28, 2002; 4. Россия, Санкт-Петербург: the Int. Conf.“Physics and Control”, IEEE, August 20-22, 2003; 5.

Германия, Берлин: XXVDynamics Days Europe 2005, July 25-28, 2005; 6. Италия, Триест: Summer Schoolon Design and Control of Self-Organization in Physical, Chemical and BiologicalSystems, ICTP, 25 July-5 August 2005; 7. Германия, Берлин: Workshop “ComplexDynamics and Delay Effects in Coupled Systems”, September 11-13, 2006; 8.Греция, Крит: Dynamics Days Europe 2006, September 25-29, 2006.ПубликацииПо результатам данной диссертационной работы опубликовано 9 статей, 7из которых в реферируемых журналах, и 10 тезисов докладов.Структура и объем работыДиссертационная работа состоит из введения, 3 глав, заключения и спискацитируемой литературы (текста, включаянаименования). Диссертация содержитстраницрисунков и 1 таблицу.ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫВоВведенииобоснованаактуальностьтемыисследований,сформулированы цели работы, кратко охарактеризованы научная новизна ипрактическая значимость полученных результатов.

Дана краткая аннотациякаждой главы диссертационной работы.Первая глава диссертации посвящена обзору литературы по тематикеработы и состоит из пяти разделов. В первом разделе приводятся общиесвойстваиметодыописанияактивныхсред.Вовторомразделерассматривается сердечная ткань в качестве жизненно важного примераактивных сред: кратко объясняются принципы функционирования сердца иопределяются некоторые патологии сердечной деятельности.

В третьем разделеприводятся модели активных сред: системы возбудимых и автоколебательныхэлементов, а также даются необходимые математические понятия. В четвертомразделе вводится понятие спирально-волновой турбулентности, лежащей восновесложнойактивностимногих4реальныхвозбудимыхсред.Рассматриваются методы исследования сложной активности посредствомидентификации фазовых сингулярностей и теории динамических систем.Пятый раздел посвящен стабилизации хаотической динамики.Во Второй главе проводится анализ дискретной модели осциллирующейактивной среды.

Эта глава состоит из трех разделов. В первом разделе строитсяи исследуется оригинальная импульсная модель двух взаимодействующихисточников возбуждения, а также излагаются результаты, полученные приаппроксимации экспериментальной кривой фазового отклика различнымифункциями.