Анализ чувствительности лазерных гравитационных антенн с оптической жесткостью, страница 2

Обосновываютсяактуальность темы и формулируются цели диссертационной работы.Первая глава посвящена расчету чувствительности лазерной гравитационной антенны с зеркалами рециркуляции мощности и сигнала. В первомразделе данной главы диссертационной работы рассматривается прохождение плоской электромагнитной волны через частично пропускающее зеркало.6Анализируется одномерный случай в предположении, что амплитуда волнымного больше уровня квантовых флуктуаций.Амплитуда электрического поля в электромагнитной волне излучения отлазера равна [13, 14]:E(t) =Z∞ r0 dω2π~ω[A0 + â(ω)]e−iωt + [A∗0 + â+ (ω)]eiωt,Sc2π(1)где A0 — классическая комплексная амплитуда падающей волны, â+ (ω), â(ω)— операторы рождения и уничтожения квантов с частотой ω, подчиняющиеся стандартным коммутационным соотношениям [â(ω), â+ (ω ′ )] = 2πδ(ω − ω ′ ),S — площадь сечения пучка, c — скорость света. Так как полоса пропускания резонаторов и частоты наблюдения Ω лежат в интервале 10 − 1000Гц, а излучение лазера имеет среднюю частоту ω0 ∼ 1015 Гц, то в формуле(1) можно представить ω = ω0 + Ω и использовать разложение по маломупараметру ωΩ0 .

Предполагается, что плечи интерферометра идентичны, R —коэффициент отражения зеркал E1 и N 1, RS — коэффициент отражениязеркала SRM, а T и TS — соответствующие им коэффициенты пропускания(R2 + T 2 = 1, RS2 + TS2 = 1, то есть оптические потери в этой главе предполагаются равными нулю). В расчете используются значения T 2 = 0.005 — изпроекта Advanced LIGO, TS ∼ 0.05 — параметр, который можно варьировать.Плечи интерферометра (E1–E2 и N 1–N 2) имеют равные длины.Для амплитуд поля в случае прохождения света через неподвижное одиночное зеркало известны формулыB1 = RA1 + iT A2 ,B2 = RA2 − iT A1 ,(2)(3)где R, T — коэффициенты отражения и прохождения света сквозь зеркало,A1 и A2 — амплитуды поля, падающего на зеркало слева и справа, а B1 и B2— соответственно амплитуды выходящего слева и справа поля. В дальнейшембудем пользоваться методом возмущений и представлять амплитуды полейкак сумму средней амплитуды (обозначаемой большой буквой, например, A1 )и малой добавки (обозначаемой той же малой буквой, например, a1 ), так какэто сделано в формуле (1), которая содержит флуктуационные компоненты, члены пропорциональные смещениям зеркал и гравитационный сигнал.Учтем изменение амплитуды отраженной волны из-за смещения зеркала намалое расстояние x.

В этом случае появляется дополнительный малый сдвигфазы из-за того, что волне приходится пройти другое расстояние, которыйучитывается по теории возмущений. В частности, изменение амплитуды волны, отраженной от полупрозрачного зеркала с коэффициентом отражения R,7N2N1E1E2BSLASERPRMSRMPDРис. 1: Схема интерферометра Advanced LIGO.равно RA(1 − e2iφ ) ≃ 2RAiφ, где A — средняя амплитуда падающей волны, аφ ≪ 1 — изменение ее фазы, равное ωc0 x (x — смещение зеркала в направлениираспространения волны).

Тогда для малых добавок полей имеем:b1 (ω0 + Ω) = Ra1 (ω0 + Ω) + iT a2 (ω0 + Ω) − 2iRA1 φ(Ω) ,b2 (ω0 + Ω) = Ra2 (ω0 + Ω) − iT a1 (ω0 + Ω) + 2iRA2 φ(Ω) ,ω0 x(Ω).φ(Ω) =c(4)(5)(6)Здесь a1 , a2 , b1 , b2 — Фурье-образы малых флуктуационных добавок к большим средним амплитудам поля A1 , A2 , B1 , B2 , а x(Ω) — Фурье-образ координаты зеркала.Простейшая схема лазерной интерферометрической гравитационной антенны представляет собой интерферометр Майкельсона, образованный двумярезонаторами Фабри-Перо, оптические оси которых расположены перпендикулярно друг другу (см. рис.1).Во втором разделе показывается, что для расчетов вместо этой схемы8можно рассматривать один эквивалентный резонатор: записав уравнения дляамплитуд и флуктуаций оптической мощности на каждом из зеркал, можноперейти к другому базису, в котором изменение длин двух резонаторов поддействием гравитационной волны будет описываться одной обобщенной координатой z = x − y, где x = (xE1 − xE2 ) и y = (yN 1 − yN 2 ).

Добавляя кэтим уравнениям условия отражения и прохождения волны на светоделителеи на дополнительном зеркале, называемом зеркалом рециркуляции сигнала,можно получить зависимость флуктуаций bD в выходной волне от входныхфлуктуаций aD , среднего поля внутри плеча интерферометра A2 и флуктуаций координат зеркал:ωDS bD = − θS2 (θ2 − R) + RS (1 − Rθ2 ) aD − 2RTS θS (1 − Rθ2 )A y−(7)cω− 2iA2 T TS θθS [x − Rθy] ,c(8)где коэффициент DS равенDS = 1 − Rθ2 − RRS θS2 + θ2 θS2 RS .(9)Кроме влияния положения зеркал на выходное поле есть и обратный эффект — сила светового давления вносит изменения в движение зеркал.

