Исследование активных сред методами теории динамических систем (1103098), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Т.к. в общем случаеx ∈ (−∞, ∞) , то преобразование (4) представляет собой одномерноенелинейное отображение реальной оси в себя. Заметим, что это отображение неможет быть сведено к отображению окружности, как это обычно делается длядвух пейсмекеров, взаимодействующих посредством КФО. Оно существенноассиметрично по отношению к замене x на -x (см. рис. 5). Если f ( x, ε ) –немонотонная функция, тогда отображение (4) нелинейно и может проявлятьразличное поведение: от сложной периодической до хаотической динамики.11Вследствие того, что x ∈ ( −∞, ∞) , в строгом смысле это не разность фазпейсмекеров.
В данном контексте x можно назвать обобщенной разностью фаз.Анализируя уравнение (4), можно определить, какой из осцилляторов, A или B,производит импульс в данный дискретный момент времени n. Это зависит отзнака x. Таким образом, это делает возможным определение степени фазовыхзахватов пейсмекеров.Рис. 5. Различные типы поведения двух взаимодействующих пейсмекеров.Красным обозначены импульсы пейсмекера A, синим – пейсмекера B. (a)Синхронизация ритмов. (b) Периодическая динамика с захватом фаз 1:4. (c)Квазипериодическое поведение. (d) Хаотическая динамика.12На рис. 5 представлены примеры прямого моделирования системы (3) длядвухпейсмекеровприсинусоидальныхфункцияхΔ ab ( x, ε ab ) = ε ab sin 2π x ⋅ Tab , выбранных в качестве КФО.
В левой частирисунка изображены некоторые возможные захваты фаз, полученные на основеуравнения (3). В правой части рис. 5 показаны соответствующее отображение(4), его периодическая орбита и значения показателей Ляпунова. Рис. 5dдемонстрируетсуществованиехаотическогоповедениявсистемеприε a =0,1205, ε b =1,2845 и δ =0,6465, где δ – отношение периодов осцилляторов.Вдиссертациивзаимодействующихотдельнорассмотренимпульсныхспециальныйосцилляторов,случайкоторыетрехмогутсоответствовать трем известным пейсмекерам сердца или воздействиювнешнего стимулятора на два ведущих взаимодействующих пейсмекера.Наряду с захватами ритма было найдено их сложное поведение.Переходя на следующий уровень (от макроскопического описания кмикроскопическому), в работе каждый пейсмекер был представлен какансамбльвзаимодействующихпопринципуближайшихсоседейавтоколебательных элементов.
Экстраполяция используемого подхода наодномерные и двумерные решетки, состоящие из пейсмекеров, позволяетпостроить дискретные распределенные среды активных элементов.В третьей главе рассматриваются методы исследования динамикираспределенных реакционно-диффузионных систем: приводятся критерииопределения сложности турбулентной активности и анализ поведениявозбудимых сред на примере ионной модели Фентона-Кармы с помощьюметодов идентификации фазовых сингулярностей, стандартных методовнелинейной динамики и нового алгоритма сжатия, чувствительного к порядку.Обсуждается возможность подавления хаотической динамики системы спомощью слабого внешнего воздействия.
Данная глава состоит из 5 разделов.В первом разделе приведена упрощенная ионная модель (УИМ)распространения потенциала действия в сердечной ткани, предложенная13Фентоном (Fenton) и Кармой (Karma) в 1998 году. Цель этой модели не в том,чтобы точно копировать микроскопическую ионную сложность сердечныхклеток,автом,чтобывоспроизвестидинамикувозбуждениянамезоскопическом уровне (на шкалах между внутриклеточным уровнем и целыморганом). Модель построена так, чтобы ввести минимальный набор ионныхмембранных токов, необходимых для воспроизведения динамики потенциаладействия, и, таким образом, состоит из трех независимых ионных токовJ fi , J si , J so , подчиняющихся следующей системе уравнений:J fi = −J si = −J so =гдеθ ( x)vτdθ ( u − uc ) ⎡⎣(1 − u )( u − uc ) ⎤⎦ ,())(w1 + th k ( u − ucsi ) ,2τ siuτ0θ ( uc − u ) +–представлены1τrθ ( u − uc ) ,стандартнаяв(5)функциядиссертации.СамаХевисайда.ОстальныежезаписываетсяУИМпараметрыввидетрехкомпонентной системы:∂u= ∇ ( D∇u ) − ( J fi + J si + J so ) ,∂tv∂v1− v= θ ( uc − u ) −− θ ( u − uc ) + ,τ v (u )τv∂t(6)w∂w1− w= θ ( uc − u ) − − θ ( u − u c ) + ,τwτw∂t−−−где τ v (u ) = θ ( u − uv )τ v1 + θ ( uv − u )τ v 2 .
