Вариационные структуры Пуассона-Нийенхейса и интегрируемые гамильтоновы системы

Московский государственный университет имени М.В.ЛомоносоваФизический факультетКафедра математикиНа правах рукописи.Головко Валентина АлександровнаВариационные структуры Пуассона–Нийенхейса иинтегрируемые гамильтоновы системыСпециальность 01.01.03 — математическая физикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква – 20111Работа выполнена на кафедре математики физического факультетаМГУ имени М.В.Ломоносова.Научный руководитель:доктор физико-математических наукпрофессор И.С.

КрасильщикОфициальные оппоненты:доктор физико-математических наукведущий научный сотрудникД.В. Туницкий,кандидат физико-математических наукдоцент Н.Г. ХорьковаФГУП «Государственный НЦ РФ Институт теоретической и экспериментальнойфизики»Ведущая организация:Защита диссертации состоится «»2011 г. вчас.на заседании Диссертационного Совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991,Москва, Ленинские горы, физический факультет МГУ, ауд.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова.Автореферат разослан «»2011 г.Ученый секретарьдиссертационного совета Д 501.002.10доктор физико-математических наукпрофессор2Ю.В. ГрацОбщая характеристика работыАктуальность темы исследованияНастоящая диссертационная работа посвящена изучению геометрических аспектов теории вполне интегрируемых систем.После обнаружения Захаровым и Фаддеевым в 1971 году того,что уравнение Кортевега де Фриза (КдФ) является бесконечномерной вполне интегрируемой системой, нелинейные солитонные уравнениястали вызывать большой интерес как вполне интегрируемые гамильтоновы уравнения с бесконечным числом степеней свободы.

Однако самопонятие гамильтоновости вводилось лишь для эволюционных уравнений, а исследование произвольных уравнений в частных производных(УрЧП) проводилось путем приведения исходной системы к эволюционному виду. При этом возникает проблема инвариантного определениягамильтоновых структур, поскольку при наличии понятия гамильтоновости лишь для эволюционных уравнений встает вопрос о том, что произойдет с гамильтоновой структурой при преобразовании соответствующего гамильтонова эволюционного уравнения к неэволюционному виду.Особый интерес представляют бигамильтоновы уравнения, т.е.

уравнения, допускающие наличие пары совместных гамильтоновых структур. Если на уравнении имеется бигамильтонова структура, то, применяя схему Магри, можно построить бесконечную серию законов сохранения, находящихся в инволюции относительно соответствующих скобокПуассона, что равносильно полной интегрируемости такого уравнения.Частным случаем бигамильтоновых структур являются структурыПуассона–Нийенхейса, которые задаются пуассоновым бивектором итензором Нийенхейса типа (1, 1) с нулевым кручением и удовлетворяют определенным условиям совместности.

Тензоры (операторы) Нийенхейса были введены в теории интегрируемых систем в работах Магри,Гельфанда и Дорфман. Структуры Пуассона–Нийенхейса впервые по-3явились в работе 1 и в дальнейшем изучались в 2 . Структуры Пуассона–Нийенхейса играют важную роль как в классической дифференциальной геометрии, так и в геометрии уравнений в частных производных. Впоследнем случае существование структуры Пуассона–Нийенхейса фактически равнозначно интегрируемости рассматриваемого уравнения.Структуры Пуассона–Нийенхейса возникают при построении бигамильтоновой пары как композиции пуассонова бивектора P и тензораНийенхейса N типа (1, 1). При этом возникает три условия: одно необходимо для того, чтобы композиция N ◦ P являлась бивектором, а второе,чтобы этот бивектор был пуассоновым, а третье отвечает за совместность P и N ◦ P .

Отталкиваясь от структуры Пуассона–Нийенхейса,можно построить иерархию попарно совместных пуассоновых тензоров,что зачастую помогает проинтегрировать такую систему.На протяжении последних 30-ти лет структуры Пуассона–Нийенхейса активно рассматривались различными авторами, и были получены разные интерпретации условия совместности на пуассонов бивектор и тензор Нийенхейса.

Так в 3 определены структуры Пуассона–Нийенхейса в общем алгебраическом смысле, а в 4 эти структуры охарактеризованы в терминах алгеброидов Ли. В 5 условие совместностизаписано в виде условия на скобку Виноградова 6 пуассонова бивектораи тензора Нийенхейса, понимаемых как градуированные дифференциальные операторы на алгебре дифференциальных форм.В данной работе пуассонов бивектор и тензор Нийенхейса рассматри1Magri F. and Morosi C. A geometrical characterization of integrable Hamiltonian systems throughthe theory of Poisson–Nijenhuis manifolds// University of Milan, Quaderno. — 1984.