Этасила имеет как регулярную, так и флуктуационную часть. Флуктуационнаячасть, также называемся силой обратного флуктуационного влияния, растетс ростом мощности внутри резонатора. Поэтому нельзя неограниченно повышать мощность для того чтобы регистрировать координату зеркал с большейточностью.Регулярная часть силы светового давления, то есть пропорциональнаязависимость силы от координаты зеркала, называется оптической жесткостью.Далее в данной главе работы приведена иллюстрация динамическихсвойств оптической жесткости на примере одиночного резонатора ФабриПеро.

Для такой системы рассчитана величина жесткости, эволюция координаты зеркал во времени под действием регулярной внешней вынуждающейсилы, а также спектральная плотность мощности шума смещения зеркал.Информация о сигнальном воздействии гравитационной волны содержится в квадратурной компоненте выходного излучения.

Обычный фотодетекторрегистрирует квадрат амплитуды сигнала и никак не выделяет его фазовуюкомпоненту. Для обнаружения необходимой квадратуры обычно используютбалансный гомодинный детектор, устройство которого рассматривается далее в данном разделе. Пусть волна, амплитуду которой необходимо измерить,падает на светоделитель вместе с “опорной” волной известной амплитуды и9высокой интенсивности.

Амплитуды волн на выходах светоделительного зеркала составляют сумму и разность от входных. Затем каждая из этих волнпадает на обычный фотодетектор, измеряющий интенсивность падающегосвета, которая, как известно, пропорциональна квадрату амплитуды. Сигналом балансного гомодинного детектора является разность фототоков.В следующем разделе с использованием всех предыдущих результатоврассчитывается чувствительность — величина, пропорциональная эффективности обнаружения гравитационного сигнала на определенной частоте.Чувствительность рассчитывается как для интерферометра с зеркалом рециркуляции сигнала (ξ(Ω)), так и без него (ξconv (Ω)).

P ξ(Ω) = ,(10)QP = P1 + iP2 ,(11)P1 = Ω4 + Ω2 (γ02 − δ 2 ) + Jγ(δ − γ0 sin 2α) ,(12)(13)P2 = γ0 Jγ(1 + cos 2α) − 2Ω2 δ ,pQ = 2Ω Jγγ0 ((γ0 − iΩ) cos α − δ sin α) ,(14)2224Ω (Ω + γ )2γ1.(15)+ξconv (Ω) =2 Ω2 (Ω2 + γ 2 )2γ 4Здесь Ω — частота наблюдения, γ — ширина полосы пропускания резонатора в плечах интерферометра, γ0 — ширина полосы всего интерферометра (сучетом влияния зеркала рециркуляции сигнала), δ — отстройка от резонанса,J — нормированная мощность, α — гомодинный угол.Большинство сценариев астрофизических катастроф, описывающих форму гравитационных всплесков, предсказывают широкополосный сигнал.

Поэтому в следующем разделе анализируется возможность использования найденных режимов и определяются оптимальные параметры для детектирования широкополосных сигналов. Для того, чтобы найти наилучшие значенияпараметров γ, γ0 , δ, J, рассматривается отношение сигнал-шум. В общемслучае это отношение определяется по формуле:S/N =Z∞|Fs (Ω)|2 dΩ,Snoise 2π(16)0где Fs (Ω) — Фурье-преобразование сигнала, а Snoise — спектральная плотность мощности шума.

В качестве модели для широкополосного сигнала принимается, что Fs (Ω) = const/Ω. Для того чтобы определить, какой выигрыш в интегральной чувствительности дает антенна с зеркалом рециркуляции сигнала (signal-recycled Advanced LIGO) по сравнению с антенной без10SRM (conventional LIGO), подсчитывается следующее отношение:SN =SN,SRM,SN,conv(17)в котором величина SN,SRM имеет смысл отношения сигнал-шум для антенныс зеркалом рециркуляции сигнала, а SN,conv — отношение сигнал-шум дляантенны без зеркала SRM.На рис.2 представлены графики отношения сигнал-шум в зависимостиот параметра ∆, определяемого как расстояние между двумя минимумамивыражения (10).

Максимум отношения сигнал-шум увеличивается пропорционально квадратному корню из γ0 /δ, а оптимальное значение ∆ уменьшается пропорционально γ0 /δ. Из построенных графиков также видно, чточем меньше параметр γ0 , тем лучшую чувствительность удается получить.Однако, так как γ0 является шириной полосы пропускания всей системы, ееуменьшение влечет за собой увеличение необходимого времени наблюдения.Вторая глава диссертации посвящена анализу интерферометраAdvanced LIGO с потерями в зеркалах. В данной главе зеркала PRM, SRMи светоделитель считаются неподвижными и не вносят потерь. Резонаторы Фабри-Перо в плечах предполагаются идентичными, их входные зеркалаE1, N 1 имеют коэффициентp пропускания (по амплитуде) T ≪ 1 и коэффи22циент отражения Rp1 = 1 − T − r1 , зеркала E2, N 2 имеют коэффициент1 − r22 , где r1 , r2 — коэффициенты оптических потерьотражения R2 =(для пар зеркал E1, N 1 и E2, N 2 соответственно).