Исследование активных сред методами теории динамических систем (1103098), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Здесь же проводится аналогия с патологическими состояниямисердечной ткани.При построении модели взаимодействия двух нелинейных импульсныхосцилляторов,которыемогутбытьпейсмекерами(периодическидействующими источниками возбуждения) в активной среде, в частности всердечнойткани,вдиссертацииполученоследующееотображениеокружности:⎛1⎞1 + f1(x n ) − x n )⎟⎟⎟ − f1(x n )(⎝a⎠x n +1 = x n + a + f2 ⎜⎜⎜где(mod1),(1)x n – разность фаз осцилляторов, a – отношение их периодов, f1 ( x), f 2 ( x)– кривые фазового отклика (КФО), определяющие изменение фазы последействия стимула и имеющие вид: f1 = γh(x ), f2 = εh(x ) , где h(x ) –периодическая функция, h(x + 1) = h(x ) , аγ,ε– амплитуды влиянияосцилляторов друг на друга.
В диссертационной работе было исследованоотображение (1), для которого в качестве КФО рассматривались симметричныекусочно-линейные, синусоидальные и полиномиальные функции.Выбраввкачествеаппроксимацииэкспериментальной⎞⎟22 ⎛1⎜h(x)Cxx1x()=−−⎟полиномиальную функцию⎜⎝ 2⎠КФО(нормировочныймножитель C был взят таким образом, чтобы амплитуда h(x) равнялась 1, т.е.C = 20 5 ) и, приняв во внимание время рефрактерности5δ , во время которогосистема не реагирует на внешнее воздействие, для одностороннего влиянияпейсмекеров, при ε = 0 , в работе получено следующее отображение:xn+1⎧xn + a,0 ≤ xn ≤ δ, (mod1)⎪⎪⎪=⎨⎪⎪xn + a + C γh ⎛⎜xn − δ ⎞⎟⎟, δ < xn ≤ 1, (mod1)⎜⎝ 1 − δ ⎠⎟⎪⎪⎩(2)Рис.
1. Фазовые картины полиномиального отображения (2): (a) δ = 0 ;(b) δ = 0,1 .Рис. 2. Области захватов фаз отображения (2): (a) δ = 0,3 ; (b) δ = 0,5 .Расположение областей захвата фаз в пространстве параметров (a, γ ) ,полученное в результате численного исследования системы (2) для различныхзначений времени рефрактерности, показано на рис. 1-3. Без ограниченияобщности был выбран интервал изменения параметра a, определяющегоотношение периодов, в пределах от 1 до 2. Различные цвета соответствуют6различным областям захвата фаз кратности N:M (на N циклов внешнегостимула приходится M циклов нелинейного осциллятора).Введение времени рефрактерности приводит к уширению областейфазовых захватов и значительному расщеплению и перекрытию их "хвостов"(см.
рис. 1b и рис. 1а). Хорошо видно, что при увеличении рефрактерности меразахвата кратности 2:3 увеличивается в то время как меры основных захватов 1:1(синхронизация ритмов пейсмекера и внешнего стимула) и 1:2 уменьшаются(рис. 2а). Области захватов фаз в случае δ = 0,5 показаны на рис. 2b. Этафазовая картина качественно отличается от диаграмм, представленных на рис.1 и 2а. Область 2:3 вытягивается и выглядит подобно стреле.
Формы областей3:4 и 3:5 также напоминают стрелы при δ = 0,7 (рис. 3а). В случае δ = 0,9 всефазовые захваты вырождаются в вертикальные линии. Эта ситуацияотображена на рис. 3b. Заметим, что приамплитуды стимулаδ = 1 нет никакой зависимости отγ , т.е. система не откликается на внешнее воздействие.Рис. 3. Фазовые диаграммы отображения (2): (a) δ = 0, 7 ; (b) δ = 0, 9 .В работе показано, что взаимное влияние при достаточно малых значенияхε приводит к деформации, расщеплению резонансных языков и наложению ихдруг на друга даже для небольших γ . При дальнейшем увеличении параметранелинейности ε резонансные зоны уменьшаются, занимая все меньше именьше места. В этом случае также наблюдается очень сложная картина. Такимобразом, рост влияния осцилляторов приводит к перемешиванию изначальнодостаточно упорядоченной структуры в пространстве (a, γ ) .7В дополнение, в построенной модели были изучены захваты фаз впространстве амплитуд стимулов (ε, γ ) . На рис.
4а отношение периодовa = 2 . Эта величина означает, что для ε = γ = 0 число вращениярационально, и динамика системы периодическая с захватом 1:2. Хотя приувеличении нелинейности возможно получить области фазовых захватов сдругой кратностью, даже при больших значенияхε и γ поведение системыпериодическое с захватом 1:2.Рис. 4. Захваты фаз в пространстве амплитуд стимулов ( δ = 0,1 ): (a) a = 2 ;(b) a = π / 2 .Противоположная ситуация наблюдается при a = π 2 . Здесь числовращения иррационально при нулевых амплитудах стимулов, и системаобнаруживает свойство квазипериодичности или хаотичности.
