Автореферат (Управляемое демпфирование колебаний высокодобротных механических резонаторов), страница 3

Для расчета резо­нансных частот и распределений компонент вектора смещения использован аналитическийметод, который заключается в построении решений в виде линейных комбинаций трех по­следовательностей решений, в точности удовлетворяющих уравнению движения и трем из12шести граничных условий. Оставшиеся три граничных условия затем удовлетворяются на­ложением требования ортогональности соответствующих компонент тензора напряжения награницах диска некоторым полным базисным наборам функций на этих границах.

В резуль­тате получается однородная система линейных алгебраических уравнений, решение которойдает значения собственных частот и распределения компонент вектора смещения в диске.Точность полученного решения зависит от числа функций базисного набора, взятых при на­ложении требования ортогональности (таким образом, полученные решения являются анали­тическими, но не точными — точное решение данной задачи не выражается в элементарныхфункциях).Указанным методом были построены последовательности резонансных частот мод коле­баний различного вида — квазирэлеевских, квазиклиновых, квазилэмбовских, мод шепчущейгалереи — и проанализирована форма колебаний в этих модах, показана связь решений с из­вестными для предельных случаев точными решениями.Результаты этих расчетов были подтверждены нами экспериментально.

В качестведискового резонатора был использован круговой цилиндр толщиной 16 мм и диаметром2 = 180,5 мм, изготовленный из дюралюминия Д16, закрепленный в центре на стержнедиаметром 20 мм. Поскольку колебания в модах с большими значениями углового индексав основном сосредоточены в областях, близких к боковой поверхности диска, такое закреп­ление вносит минимальные дополнительные потери и практически не искажает форму модколебаний резонатора по сравнению с полностью свободным случаем.

Регистрация колебанийосуществлялась посредством бесконтактного параметрического преобразователя с использо­ванием емкостного сенсора, работавшего на склоне резонансной кривой. Чувствительность√сенсора составляла около 0.1 нм/ Гц. Изучение распределения амплитуды колебаний осу­ществлялось с помощью перемещения электрода сенсора вдоль поверхности дискового резо­натора.На рис. 5 точками с заливкой отмечены безразмерные (отнесенные к скорости распро­странения поперечных волн) скорости волн, соответствующих различным модам колебанийдискового резонатора в зависимости от значения углового индекса , полученные в экспери­менте. Точками без заливки на том же рисунке отмечены результаты теоретического расчета.Сплошными кривыми отмечена область, доступная для измерений в нашей установке.

Отли­чие экспериментальных значений резонансных частот диска от расчетных не превышало 1%.Добротность всех изученных мод колебаний, измеренная в вакууме при остаточном давле­нии порядка 10−4 торр, лежала в диапазоне (2...3) × 105 , что типично для дюралюминиевыхмеханических резонаторов в ультразвуковом диапазоне [14].131,61,51,3kta / (k v ) = vk/ vt1,41,21,11,00,9152025303540kРис. 5. Расчетные (символы с заливкой) и полученные в эксперименте (символы без заливки) при­веденные скорости волн, соответствующих модам колебаний дюралюминиевого диска с отношениемтолщины к диаметруℎ = 0.08864.Тонкими сплошными линиями ограничена область, доступнаядля измерений в нашей экспериментальной установке.14В отдельном разделе приведено описание распределения амплитуд компонент векторасмещения в различных семействах мод колебаний.Результаты этой работы опубликованы в [A2].Среди изученных мод колебаний наименьшее значение эффективной массы имеют из­гибные моды.

Поэтому в качестве демпфируемого объекта для системы демпфирования быливыбраны изгибные моды колебаний дисковых резонаторов — тонких пластин из монокристал­лического кремния, что потребовало дополнительного их изучения — в частности, были ис­следованы собственные потери в таких модах колебаний при комнатной температуре. Крометого, изучение этих мод связано с созданием подвесов пробных масс для гравитационно-вол­новых детекторов третьего поколения.Были экспериментально исследованы изгибные моды колебаний в стандартных пласти­нах монокристаллического кремния n-типа с ориентацией (111) с удельным электрическимсопротивлением 0,02 Ом×см диаметром 76.2 мм и толщиной 0.34 мм. Исследуемая пластиназажималась в центре между двумя фторопластовыми шайбами диаметром 10 мм. Для реги­страции колебаний использовался емкостный сенсор.

Измерения проводились в вакууме приостаточном давлении около 10−4 торр.Зависимость измеренной величины фактора механических потерь −1 изгибных модколебаний диска с радиальным индексом (числом узловых окружностей), равным нулю, от-3Q-110-410-510020406080100,Рис. 6. Зависимость фактора механических потерь в модах колебаний диска от резонансной частоты(точки).

Расчетная кривая термоупругих потерь в пластине (штриховая линия).15Рис. 7. Трехмодовая система, образованная механическим осциллятором и двумя связанными ра­диочастотными электрическими контурами.резонансной частоты приведена на рис. 6 (точки). В средней части диапазона частот, в кото­ром производились измерения, уровень механических потерь близок к уровню термоупругихпотерь для данной последовательности мод колебаний диска, рассчитанному в соответствиис модификацией [15] модели термоупругих потерь Лифшица-Роукса [16], в которой учиты­вается форма мод колебаний диска и приведенному на том же рисунке (штриховая кривая).С уменьшением углового индекса (и резонансной частоты) увеличивается эффективная глу­бина проникновения колебаний от боковой поверхности диска, имеющая порядок величиныдлины стоячей волны, соответствующей данной моде колебаний; при этом возрастают поте­ри в креплении резонатора, что обуславливает возрастание фактора механических потерьв области низких частот.

