Автореферат (Задачи управления для систем с эллипсоидальной динамикой)

Ìîñêîâñêèé îñóäàðñòâåííûé Óíèâåðñèòåò èì. Ì. Â. ËîìîíîñîâàÔàêóëüòåò âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêèÍà ïðàâàõ ðóêîïèñèÌåñÿö Àëåêñåé Èãîðåâè÷Çàäà÷è óïðàâëåíèÿ äëÿ ñèñòåì ñýëëèïñîèäàëüíîé äèíàìèêîé01.01.02 äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìûè îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèåÀÂÒÎÅÔÅÀÒäèññåðòàöèè íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèêàíäèäàòà èçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÌîñêâà2015àáîòà âûïîëíåíà íà êàåäðå ñèñòåìíîãî àíàëèçà àêóëüòåòà âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêè åäåðàëüíîãî ãîñóäàðñòâåííîãî áþäæåòíîãî îáðàçîâàòåëüíîãîó÷ðåæäåíèÿ âûñøåãî ïðîåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ ¾Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èìåíè Ì. Â. Ëîìîíîñîâà¿Êóðæàíñêèé Àëåêñàíäð Áîðèñîâè÷,Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:äîêòîðèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõíàóê,àêàäåìèêÀÍ, çàâåäóþùèé êàåäðîé ñèñòåìíîãî àíàëèçààêóëüòåòà ÂÌÊ ÌÓ èìåíè Ì.

Â. Ëîìîíîñîâà.Ëîòîâ Àëåêñàíäð Âëàäèìèðîâè÷,Îèöèàëüíûå îïïîíåíòû:äîêòîð èçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîåññîð,ãëàâíûé íàó÷íûé ñîòðóäíèê ÔÈÖ ¾Èíîðìàòèêàè óïðàâëåíèå¿ ÀÍÒèìîååâà àëèíà Àäîëüîâíà,äîêòîð èçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîåññîð,çàâåäóþùàÿ êàåäðîé ¾Âûñøàÿ è ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà¿ â Ôåäåðàëüíîì ãîñóäàðñòâåííîì áþäæåòíîìîáðàçîâàòåëüíîìó÷ðåæäåíèèâûñøåãîïðîåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ ¾Óðàëüñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò ïóòåé ñîîáùåíèÿ¿.Âåäóùàÿ îðãàíèçàöèÿ:åäåðàëüíîåãîñóäàðñòâåííîåáþäæåòíîåó÷ðå-æäåíèå íàóêè ¾Èíñòèòóò ïðîáëåì ìåõàíèêè èìåíèÀ. Þ.

Èøëèíñêîãî îññèéñêîé Àêàäåìèè Íàóê¿Çàùèòàñîñòîèòñÿ23äåêàáðÿ2015 ãîäàâ15÷àñîâ30ìèíóòíàçàñåäàíèèäèññåðòàöèîííîãîñîâå-òà Ä. 501.001.43 ïðè Ìîñêîâñêîì ãîñóäàðñòâåííîì óíèâåðñèòåòå èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà ïî àäðåñó: 119991,ã. Ìîñêâà, ÑÏ-1, Ëåíèíñêèå îðû, ÌÓ, ä.1, ñòð. 52, 2-é ó÷åáíûé êîðïóñ, ÂÌÊ, àóäèòîðèÿ 685.Ñ äèññåðòàöèåé ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ â Íàó÷íîé áèáëèîòåêå Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåð-ñèòåòà èì. Ì. Â.

Ëîìîíîñîâà ïî àäðåñó: 119192, ã. Ìîñêâà, Ëîìîíîñîâñêèé ïðîñïåêò, ä. 27Àâòîðååðàò ðàçîñëàí ¾¿201ã.Ó÷¼íûé ñåêðåòàðü äèññåðòàöèîííîãî ñîâåòà Ä. 501.001.41,äîêòîð èçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîåññîðÅ. Â. ÇàõàðîâÎáùàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðàáîòûÀêòóàëüíîñòü òåìû.Íàñòîÿùàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ çàäà÷óïðàâëåíèÿ äëÿ ñèñòåì ñ ìíîãîçíà÷íûìè òðàåêòîðèÿìè, âûðàæåííûõ â âèäåýëëèïñîèäàëüíûõ òðóáîê.Èçó÷åíèå äèíàìèêè òðóáîê òðàåêòîðèé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíó èç àêòóàëüíûõ çàäà÷ ñîâðåìåííîé òåîðèè óïðàâëåíèÿ [11, 1℄.