Однако с ростомнелинейности существует возможность появления периодического поведения(т.е. осцилляторы могут синхронизоваться, хотя вероятность этого мала) (рис.4b). Здесь, как и в случае достаточно большихε , имеет место уменьшениеплощади, занимаемой резонансными зонами. Поэтому для иррациональныхзначений a вероятность сложной динамики системы (1) достаточно велика.Спомощьюпостроенныхмоделейможно,например,описатьвзаимодействие пейсмекеров в реальной сердечной ткани и воздействиевнешнего возмущения на синусный сердечный ритм. Так, если считать один изимпульсныхосцилляторовсиноатриальнымузлом,адругой–атриовентрикулярным, то можно обнаружить, что некоторые устойчивые8захваты фаз соответствуют наблюдаемым в клинической практике патологиям.В этом случае среди различных построенных захватов имеются какнормальный синусный ритм (захват кратности 1:1), так и классические ритмыВенкебаха (захваты кратности N:(N-1)) и N:1 АВ-блокады.Полученныеколебательныхрезультатысистемвпозволяютзависимостиотпрогнозироватьвидаидинамикуинтенсивностиихвзаимодействия и от начальной разности фаз.
Наличие широких областейзахватов фаз (см. рисунки) говорит о том, что в таких системах возможныразличные виды синхронизации двух осцилляторов, которые качественносоответствуют некоторым видам сердечных аритмий. Фазовая диаграммапозволяет выявить, при каких условиях взаимодействия (т.е.
при какихзначениях параметров а, γ ,ε и δ ) возможен тот или иной видсинхронизации. Более того, все фазовые картины, представленные вдиссертационной работе, свидетельствуют о том, что при увеличениинелинейности (т.е. при росте параметраγ)области с различными захватаминачинают накладываться друг на друга. Знание таких областей и динамикисистемы в этих областях позволяет путем внешнего возмущения (к примеру,серией одиночных импульсов) выводить систему из нежелательного режимасинхронизации на более благоприятный режим.Эта последняя задача решается в диссертации аналитически (второйраздел). Показано, что соответствующее отображение при определенныхпараметрахобладаетаппроксимируемымисвойствомквадратичнойполимодальностифункцией.сСогласномаксимумами,общейтеориидинамических систем это, в частности, означает, что такие отображения могутиметь ярко выраженные хаотические свойства.
Основной результат второгораздела заключается в том, что полученным отображением легко управлять:существуют достаточно слабые параметрические возмущения общего вида,которые выводят систему на требуемый режим эволюции. Это становитсявозможным вследствие того, что полимодальное дискретное преобразованиеимеет критические точки.9В третьем разделе проводится обобщение ранее предложенной моделидвух взаимодействующих осцилляторов на случай сильного отличия ихпериодов (когда импульсы пейсмекеров не чередуются) и строится общаямодель, описывающая сеть импульсных осцилляторов, сцепленных глобально.Предположим, что у нас есть N автономных импульсных осцилляторов,или пейсмекеров, и все они взаимодействуют друг с другом, т.е. реализуетсятак называемое глобальное сцепление.
Предположим, что все пейсмекерыразличны. Это означает, что каждый имеет свою внутреннюю длину цикла Ti, i= 1,…,N, и амплитуду стимула.{ }Пусть множество ожидаемых импульсов пейсмекеров a$ i1,..., Nнаходится навременной оси. Это означает, что в отсутствие сцепления, пейсмекерыпроизводят импульсы в эти моменты времени. Предположим теперь, чтонекоторый{Δ ( ϕijijосцилляторвоздействуетнадругойпосредствомКФО}, ε ij )ijϕ,где– фаза j-ого пейсмекера по отношению к i-му, а ε ij –1,..., Nобобщенный параметр, определяющий сцепление между j-м и i-м элементами.Пусть j-й пейсмекер возбуждает среду первым.
В этом случае он непретерпевает какого-либо воздействия со стороны остальных источников, и егоожидаемый импульс отображается как реальный. Таким образом, данноесобытие сдвигает моменты импульсов всех остальных осцилляторов всоответствии с набором КФО{Δ } .ijj-й осциллятор переходит в новоеожидаемое состояние как невозмущенный, т.е.
с добавлением его собственнойдлины цикла Tj .Для получения следующих ожидаемых значений необходимо выполнить туже процедуру с новыми полученными ожидаемыми импульсами. Тогдадинамика системы может быть легко представлена как следующее итеративноесоотношение:i = j,⎧⎪Ti ,iia$ n +1 = a$ n + ⎨j : anj = min{ani }i =1,..., Nij⎪⎩ Δ ij (ϕ n , ε ij ) , i ≠ j ,10(3)aˆnj − aˆniгде ϕ =Tiijn(mod1).Удобно переписать КФО так, как в первом разделе, нормируя{Δ }ijнавнутренние длины циклов пейсмекеров Ti, и определяя{}Δ ij ( ϕijn , εij ) = f ij ( ϕijn , εij ) Ti , ϕijn ∈ [ 0,1] ,где{ f ( ϕ , ε )}ijijnij– безразмерные функции, которые также называются КФО.Реальные пейсмекеры могут иметь идентичную природу, но отличаться вовнутренней длине циклов.
Тогда форма безразмерных КФО для них одинакова,т.е. их f (ϕ , ε ) совпадают, в то время как Δ (ϕ , ε ) отличаются. Более того,удобно использовать функции{ f ( ϕ , ε )}ijijnijв построении уравнений длябезразмерных разностей фаз между парами пейсмекеров.Учитывая соотношение (3), уравнение для разности фазxn двухвзаимодействующих пейсмекеров A и B записывается следующим образом:⎧⎛ − xn⎞xf+−δ1(mod1), εb ⎟ , xn < 0,⎪ n⎜xn +1 = ⎨⎝ δ⎠⎪ x + f ( x (mod1), ε ) − δ,xn > 0,na⎩ n(4)a$ n − b$ nгде xn =, а a$ n , b$ n – моменты ожидаемых импульсов от A и B.TaВ работе проведен глубокий анализ систем (3) и (4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