В области высоких резонансных частот наблюдается частотно­независимый уровень потерь, соответствующий типичному уровню поверхностных потерьв кремниевых резонаторах аналогичного размера [17].Также были получены резонансные кривые при увеличении амплитуды колебаний врассматриваемых модах, зависящие от амплитуды вследствие геометрической нелинейности.Измеренная величина коэффициента кубической нелинейности для моды колебаний с = 19составила 3 × 108 м−2 .Результаты этой работы опубликованы в [A3].Вчетвертой главепредложена система управляемого демпфирования изгибных модколебаний дисковых резонаторов — на примере пластин из монокристаллического кремния,описанных в предыдущей главе.

В основе предлагаемой системы лежит параметрическое вза­имодействие между механическим осциллятором с резонансной частотой Ω и системой из16Рис. 8. Экспериментальная реализация схемы демпфирования колебаний кремниевого дисковогорезонатора.двух индуктивно связанных между собой электрических радиочастотных колебательных кон­туров, осуществляемое посредством емкостного преобразователя. Система представлена нарис. 7. Предполагается, что система работает в режиме разрешенной боковой полосы (resolvedsideband), т.е. частота механических колебаний много больше полосы пропускания каждогоиз контуров.

От обычных одноконтурных схем демпфирования с разрешенной боковой по­лосой данную схему отличает наличие второго резонансного контура. Если парциальныечастоты радиочастотных контуров равны, а разность нормальных частот равна механиче­ской частоте, 2 − 1 = Ω , то при подаче на первый контур переменного напряжения счастотой 1 происходит резонансное усиление как антистоксовой компоненты электрическихколебаний на частоте 1 + Ω = 2 , так и колебаний на рабочей частоте 1 .

Решение системыуравнений, описывающих поведение этой схемы, получено приближенно методом разложе­ния по малому параметру 0 / (0 — амплитуда механических колебаний, —расстояниемежду электродами емкостного преобразователя).Описанная схема была реализована экспериментально. Блок-схема экспериментальнойустановки приведена на рис. 8.

В качестве демпфируемой моды использовалась изгибнаямода колебаний с угловым индексом = 21 дискового резонатора из монокристаллическогокремния, аналогичного описанному в первой части настоящей главы. Резонансная частота17этой моды 46478 Гц, собственная добротность 1,0 × 105 , эффективная масса 2,6 × 10−4 кг.Емкостный преобразователь включал в себя гребенчатый электрод с пространствен­ным периодом 10 мм, близким к длине стоячей волны, соответствующей возбуждаемой моде(≈ 11 мм), и дополнительный заземленный электрод.

Эти электроды, включенные параллель­но с катушкой индуктивности и паразитной емкостью, составляли основной электрическийколебательный контур с резонансной частотой около 2,86 МГц. Эффективное расстояниемежду пластинами емкостного преобразователя рассчитывалось с помощью конечноэлемент­ного моделирования и составляло около 28 мкм.Второй (вспомогательный) колебательный контур состоял из катушки индуктивностии переменного конденсатора, использовавшегося для управления соотношением парциаль­ных частот. Величина индуктивной связи между контурами регулировалась посредствомизменения относительного положения катушек индуктивности.

Добротность обоих контуровравнялась ≈ 390.Регистрация колебаний осуществлялось с помощью диодного детектора, частично вклю­ченного в основной контур. Измерения проводились в вакууме при остаточном давленииоколо 10−4 торр.832-6, 10-1, 104QmQ-10m-661-12-2-30-2,0-1,5-1,0-0,50,00,5(()- )/1,01,52,005001000Um(,2L10)Рис. 9. (а): Расчетная зависимость вносимого фактора механических потерьмоды кремниевого дискового резонатора от безразмерной расстройки2Δ−1для изгибной(−)/Ω (сплошная кривая).Экспериментальные значения вносимого фактора механических потерь (точки). (б): ЗависимостьΔ−1от квадрата амплитуды напряжения на индуктивности1 ,рассчитанная (сплошная кривая)и полученная в эксперименте (точки) при оптимальной настройке трехмодовой системы. Штриховойлинией обозначена линейная аппроксимация экспериментальных данных.Теоретический анализ показывает, что для идентичных радиочастотных контуров спарциальными частотами 1 = 2 = , добротностями 1 = 2 = и коэффициентами18связи 1 = 2 = вносимое в механический осциллятор дополнительное затухание мак­симально, если разность нормальных частот электрических контуров равна механическойчастоте, 2 − 1 ≈ = Ω .

На рис. 9(а) представлена расчетная кривая вносимого факторамеханических потерь в зависимости от безразмерной расстройки ( −)/Ω , где — частотаВЧ-генератора. Точками отмечены экспериментально полученные значения.Максимальная величина вносимого затухания, которая была получена в эксперимен­те, ограничена перегрузкой сенсора при увеличении амплитуды ВЧ-напряжения вследствиевозбуждения низкочастотных изгибных мод с меньшим количеством узловых диаметров. Вэксперименте наибольшая величина вносимого в осциллятор фактора механических потерьсоставила 7,6 × 10−6 .Максимальное положительное значение вносимого в осциллятор фактора механическихпотерь достигается в случае, когда частота ВЧ-генератора равна нижней из нормальныхчастот связанных электрических контуров.

В этом случае вносимый фактор потерь равен∆−1 ≃02 3 0 3323 Ω2и в (Ω )2 /(2 2 ) раз превосходит максимальное значение для классической схемы с од­ним радиочастотным контуром. Здесь — площадь пластины емкостного преобразователя,коэффициент равен отношению рабочей емкости преобразователя к полной емкости пер­вого электрического контура. Если частота ВЧ-генератора равна верхней из нормальныхчастот системы контуров, вносимый фактор потерь принимает минимальное отрицатель­ное значение, что соответствует увеличению добротности механического осциллятора.