Òðóáêè òðàåêòîðèéâîçíèêàþò, íàïðèìåð, ïðè ðàññìîòðåíèè çàäà÷è äîñòèæèìîñòè, â êîòîðîéòðåáóåòñÿ îïèñàòü ìíîæåñòâî âñåõ òåðìèíàëüíûõ ñîñòîÿíèé, êîòîðûå ñèñòåìàìîæåò äîñòè÷ü ê çàäàííîìó ìîìåíòó âðåìåíè èç ìíîæåñòâà íà÷àëüíûõ ñîñòîÿíèé, èñïîëüçóÿ äîïóñòèìûå óïðàâëåíèÿ. Ñîïðÿæåííîé ê çàäà÷å äîñòèæèìîñòè ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à ðàçðåøèìîñòè çàäà÷à îòûñêàíèÿ âñåõ íà÷àëüíûõñîñòîÿíèé ñèñòåìû, ñòàðòóÿ èç êîòîðûõ, ñèñòåìà ìîæåò ïðè ïîìîùè äîïóñòèìûõ óïðàâëåíèé ïîïàñòü â òåðìèíàëüíûé ìîìåíò íà çàðàíåå çàäàííîå öåëåâîå ìíîæåñòâî. Ïðè ðåøåíèè ýòèõ çàäà÷ îñóùåñòâëÿåòñÿ ïåðåõîä îò ðàññìîòðåíèÿ îòäåëüíûõ òðàåêòîðèé ê àíàëèçó àíñàìáëåé òðàåêòîðèé, çàäàþùèõìíîãîçíà÷íóþ äèíàìèêó èññëåäóåìûõ ñèñòåì. Äëÿ îïèñàíèÿ ýâîëþöèè òàêèõàíñàìáëåé íåîáõîäèì àíàëèç òðóáîê äîñòèæèìîñòè è ðàçðåøèìîñòè ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé, ñå÷åíèÿ êîòîðûõ â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè áóäóòÿâëÿòüñÿ ìíîæåñòâàìè äîñòèæèìîñòè è ðàçðåøèìîñòè ñîîòâåòñòâåííî.

Èçó÷åíèåì äèíàìèêè ïîäîáíûõ òðóáîê çàíèìàåòñÿ òåîðèÿ òðóáîê òðàåêòîðèé.Ïîñòðîåíèå òðóáîê ðàçðåøèìîñòè ïîçâîëÿåò êîíñòðóèðîâàòü ñèíòåçèðóþùååóïðàâëåíèå ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ýêñòðåìàëüíîãî ïðèöåëèâàíèÿ Í. Í. Êðàñîâñêîãî [12℄.Çàäà÷è äîñòèæèìîñòè è ðàçðåøèìîñòè íå ÿâëÿþòñÿ çàäà÷àìè îïòèìèçà3öèè, îäíàêî èì ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå çàäà÷è îïòèìèçàöèè, êîòîðûåîáåñïå÷èâàþò ðåãóëÿðíûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ èõ ðåøåíèé. Ýåêòèâíûì îáùèì ïîäõîäîì äëÿ ðåøåíèÿ òàêèõ çàäà÷ ÿâëÿåòñÿ ìåòîä äèíàìè÷åñêîãî ïðî-ãðàììèðîâàíèÿ, ðàçðàáîòàííûé .

Áåëëìàíîì [13℄ è îïèðàþùèéñÿ íà ãàìèëüòîíîâ îðìàëèçì.  îñíîâå ìåòîäà äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ëåæèòïîíÿòèå ïîçèöèè ñèñòåìû. Ïîçèöèÿ ñèñòåìû ìèíèìàëüíûé íàáîð ïàðàìåòðîâ, îáåñïå÷èâàþùèé âûïîëíåíèå ïðèíöèïà îïòèìàëüíîñòè, âûðàæåííîãî ââèäå ïîëóãðóïïîâîãî ñâîéñòâà äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåé óíêöèè öåíû.  ïðîñòåéøåì ñëó÷àå ïîçèöèÿ ñîâïàäàåò ñ ïàðîé {âðåìÿ, àçîâûé âåêòîð}. Ìåòîä äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ïðèâîäèò ê ðàññìîòðåíèþ óðàâíåíèéâ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ òèïà àìèëüòîíàßêîáèÁåëëìàíà.

