Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем, страница 46

Поскольку семейство FP порожденофункциями Казимира всех общих скобок, мы получаем, что sgradA f (x) = 0 длялюбой функции f ∈ FP .Наоборот, если точка x является положением равновесия для FP , то df (x) ∈Ker A(x) для любой функции f ∈ FP , т. е. span{df (x) | f ∈ FP } = Ker A(x). Нопоскольку семейство FP порождено функциями Казимира всех общих скобок, этопространство содержит ядра всех общих скобок. Значит, Ker Aµ (x) = Ker A(x) длялюбой общей скобки Aµ .Рассмотрим теперь положения равновесия для системы (39) (многомерное твердое тело).Пусть X ∈ so(n) — регулярный элемент. Согласно теореме 44, кососимметричнаяматрица X является положением равновесия для алгебры, порожденной интегра-250лами (40) тогда и только тогда, когда ядро скобки { , } = { , }E совпадает с ядромскобки { , }C .Ядро скобки { , } в точке X — это подалгебра Картана hX ⊂ so(n), порожденная X (т.

е. централизатор элемента X в so(n)). Поэтому это ядро описываетсяуравнениемXY − Y X = 0.(44)Для того, чтобы найти ядро скобки { , }C , можно использовать то же соображение, но надо учесть что мы всегда рассматриваем so(n) и so(n)∗ как пространствокососимметричных матриц, отождествляя их при помощи формы Киллинга (дляалгебры кососимметричных матриц с обычным коммутатором) ⟨X, Y ⟩ = Tr(XY ),а для алгебры Ли, определенной коммутатором [ , ]C на пространстве кососимметричных матриц, форма Киллинга имеет вид ⟨X, Y ⟩C = Tr(CXCY ). Учитываяэто замечание, получаем, что ядро скобки { , }C в точке X описывается условием[C −1 XC −1 , Y ]C = 0,которое эквивалентно следующему уравнению:XY C − CY X = 0.(45)Чтобы описать положения равновесия рассматриваемой системы, нам надо найти все X, для которых множества решений уравнений (44) и (45) одинаковы (отметим, что это эквивалентно нахождению подалгебр Картана hX , которые коммутативны и относительно коммутатора [ , ]C тоже).Явные вычисления легко провести в базисе, в котором X имеет стандартный (2 × 2)-блочно-диагональный вид.

В результате получаем следующее утверждение.Теорема 45. Кососимметричная матрица X ∈ so(n) является положениемравновесия для алгебры FC , порожденной интегралами (40), тогда и только тогда,когда существует ортонормированный базис, для которого C диагональна, а X251имеет стандартный блочно-диагональный видx12 0−x12 0X=0x34−x34 0....Эквивалентным образом ответ, приведенный в теореме 45, можно описать так:множество положений равновесия для алгебры FC , порожденной интегралами (40),где матрица C диагональна, есть объединение стандартной блочно-диагональнойподалгебры Картанаx12 0−x12 0,h0 = 0x34−x034...xi,i+1 ∈ Rи всех подалгебр, полученных из h0 сопряжением h 7→ P hP −1 , где P — матрицаперестановки.Рассмотрим теперь вопрос о невырожденности положений равновесия.Как было показано (теорема 44), если x — положение равновесия для семейства FP , то ядра всех скобок, являющихся общими в точке x совпадают.

Обозначимото общее ядро через Z ⊂ Tx∗ M . В частности, это означает, что после факторизациипо Z мы получим невырожденный пучок кососимметричных форм Aλ = A + λBна Tx∗ M/Z.Рассмотрим гамильтоново векторное поле sgradA f , где A ∈ P и f ∈ FP . Оноравно нулю в точке x ∈ M и мы можем рассмотреть его линеаризацию в этой точкекак линейный оператор A·d2f (x), действующий на касательном пространстве Tx M .Ясно, что Tx O инвариантно относительно этого оператора. Обозначим соответствующее ограничение через Pf : Tx O → Tx O.

Оператор Pf лежит в симплектическойалгебре Ли sp(Tx O, A) и порождает в ней коммутативную подалгебру k.252Невырожденность положения равновесия x означает, что k является подалгебройКартана в sp(Tx O, A) (см. определение 6).Учитывая, что точка x является положением равновесия для всего семейства FP ,можно показать, что k является “общей” коммутативной подалгеброй в симплектических алгебрах sp(Tx O, A + λB). Исследование этой ситуации приводит к следующему утверждению.Теорема 46 (А. В.