Здесь D – диффузионный тензор, которыйв диссертации представляет собой диагональную матрицу (случай изотропнойсреды). В модели присутствуют три переменные состояния: безразмерныймембранный потенциал u, переменные быстрого v и медленного ионногопропускания w.14В двумерии система (5)-(6) демонстрирует такие классические длявозбудимых сред структуры, как плоские и кольцевые волны, создаваемыепейсмекером, а также автономные образования в виде спиральных волн(ревербераторов). Распределение мембранного потенциала в виде спиральнойволны показано на рис. 6а.(a)(b)(c)(d)Рис.6.
Распад спиральной волны в турбулентную активность в системе (5)-(6).Поскольку спиральные волны представляют особый интерес с точкизрения приложений (в частности при наличии патологий они экспериментальнонаблюдаются в сердечной ткани млекопитающих), начальное распределениеискусственно задавалось в виде архимедовой спирали. При этом динамикасистемы неустойчива: с течением времени спираль разрушается (рис. 6b),образующиеся обрывки волновых фронтов сами превращаются в новыеспиральные волны, и через некоторое время в системе развиваетсятурбулентный режим, соответствующий фибриллятивной активности в сердце(рис.
6c,d).Нашей задачей являлось исследование спирально-волновой активности вквадратной области и в области тороидальной геометрии при двух различныхвозбудимостях,которыевполнесоответствуютнормальному(высокаявозбудимость) и ишемическому (низкая возбудимость) сердцу. Естественнымспособом анализа турбулентного поведения в УИМ является измерение степенипорядка, или сложности динамики системы.Во втором разделе для измерения и упрощения сложного пространственновременного поведения системы использовался подсчет числа и отслеживаниетраекторий ядер спиральных волн – фазовых сингулярностей (ФС).
Анализ ФС15выявляет некоторые топологические ограничения на динамику фибрилляции,обусловленные, например, тем, что ФС образуются и уничтожаются как пары спротивоположным топологическим зарядом. При определенных условиях ФСдают начало спиральным волнам, поддерживающим турбулентную активность.В диссертационной работе сначала детально сравниваются два наиболеечасто используемых метода определения фазовых сингулярностей (фазовый иметод пересечения изолиний), а затем, используя наиболее адекватный из них,фазовый, анализируется сложность состояния системы (5)-(6) при различныхвозбудимостях и граничных условиях.Было обнаружено, что особых отличий в поведении ФС в средах сразличнымисвойстваминенаблюдается:ихскорость,притяжение(отталкивание) к близким противоположно-заряженным сингулярностям или кгранице практически идентичны.
Сингулярности рождаются в положительноотрицательно заряженных парах или вблизи границы, затем сразу исчезают пристолкновенияхссингулярностями,обладающимипротивоположнымтопологическим зарядом (или с границей), или быстро удаляются друг от друга.Среднеечислофазовыхсингулярностейи,следовательно,развитиетурбулентной активности, также не сильно отличается при изменениигеометрии и возбудимости в УИМ.
На рис. 7 представлено количество ФС длячетырех случаев: в квадратной области с низкой (граничные условия Неймана,τ d = 0, 25 , рис. 7а) и высокой (граничные условия Неймана, τ d = 0,15 , рис. 7с)возбудимостью,атакже(периодическиеграничныевобластиусловия,тороидальнойформыснизкойτ d = 0, 25 , рис. 7b) и высокой(периодические граничные условия, τ d = 0,15 , рис. 7d) возбудимостью.Как видно из рис. 7, среднее количество ФС не может быть использовано вкачестве надежного критерия сложности турбулентной активности: оноотличается в каждом случае не сильно и, следовательно, не характеризует мерупорядка (глубину хаотичности) системы.