— Vol. S 19. —20 p.2Kosmann-Schwarzbach Y., Magri F. Poisson–Nijenhuis structures // Ann. Inst. H. Poincaré Phys.Théor. — 1990. — Vol. 53, no. 1. — P. 35–81.3Vaisman I. A lecture on Poisson–Nijenhuis structures, Integrable systems and foliations, Feuilletageset systèmes intégrables (Montpellier, 1995) // Progr. Math., Birkhäuser Boston, Boston, MA. — 1997. —Vol. 145.

— P. 169–185.4Kosmann-Schwarzbach Y. The Lie bialgebroid of a Poisson–Nijenhuis manifold // Lett. Math.Phys. — 1996. — Vol. 38, no. 4. — P. 421–428.5Beltrán J. V. and Monterde J. Poisson–Nijenjuis structures and the Vinigradov bracket // Ann.Global Anal. Geom. — 1994. — Vol. 12, no. 1. — P. 65–78.6Cabras A. and Vinogradov A. M. Extensions of the Poisson bracket to differential forms and multivector fields // J. of Geometry and Physics, — 1992.

— Vol. 9. — P. 75–100.4ваются в бесконечномерном случае как C -дифференциальные операторы (операторы в полных производных) на пространствах бесконечныхджетов (струй), а затем и на УрЧП, понимаемых как подмногообразияв многообразии бесконечных джетов, то есть как гамильтонов оператор H и оператор рекурсии R, соответственно. Под гамильтоновымоператором мы понимаем кососопряженный оператор, ставящий в соответствие производящим функциям законов сохранения (косимметриям)уравнения E его симметрии и удовлетворяющий условию равенства нулю его скобки Схоутена. Оператором рекурсии будет оператор, переводящий симметрии уравнения в его симметрии (вообще говоря, нелокальные).Поскольку композиция R ◦ H снова переводит косимметрии уравнения E в симметрии, возникает вопрос, при каких условиях на R и Hоператор R ◦ H (а также и все композиции вида Ri ◦ H, i > 1) сновазадает гамильтонову структуру на E . Ответ на аналогичный вопрос вконечномерном случае был сформулирован в 1 2 в виде условий совместности соответствующих тензоров.

В данной работе приведено обобщениеусловий совместности на бесконечномерный случай.Бесконечномерные структуры Пуассона–Нийенхейса хорошо описываются 7 в случае пространств джетов, а также для эволюционных дифференциальных уравнений, рассматриваемых как потоки на пространстве джетов, в то время как для общих дифференциальных уравненийсоответствующая теория не существовала в течение долгого времени.Построение такой теории сопряжено с рядом проблем как вычислительного, так и концептуального характера. Во-первых, это относитсяк разработке эффективных методов вычисления операторов рекурсии,гамильтоновых и симплектических структур (возможно, нелокальных),а, во-вторых, к самомý корректному определению таких понятий, как,например, гамильтоновость, бигамильтоновость, симплектичность соответствующих операторов для неэволюционных уравнений.7В.

А. Головко Вариационные скобки Схоутена и Нийенхейса // УМН. — 2008. — T. 63:2 (380). —C. 165–166.5В работах 8 9 изложен подход к решению первой проблемы применительно к эволюционным уравнениям, рассматриваемым с геометрической точки зрения. В рамках данного подхода построение как операторов рекурсии, так и гамильтоновых структур сводится к решениюлинеаризованного уравнения`E (Φ) = 0(1)на специальных расширениях исходного уравнения E . Эти расширенияназваны `- и `∗ -накрытиями, они играют роль касательного и кокасательного расслоений в категории дифференциальных уравнений. Упомянутый выше подход, применим и к уравнениям общего вида, и в данной работе описывается его обобщение.В терминологии теории накрытий 10 , решения уравнения (1) являются тенями симметрий в соответствующем накрытии, а построенные с их помощью операторы могут быть как локальными C дифференциальными операторами, так и нелокальными, т.е.

содержатьчлены типа Dx−1 .Как оказалось, трактовка операторов рекурсии и гамильтоновых операторов как нелокальных аналогов симметрий является чрезвычайнопродуктивной с вычислительной точки зрения (для решения уравненийвида (1) разработаны различные программные пакеты), а также обеспечивает продуктивный взгляд на теорию гамильтоновых структур дляуравнений в частных производных, что позволяет решить вторую проблему. Так, условия гамильтоновости и нийенхейсовости соответствующих операторов, а также условие совместности на структуру Пуассона–Нийенхейса для эволюционных уравнений удается записать как равенство нулю коммутаторов соответствующих теней симметрий, что позвоKersten P.H.M., Krasil’shchik I.S., Verbovetsky A.M.