Болсинов[75]).1) Если x невырожденное положениеравновесия для семейства FP , то разложение Жордана–Кронекера для пучкаAλ (x) = A(x) + λB(x) в точке x состоит из одного тривиального (r × r)-блока(соответствующего общему ядру Z = Ker A(x) = Ker B(x)) и (2 × 2)-блоков вида0λi + λ , i = 1, . . . , 1 (dim M − corank A).2−λi − λ0Иными словами, пучок диагонализуем (над C).2) Пусть ранг скобки Aλ (x) = A(x) + λB(x) падает при λ1 , . . . , λq ∈ C,q = 12 (dim M −corank A), где все λi различны, и существует такая функция f ∈ FP ,что соответствующий оператор линеаризации Pf : Tx O → Tx O невырожден. Тогда x является невырожденным положением равновесия для FP .Применим теорему 46 к исследованию невырожденности положений равновесиясистемы 39 (многомерное твердое тело).Для простоты мы рассмотрим четномерный случай so(2n).

Пустьx12c1 0−x12 0c2.иC=X=c0x343c4−x34 0......Рассмотрим для каждой пары xi,i+1 , xj,j+1 следующее квадратное уравнение относительно λ:x2i,i+1(ci + λ)(ci+1 + λ)=.2xj,j+1(cj + λ)(cj+1 + λ)Обозначим его корни через λij и λ′ij .(46)253Теорема 47. Если все λij , λ′ij (i ̸= j, i, j = 1, 3, . .

. , 2n − 1) различны, то Xявляется невырожденным положением равновесия для алгебры FC , порожденнойинтегралами (40).Доказательство. Опишем сначала те значения λ, для которых ранг скобки{ , }C+λE падает в точке X, т. е. для которых X является сингулярным элементомв смысле алгебры Ли gλ , определенной коммутатором [ , ]C+λE на пространствекососимметричных матриц.Поскольку алгебра Ли gλ изоморфна so(n, C) при λ ̸= −ci , рассматривая соответствующий изоморфизм, получаем, что X является сингулярным элементом дляgλ тогда и только тогда, когда матрица− 21X ′ = (C + λE)где x′i,i+1 = √X(C + λE)− 12 0−x′ 12=x′12,00x′34−x′340...xi,i+1, является сингулярной для стандартной алгеб(ci + λ)(ci+1 + λ)ры Ли so(n, C) (см.

теорему 43). Сингулярность матрицы X ′ относительно so(n, C)означает выполнению равенстваx′ i,i+1 = x′ j,j+122для некоторых i, j, которое эквивалентно уравнению (46). Таким образом, решенияλij , λ′ij уравнения (46) — это характеристические числа пучка { , }C+λE в точкеравновесия X.Поскольку все λij , λ′ij различны, для того чтобы применить теорему 46, нужноуказать функцию f ∈ FC , для которой соответствующий оператор линеаризации Pfневырожден на касательном пространстве к орбите OX .Возьмем в качестве такой функции f (Y ) = Tr CY 2 ∈ FC .

Соответствующее ейгамильтоново поле задается уравнениемẎ = [df (Y ), Y ] = [CY + Y C, Y ] = [C, Y 2 ].Линеаризация этого поля в точке X имеет видẎ = [C, Y X + XY ].(47)254Таким образом, надо показать, что оператор Y 7→ [C, Y X + XY ] невырожденна TX OX . Поскольку C регулярно, ядро этого оператора состоит из тех матриц Y ,для которых Y X + XY — диагональная матрица. Последнее условие эквивалентнотому, что Y принадлежит подалгебре Картана hX , порожденной элементом X. Таккак hX ∩ TX OX = {0}, линеаризованная система (47) невырождена на TX OX , что итребовалось доказать.Список литературы[1] А. А. Андронов, Л. С. Понтрягин, “Грубые системы”, ДАН СССР, 14, № 5(1937), с.

247–250.[2] Д. В. Аносов, “Грубые системы”, Труды МИАН СССР, 169 (1985), с. 59–93.[3] С. Х. Арансон, В. З. Гринес, “Топологическая классификация потоков на замкнутых двумерных многообразиях”, Успехи матем. наук, 41, № 1 (1986),с. 149–169.[4] Ю. А. Архангельский, Аналитическая динамика твердого тела, М.: Наука,1977.[5] А. В. Болсинов, Согласованные скобки Пуассона и полнота семейств функцийв инволюции, Известия АН СССР, 55, № 1 (1991), с. 68–92.[6] А. В. Болсинов, “Многомерные случаи Эйлера и Клебша и лиевы пучки”, Труды сем. по вект.

и тенз. анализу, 24 (1991), с. 8–12.[7] А. В. Болсинов, “Полные инволютивные наборы полиномов в пуассоновых алгебрах: доказательство гипотезы Мищенко–Фоменко”, Труды сем. по вект. итенз. анализу, 26 (2005), с. 87–109.[8] А. В. Болсинов, А. В. Борисов, “Согласованные скобки Пуассона на алгебрах Ли”, Матем. заметки 72, № 1 (2002), с.