åøåíèå óðàâíåíèé ßÁ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðåñóðñî¼ìêóþ çàäà÷ó äàæå äëÿ ñèñòåì ìàëîéðàçìåðíîñòè, îäíàêî ìíîãî÷èñëåííûå ïðàêòè÷åñêèå çàäà÷è òðåáóþò ðàññìîòðåíèÿ ïîäîáíûõ çàäà÷ áîëüøîé ðàçìåðíîñòè [9℄. Òàêèì îáðàçîì, âîçíèêàåòïîòðåáíîñòü â ñîçäàíèè ñïåöèàëüíûõ ìåòîäîâ è ïîäõîäîâ äëÿ ðåøåíèÿ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì áîëüøîé ðàçìåðíîñòè.Ñòðóêòóðà ìíîæåñòâ äîñòèæèìîñòè è ðàçðåøèìîñòè ìîæåò áûòü î÷åíüñëîæíîé äàæå äëÿ ïðîñòûõ ñèñòåì. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ àíàëèçà äèíàìèêèòðóáîê äî êîíöà, òî åñòü äî ïðàêòè÷åñêè ðåàëèçóåìûõ àëãîðèòìîâ, ïðèìåíÿåòñÿ ýëëèïñîèäàëüíîå èñ÷èñëåíèå.  ðàáîòàõ À.

Á. Êóðæàíñêîãî áûëè ïîñòðîåíû ïàðàìåòðèçîâàííûå ñåìåéñòâà ýëëèïñîèäàëüíûõ òðóáîê, ïîçâîëÿþùèå ñêîíñòðóèðîâàòü âíåøíèå è âíóòðåííèå îöåíêè òðóáîê äîñòèæèìîñòè èðàçðåøèìîñòè äëÿ ñèñòåì ñ íåîïðåäåë¼ííîñòüþ [2℄. ×èñëåííûå àëãîðèòìû,îñóùåñòâëÿþùèå ïîñòðîåíèå òàêèõ îöåíîê, ðåàëèçîâàíû â ïðîãðàììíîì ïà-4êåòå Ellipsoidal Toolbox äëÿ âû÷èñëèòåëüíîé ñðåäû Matlab [8℄. Íà îñíîâåïîëó÷åííûõ ìåòîäàìè ýëëèïñîèäàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ âíóòðåííèõ îöåíîê ìíîæåñòâà ðàçðåøèìîñòè ìîæíî ñòðîèòü ñèíòåçèðóþùèå óïðàâëåíèÿ ìåòîäîìýëëèïñîèäàëüíîãî ñèíòåçà [2℄.Òàêèì îáðàçîì, îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò ýëëèïñîèäàëüíûå òðóáêè,ò.å.

ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ, ñå÷åíèÿìè êîòîðûõ â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ÿâëÿþòñÿ ýëëèïñîèäû. Íåâûðîæäåííûé ýëëèïñîèä â Rn îïèñûâàåòñÿäâóìÿ ïàðàìåòðàìè, öåíòðîì q ∈ Rn è ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöåé êîíèãóðàöèé, Q ∈ Rn×n , Q = Q′ > 0:E (q, Q) = {x ∈ Rn : x − q, Q−1(x − q) 6 1},èëè, ýêâèâàëåíòíî,E (q, Q) = {x ∈ Rn : hx, li 6 hq, li +phl, Qli, äëÿ âñåõ l ∈ Rn }.Cëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå äèíàìèêó ýëëèïñîèäàëüíûõ òðóáîêE (q(t), Q(t)), òàêæå ñîäåðæàò äâå êîìïîíåíòû: âåêòîðíóþ äëÿ q(t) è ìàòðè÷íóþ äëÿ Q(t).Òàêèì îáðàçîì, äëÿ èçó÷åíèÿ äèíàìèêè ýëëèïñèîäàëüíîé òðóáêè íåîáõîäèìî ðàññìîòðåíèå óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ ìàòðè÷íóþ äèíàìèêó â ïàðå(q, Q).Âàæíûì ïðèìåðîì èñïîëüçîâàíèÿ óïðàâëÿåìûõ ýëëèïñîèäàëüíûõ òðóáîêÿâëÿþòñÿ çàäà÷è ãðóïïîâîãî (êîëëåêòèâíîãî) óïðàâëåíèÿ.