Интуитивно понятно, что приувеличении возбудимости и использовании более реалистичной геометрии16среды сложность системы должна возрастать, что подтверждается бόльшимимаксимальными числами ФС на рис. 7c (или d) по сравнению с рис. 7a (или b),и рис. 7b (или d) по сравнению с рис. 7a (или c). Однако определениемаксимальногоколичествасингулярностейсопряженоснеизбежнымиошибками в методе, и поэтому необходимо использовать теорию динамическихсистем для нахождения более адекватного критерия сложности системы,выяснения возможности предсказания ее динамики и подавления хаоса.(a)(b)(c)(d)Рис. 7.
Зависимость числа ФС от времени. (а) τ d = 0, 25 , граничные условия Неймана.(b) τ d = 0, 25 , граничные условия периодические. (c) τ d = 0,15 , граничные условияНеймана. (d) τ d = 0,15 , граничные условия периодические.В третьем разделе используются различные критерии идентификациирежимов динамической системы для определения хаотичности возбудимойсреды: энтропия Колмогорова-Синая (КС) (пример на рис. 8 показываетхаотическое поведение), корреляционная энтропия и спектральная плотность.Вообще говоря, эти методы далеко не всегда четко показывают наличие хаоса идают представление лишь о временнόм поведении системы (за исключением17пространственного спектра).
Есть также определенные ограничения ихиспользования, так называемые условия теоремы Песина. Очевидно, к тому же,что построение отображения Пуанкаре для такой сложной системы, как УИМ,также не даст однозначного ответа на вопрос, есть ли в системе хаос, илидинамика квазипериодическая, а, тем более, не сможет дать количественнуюоценку сложности системы.(d) (e) (f)(a) (b) (c)Рис. 8. Зависимость КС энтропии внекоторой точке среды от времени.τ d = 0,15 ,граничныеусловияНеймана.Рис.
9. Диаграмма сложности УИМ. (а)τ d = 0,55 , г.у. Неймана. (b) τ d = 0, 25 , г.у.Неймана. (c) τ d = 0,15 , г.у. Неймана. (d)τ d = 0,55 , г.у. периодические. (e) τ d = 0, 25 , г.у.периодические.(f)τ d = 0,15 ,г.у.периодические.Поэтому в четвертом разделе для измерения сложной активностивозбудимой среды используется оригинальный метод, глубоко связанный спонятием КС энтропии (и, следовательно, с возможностью предсказаниядинамики).
Однако в отличие от методов, рассмотренных в третьем разделе,этот подход, как и подсчет ФС, способен количественно охарактеризоватьпространственно-временноеповедениесистемы.Онотноситсяктакназываемым алгоритмам сжатия (АС), чувствительным к порядку. Применяяданный алгоритм к системе (5)-(6), в диссертации были записаны несжатыепоследовательностиснимковраспределениямембранногопотенциала(фильмы) при трех различных возбудимостях и двух граничных условиях вУИМ. В качестве меры сложности системы использовался размер сжатого поАС фильма, отнесенный к размеру первоначального несжатого фильма.18Переведя эту величину в проценты, можно построить сравнительнуюдиаграмму сложности режимов (рис.
9). Чем выше столбцы, тем хуже сжатиефильма и, следовательно, меньше степень порядка (выше сложность).Неожиданным результатом здесь оказывается бόльшая сложность среды сменьшей возбудимостью τ d = 0,55 (рис. 9а) по сравнению со средой с большейвозбудимостью τ d = 0, 25 (рис. 9b). Следует отметить, что в случае близкихзначений сложности (глубины хаоса) большее количество ФС для сердцагораздо опаснее. Следовательно, развитость пространственно-временного хаосас точки зрения приложений является недостаточным критерием идентификацииопасных нарушений ритмов.Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