 òàêèõ çàäà÷àõðàññìàòðèâàåòñÿ ãðóïïà îäíîðîäíûõ (ñõîæèõ) àãåíòîâ, êîòîðûì, âçàèìîäåéñòâóÿ äðóã ñ äðóãîì, íàäî âûïîëíèòü íåêîòîðóþ îáùóþ çàäà÷ó. Ïîäîáíûåïîñòàíîâêè ïîëó÷àþò âñå áîëüøåå ðàñïðîñòðàíåíèå íà ïðàêòèêå â çàäà÷àõ5èññëåäîâàíèÿ ïîâåðõíîñòè ìîðñêîãî äíà è êàðòîãðàèðîâàíèÿ [15, 16, 21, 22℄.Êðîìå òîãî, ñ ïîìîùüþ òàêèõ ñèñòåì îñóùåñòâëÿåòñÿ ìîäåëèðîâàíèå ïîâåäåíèÿ ñòàé ïòèö èëè êîñÿêîâ ðûá [14, 16℄. åøåíèå çàäà÷ ãðóïïîâîãî óïðàâëåíèÿøèðîêî âîñòðåáîâàíî íà ïðàêòèêå. ðàáîòàõ [3, 4, 5℄ ïîñòàâëåíà çàäà÷à ñèíòåçà öåëåâûõ óïðàâëåíèé äëÿãðóïïû àãåíòîâ, êîòîðûì íåîáõîäèìî äîñòè÷ü öåëåâîãî ìíîæåñòâà, èçáåãàÿñòîëêíîâåíèé äðóã ñ äðóãîì è âíåøíèìè ïðåïÿòñòâèÿìè, íàõîäÿñü ïðè ýòîìâíóòðè âèðòóàëüíîãî ýëëèïñîèäàëüíîãî êîíòåéíåðà.

åøåíèå ïðè ýòîì ñòðîèòñÿ â äâà ýòàïà. Ñíà÷àëà ðàññ÷èòûâàåòñÿ âèðòóàëüíîå äâèæåíèå ýëëèïñîèäàëüíîãî êîíòåéíåðà, êîòîðûé, ïðîèçâîäÿ ðåêîíèãóðàöèþ, èçáåãàåò ñòîëêíîâåíèé ñ âíåøíèìè ïðåïÿòñòâèÿìè, ïîñëå ÷åãî íàõîäÿòñÿ ñèíòåçèðóþùèåóïðàâëåíèÿ äëÿ àãåíòîâ âíóòðè êîíòåéíåðà, äëÿ êîòîðûõ îí ñëóæèò âíåøíèìàçîâûì îãðàíè÷åíèåì. Èñïîëüçîâàíèå ýëëèïñîèäàëüíîãî êîíòåéíåðà ïîçâîëÿåò ãàðàíòèðîâàòü âûïîëíåíèå êîìàíäíîãî ñâîéñòâà äëÿ ãðóïïû, êîòîðîåçàêëþ÷àåòñÿ â äâóõ óñëîâèÿõ: óñëîâèè íåïåðåñå÷åíèÿ çîí áåçîïàñíîñòåé êàæäîãî èç àãåíòîâ è óñëîâèÿ ¾áëèçîñòè¿ àãåíòîâ äðóã ê äðóãó.Ñïåöèèêà òàêîé çàäà÷è íàêëàäûâàåò ðÿä àçîâûõ îãðàíè÷åíèé íà ìàòðèöó êîíèãóðàöèé êîíòåéíåðà.

Òàê, îòâå÷àþùèé åé ýëëèïñîèä íå äîëæåíáûòü ñëèøêîì áîëüøèì, ÷òîáû ýåêòèâíî îáõîäèòü ïðåïÿòñòâèÿ, è, êðîìå òîãî, îí íå ìîæåò áûòü ñëèøêîì ìàëåíüêèì, èíà÷å àãåíòû âíóòðè íåãîíå ïîìåñòÿòñÿ. Òàêèå îãðàíè÷åíèÿ ìîæíî ó÷èòûâàòü â âèäå íåðàâåíñòâ íàñîáñòâåííûå ÷èñëà àçîâîé ìàòðèöû.Çàäà÷à óïðàâëåíèÿ ñèñòåìàìè ñ ìàòðè÷íûìè àçîâûìè òðàåêòîðèÿìèðàññìàòðèâàëàñü È. Â. ×åáóíèíûì â ðàáîòå [7℄.